Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Гораздо более удобвым оказалось вместо того или иного осредвения ивдивидуальвых гидродивамических полей рассмотреть сразу ансамбль всевовможвых турбулентных течений, допустимых при фиксироваввых внешиих условиях, и затем использовать вероятностные средние значения по ансамблю аналогичных течений, т. е. считать, что поля гидродивамических характеристик турбулевтиых течений представляют собой случайвые функции трех пространственных координат и времеви в смысле, принятом в современной теории вероятностей.
Такой «статистический поход» к механике турбулевтвости впервые был использован в работах А. Н. Колмогорова и его учеников (см., например, первый абзац статьи М 45 и цитированную там более раннюю статью Миллионщикова [2[); в настоящее время ои является общепрввятым. Перейдем теперь к основному содержанию очевь важных статей йй 45 и 47, посвященных формулировке общих законов, определяющих статистический режим мелкомасштабных пульсаций любой развитой турбулентности с достаточно большим числом Рейвольдса Ве = У).)т (где У и Ь вЂ” характервые масштабы скорости и дливы в рассматриваемом течении, а т — кивематический коэффициент вязкости жидкости).
До появления этих работ викто и ве подозревал, что беспорядочные турбулентные вульсации подчиняются иекоторым простым количествеввым аакономервостям, имеющим совершеиво универсальный характер, т. е. справедливым для всех течений, далеких от ламиварвого режима (т. е. характеризуемым значением Ве, намного превосходящим иаимевыпае значение Ве, числа Рейвольдса, при котором еще возможна турбулентность.) Существевио, однако, по еще в 20-х годах нашего столетия авглийским ученым Ричардсоном (см., например, [3, с. 66[) была предложена качествеввая схема развитого турбулевтвого течения как иерархии вихрей (т. е.
возмущений или неоднородностей) различных порядков, в которой наиболее крупные «вихри первого поряд ка» заимствуют свою энергию из осредневвого течевия и затем передают ее «вихрям второго порядка», те — «вихрям третьего порядка» и т. д.
вплоть до мельчайших вихрей, энергия которых рассеивается под действием молекулярной вязкости (т. е. переходит в теплоту в результате вязкого тревия). Очень ясное описание «схемы Ричардсова» дано в первых двух абзацах подстрочного примечавия 2 статьи № 45; следующие же два абааца того же примечания сущестаев- Турбулентность (А. М.
Я»лом) но дополняют зту схему, углубляя наши представления о характере поведения той нелинейной системы с очень болыпим числом степеней свободы, какой является развитое турбулентное течение, и позволяя уже извлечь из этих представлений вполне конкретные количественные выводы. Из числа конкретных результатов, содержащихся в работах № 45 и № 47, наиболее широкую известность приобрел так называемый «закон двух третей» механики турбулентности, описываемый формулами (23) и (24) работы № 45 (см. также формулу (9) в № 47). В работе № 47 Колмогоров описал первую попьпку сопоставления атого найденного им закона с имевшимися в то время зкспериментальными данными измерений поперечной корреляционной функции скорости В„„(г) в турбулентности, воаникающей ва решеткой, помещенной в аэродинамическую трубу.
Позже аналогичную проверку «закона двух третей» на материале специально поставленных измерений характеристик турбулентности за решеткой в аародинамической трубе произвел Таунсенд [4], который, так же как в Колмогоров, нашел, что результаты измерений более или менее удовлетворительно согласуются с предскаваниями теории. Еще поаже, однако, было выяснено, что некоторые выводы Таунсенда являются ошибочными и что вообще значения Ве, при которых производилось большинство измерений аа решеткой в аэродинамических трубах, слишком малы для существования заметного интервала значений г, на котором выполняется «закон двух третей» (см., например, Монин и Ягло»«[5, 4 16.6 и 23.3]).
Тем самым стало ясвмм, что наиболее удобны для проверки «закона двух третей» данные измерений в природных турбулентных тече- виях в атмосфере, морях и океанах, характеривующиеся обычно горавдо большими числами Рейнольдса, чем течения, осуществляемые в лабораторных условиях. И действительно, первое достаточно убедительное подтверждение справедливости езакона двух третей» было получено Обуховым [6), обработавшим сравнительно старые, но весьма тщательные измерения Гедеке [7] разностей скоростей в ряде пар точек приземного слоя атмосферы (на высоте 1 м вид поверхностью луга).
В дальнейшем введенные в рассмотрение А. Н. Колмогоровым функции Вл«(г) н В„„(г) (называемые продольной и поперечной структурными функиилми око рости) многократно измерялись и в атмосфере, и в море (см. сводку таких измерений в $23.3 книги [5] и ее расширенного английского издания [8], в обзорной статье [9[, а также недавнюю работу [10]). При этом в полном согласии с предсказаниями А. Н. Колмогорова во всех случаях было обнаружено, что обв функции Влл (г) и Вп„(г) пропорциональны г ' на значительном интервале значений г(см., в частности, типичный рис.
