Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Конт-Белло и Корени [18[). Следует, впрочем, отметить, что играющее основную роль в работе № 46 предположение о конечности и постоянстве во времени величины Л в настоящее время уже представляется далеко не бесспорным (см. по этому поводу Бэтчелор и Праудмен [19[ или 5)енин и Яглом [5, $15.5, 15.6); ср.
также работы Сафмава [20, 21[, где предположение о постоянстве Л ааменяется совсем другой гипотезой). Вернемся теперь снова к общей теории локально изотропной турбулентности, изложенной в работах № 45 и 47. Результаты, эквивалентные основному «закону двух третей» атой теории, были почти одновременно с А. Н. Колмогоровым совсем иначе получены Обуховым [22, 23[; несколько поаже практически к тем же результатам веаависимо нришли также Онзагер [24, 25), Вейцзеккер [26) в Гейзенберг [27[ (об этом вкратце упоминается в статье № 58).
Однако в статьях № 45 и 47 А. Н. Колмогорова выводы о локальной структуре турбулентности при очень больших значениях Ке сформулированы в наиболее общей форме: здесь используются лишь некоторые наглядные н физически очень естественные допущения о природе раавитой турбулентности, на основе которы» формулируют- Колл«атарик ся две фундаментальные гипотезы подобия, справедливые для любого развитого турбулентного течения и могущие иметь множество различных приложений. Рассмотрению целого ряда таких приложений н подтверждающих их вксперимевтов посвящены обширная глава 8 книг Монина и Яглома [5, 8[ и недавняя обзорная статья [9[, содержащие большое число дополнительных ссылок на литературу; с весьма важными приложениями теории Колмогорова к исследованию распространения в турбулентной среде света, звука и радиоволн можно ознакомиться, напри»сер, по монографии Татарского [28). В настоящем ске комментарии достаточно будет остановиться лишь на немногих простых при»серах приложений гипотез подобия А.
Н. Колмогорова. Приложение второй гипотезы подобия к высшим моментам продольной разности скоростей Лаа (г) = иа (х + г, 1) — иа (х, Г) (где иа — проекция вектора и на направление вектора г длины г = [ г[), очевидно, приводит к формуле (г)[Р С («г)рсз прв г.)>г>)Ч (т»/з)'/с аа" г (1) обращающейся в «заков двух третей» прн р = 2 и согласующейся с формулой (7) статьи № 47 при р = 3.
Обе гипотевы А. Н. Колмогорова могут быть также приложены к спектральной плотности кинетической энергии турбулентности (или короче — к спектру турбулентности) Е (й, г), где й — волновое число, н к соответствующим продольному и поперечному одномерным спектрам е, (й, г) и е, (й, /). спектр е (й, 1) определяется исходя из разложения случайного поля скорости и (х, г) = и (х„х», х», «) в трехмерный интеграл Фурье, обобщающего аналогичное разложение случайных функций одного переменного, впервые указанное в работе А. Н.
Колмогорова № 42, а одномерные спектры Е, (й, 1) и Е, (/с, г) отвечают разложению компоненты ис (х„х», х», 1) вектора и в одномерный интеграл Фурье по координате х, или соответственно по х (нли по х»); все зги три спектра просто свяааны со структурнмми функциями Ваа (г, /) и В„„(г, г) (см., например, [16[ или [5, 4 13.3[). В силу первой гипотезы подобия А.
Н. Колмогорова спектры Е, Е, и Е, при й>) 1/Ь не аависят от г и задаются формулами Е (й) — (у»Г)с!с«у (Чй) 1/ (2) Е (й) = ( '7) /'ЧЛ (Чй) Е (й) = ( '7) Асу» (Чй) где Чс, сус и Чс» — универсальные функции одного переменного, любые две нз которых (а также и функция [)аа работы № 45) просто выражаются через третью из этих функций. Аналогично этому вторая гипотеза подобия влечет за собой соотношения Е (й) = Ас /'й /' Ес(/с) =Асз/в/с ~с Е«(й) = А»~/сй /э (3) справедливые при1/ч>)й>)1/ь; здесь А, А, и А» — универсальныепостоянные, причем, как нетрудно показать, А = [55, 27Г ( /») [ С = 0,76 С, А, = (18/55) А= = С/4, А, = (24/55) А — С/3, где С вЂ” коэффициент формулы (23) работы № 45 этой книги.
Результаты (2) и (3) были впервые получены (в приыенении к трехмерному спектру Е (й)) Обуховым [22, 23) с помощью исследования построенного им спектрального уравнения баланса турбулентной энергии. Каждое иа трех соотношений (2) точно эквивалентно формуле (20) работы № 45 А. Н. Колыого- 427 Турбулентность (А. М. Я«лов) рова, а соотношения (3) (выражающие так называемый «закон пяти третей») вквивалентны «валову двух третей» (23).
Отметим еще, что Обуховым [29[ и Коренном [30[ результаты работ А. Н. Колмогорова были перенесены также на структуру поля температуры т (х, с) (илн концентрации О (х, 1) произвольной пассивной, т. е. не влияющей на динамику, примеси к жидкости) в развитом турбулентном течении; при атом оказалось, что для скалярного поля Т (или О) также справедливы и «закон двух третей» и «закон пяти третей» (а кроме того, выполняется и родственное уравнению (5) работы № 47 уравнение для структурных функций; см. [31[). Рис.
3. Результаты измерений одномерного продольного спектра скорости течения воды в океанском проливе (1); ветра в атмосфере вблизи Земли (2); течения воздуха в пограничном слое на стенке большой аародинамической трубы (8) АГ ,ех,У ео е АР Спектральная формулировка (2) и (3) фундаментальных ваконов мелкомасштабной турбулентности, впервые указанных А. Н. Колмогоровым, очень удобна для экспериментальной проверки, так как измерения спектров беспорядочных флуктуаций широко распространены в современной науке и технике и методы их проведения детально разработаны.
Наиболее просто измеряются продольные (в направлении средней скорости течения) одномерные спектры, которые могут быть выражены через частотные спектры пульсаций скорости в одной фиксированной точке. В качестве типичного примера на рис. 3, ааимствованном из [5[, сведены вместе данные измерений одномерного продольного спектра К, ()е) скорости трех весьма рааличных турбулентных течений — течения воды в океанском проливе, ветра в атмосфере вблиаи Земли и течения воздуха в большой аародинамической трубе вблизи от ее стенки.
Мы видим, что данные всех трех измерений, ч поделенные на авачение (ь т») А и представленные в виде функции от )««), достаточно точно укладываются на одну кривую, т. е. хорошо согласуются с теоретической формулой (2); также и «аакон пяти третей» (3) убедительно подтверждается втими данными. Экспериментальные результаты, представленные на рис. 3, могут быть непосредственно использованы для определения значения коэффициента С «закона двух третей» (просто выражающегося через коэффициенты законов (3)). Первая попытка определения значения этого коэффициента была предпринята еще самим А. Н. Колмогоровым в работе № 47, в которой для этой цели были привлечены данные измерений в аэродинамической трубе за решеткой и было найдено, что С = 1,5. Однако выше мы уже отмечали, что числа Рейвольдса, 428 Комментарии характеризующие использовавшиеся в статье № 47 эксперименты, были все же недостаточно большими для того, чтобы «закон двух третей» здесь выполнялся на аначительном интервале значений е;поэтому и приведенная в № 47 первая оценка С теперь уже не представляется надежной, В дальнейшем экспериментальные определения значения С многократно производились целым рядом исследователей, использовавших с этой целью и измерения структурных функций Взи (г) и В„„(г), сопровождающиеся также аккуратными измерениями значения з, и намерения спектров и значений е, и одновременные измерения структурных функций Вне (г) н Виды (г), позволяющие испольэовать формулы (10) и (8) работы А.
Н. Колмогорова № 47. Сводка данных о значении С, охватывающая результаты 37 работ, включена в обзорную статью ]9]; помимо того, можно указать еще на две более поздние работы [10, 32] на ту же тему. Любопытно, что почти все измерения приводят к результатам, не очень сильно отличающимся от самой первой оценки значения коэффициента С, принадлежащей А. Н. Колмогорову: согласно имеющимся в настоящее время данным С = 2, причем ошибка этой оценки вряд ли превосходит 10 — 15о4. Наблюдающийся разброс экспериментальных значений коэффициента С вероятно в ааметной степени объясняется просто неточностью измерений, во в какой-то мере он может быть связав и с влиянием изменчивости поля скорости диссипации энергии е (х, 1), о которой говорится в статье № 58 А.
Н, Колмогорова. Эта статья (представляющая собой изложение доклада, сделанного на Международном коллоквиуме по механике турбулентности в Марселе в 1961 г.) тесно примыкает к работе Обухова [33] и вместе с этой последней знаменует собой дальнейшее развитие теории локально изотропвой турбулентности, основы которой были заложены статьями № 45 и 47. В последующие годы изучению уточненной теории локальной структуры турбулентности,намеченной в работах № 58 и [33], было посвящено очень большое число теоретических и экспериментальных исследований, лишь частично отраженных в специально посвященном этим вопросаы 1 25 книги [5] (см.
также ]8]). В работе № 58 предлагается заменить первую и вторую гипотеаы подобия статьи № 45 двумя уточненными гипотеаами подобия, относящимися уже к нормированным разностям скоростей у (Ь, т), и дополнить их еще третьей гипотезой, ностулирующей логнормальвость распределения вероятностей осредненной по сфере радиуса г скорости диссипации энергии з„ и линейность зависимости дисперсии 1ой з„ от 1ой (ь[г).
Исходя отсюда, для общей структурной функции скорости [Анн (г)]о произвольного порядка р получается указанная в статье № 58 этой книги формула (10), обобщающая выписанную выше формулу (1), отвечающую значению )е = О, и показывающая, что функция [Ан„(г)]о должна хорошо приближаться степенной функцией на значительном интервале значений г = [г [, но с показателем степени, вообще говоря, отличным от р!3 и с коэффициентом' Ср (х, 1) ьг(~ з~е~з, не являющимся универсальной константой, а зависящим также и от характера крупномасштабных движений (е частности, от числа Ке).] В краткой статье № 58 опущены аргумевтм, объясняющие естественность используемой здесь третьей гипотезы подобия, касающейся нормальности распределения вероятностей величины !ой е„ и вида ее дисперсии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