1 заимствованный из работы Ван Атта и Чена [11]); также и равенство В„„(г) = (Ч») В,ц (г), предсказанное в статье № 45, оказалось неплохо согласующимся с данными большинства измерений. Более сложной оказалась проверка равенства (7) статьи А. Н. Колмогорова № 47, следующего из полученного в атой статье динамического уравнения (5), связывающего продольные структурные функции второго и третьего порядков Влл (г) и Вл«л'(г). Дело в том, что надежное определение среднего куба разности скоростей Вилл (г) предъявляет более высокие требования к точности измерений и требует использования заметно большего осредвения, чем определение с той же относительной ошибкой соответствующего среднего квадрата Влл) помимо того, одновременное определение также и значения», входящего в формулу (7), возможно лишь при наличии аппаратуры, регистрирующей без искажения наибо- Комментарии лес мелкомасштабные пульсации скорости, отвечающие масштабам порядка еколмогоровского микромасштаба длиные(определяемого формулой (17) статьи № 45).
С другой стороны, равенство (7) замечательно в том отношении, что в отличие, вапример, от упоыивавшегося выше <закова двух третей» ово ие включает никаких неопределенных численных мвожителей; это обстоятельство делает его проверку особенно привлекательной. Поэтому неудивительно, что за последвие годы несколько групп экспериментаторов осуществило в в атмосфере, и в некоторых лабораторных турбулентных течениях при больших значениях Ке Лу в 6ду 77 Рис. 1.
Продольная структурная функция скорости ветра Вал (г) по данным измерений в атмосфере вад морем Значки отвсчаня равным сериям намерений, проводившихся на разных высотах иад уровнем моря (в пределах от 3 до 31 м) и при разной средней скорости ветра. Прямые линки отвечают езакону двух третейз Л7 Л7Л Ю"" муо 77СМ измерения структурной функции третьего порядка Вода (г) вместе с измерениями з специально с целью проверив равенства (7); полученные при этом результаты во всех случаях окааались прекрасно согласующимися с предсказавиеы А.
Н. Колмогорова (см., например, [10 — 12] и типичный рис. 2, заимствованный иэ работы [10]). Отметим еще, что основное уравпевие (5) статьи № 47 выводится в этой статье из модвфицировавиого уравнения Кармана — Ховарта (3), иепосредствевпо следующего иа реаультатов работы [13] только в случае, когда турбулентные возмущения всех масштабов предполагаются однородными и иаотропвыми.
Так как, однако, в силу выводов работы № 45 статистический режим мелкомасштабных пульсаций при больших значениях Ве ве должен зависеть от характера крупвомасштабвых движений, то сделанное в работе № 47 предположение о том, что ураввевия (3)и (5)при г (( Ь должвм быть справедливыми для любой' (а пе только для изотропвой)' турбулевтиости с достаточно большиы звачеиием Ке, представляется вполне оправданным (см.
в этой связи предложенный Мокиным [14] и наложенный, также в [5, 1 22.1[ вывод уравнения (5), котормй ве ис,- польаует предположения об иаотропиости турбулевтвости в целом). Заметим, кроме того, что равенство (6) работы № 45 (от которого ие зависят все остальные содержащиеся здесь результаты), приведенное без доказательства, ва самом деле ве является вполне очевидным (это обстоятельство было отмечено, в частности, в статье Бэтчелора [15], сыгравшей большую роль в популяризации результатов А.
Н. Колмогорова за рубежом); для его доказательства следует привлечь спектральное представление локально однородных и локально изотропяых случайных полей (см. [16, с. 334 — 335] или [5, 1 13.3]). В работе № 46 рассматривается одна более специальная задача мехавики турбулентности, касающаяся вырождения (т. е. аатухания во времени) полвостыо Турбулентяоет» (Л. М. Я»лом) однородной н взотропной турбулентности в безграничном пространстве. В атой работе существенно используется сделанное Лойцявским [17[ заключение о том что в изотропной турбулентности сохраняет постоянное значение величина Л, определенная формулой (11); кроме того, здесь используется также выдвинутое Карманом предположение об автомодельности корреляционной функции (см, формулу (19)) и «закон двух третей» (25). При этом «ванов двух третей» в статье № 46 играет лишь второстепенную роль и ва самом деле все ее резульлаты можно обосновать, используя только гипотеаы о кармановской автомодельности и -фаг/'г»Е/ » —.«~,.г,Фую»»а Рис.
2. Зависимость нормированных продольных структурных функций скорости третьего порядка Вллл (г)/(еч) Л = [)вы (г) от безразмерного расстояния г!г) =. р по давным измерений в атмосфере и в нескольких лабораторных турбулентных течениях иг Значки отвечают ра»лнчннм серням н»меренля; прянме лянка — предска»анке Нолмогороза: 1р) = — е,з р У Гзг,гл у' гф о постоянстве величины Л (см., например, [5, $16,2[). С другой стороны, еслв принять, что »заков двух третей» является справедливым (т. е. ограничиться случаем очень больших значений Ве), то все основные результаты статьи № 46 можно получить, исходя только из допущения о конечности и постоянстве еинварианта Лойцянского» Л, но вовсе не привлекая требования об автомодельности корреляционных функций (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
