Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 85
Текст из файла (страница 85)
П. С. Александров в рамках своей теории (ко)гомологий с особыми подкомплексами доказал теореыы двойствеввости колмогоровского вида и дал их обобщения в различных ваправлевиях (см. [3(, 321). Вместо бесконечных циклов здесь берутся их ковечиые аналоги †цик относительво того подкомплекса верва конечного аамквутого покрьпия, замыкавия вершин которого не компактны.
Автор их называет теоремами Колмогорова. Некоторые дальнейшие обобщения рассматриваемых теорем в терминах этих же циклов дали Бокштейн (см. 133, 341) и Чогошвили (см. [35 — 381). Скляренко исследовал теоремы колмогоровского вида с помощью так называемых канонических гомологий [391 для любой группы козффициевтов. Мдэиваришвили в теоремах Колмогорова свял условие компактвости с группы коэффициевтов и показал, что теорема двойственности Стиирода (следовательво, Свтвикова) есть следствие этой обобщенной теоремы в случае компактных метрических пространств (см.
[40, 4Ц]. Различные вопросы теории (ко)гомологий Колмогорова в связи с теорией (ко)гомологий Александрова рассмотрены Бокштейвом [421. Наконец, и после создания— з середине 40-х годов — теории спектральных (ко)гомологий для проиавольвых (векомпактиых) простравств и обобщеиия теорем двойственвости с замквутых подмножеств на любые подмножества Колмогоров укааал ва такую форму атой двойственности, которая, опираясь на когомологии, выражена в изоморфизмах и свободна от применения прямых спектров компактных и вообще топологизироваивых грузи [431. 410 Еомментарнв Кольца когомологий для локально бнкомпактных пространств вводятся в статье № 30, специально посвященной исследованию вопроса о произведениях (ко)цепей и групп когомологий в комплексах, многообразиях и локально бикомпактных пространствах.
За последнее время усиленно ищется такая теория гомологий, которая была бы наиболее целесообразной и с педагогической точки зрения (см., например, книгу Масси (71 и предисловие и комментарии к ней Скляренко). Теория Колмогорова и с атой точки зрения обладает рядом преимуществ перед другими теориями. Ее преимущество перед сингулярной теорией — в отсутствии известных аномалий, перед спектральными теориями Алексаццрова — Чеха и Александрова с особыми подкомплексами — в наличии точности, перед теорией Стинрода— Ситникова — в наличии ассоциированной теории когомологнй, перед теорией Масси — в воаможности прямого определения гомологии, независимого от коцепного комплекса, перед теорией Куроша и Скляренко, основанной на канонических покрытиях, — в простоте выбора исходных множеств, определения индуцированного гомоморфнзма и т.п.
Эти преимущества дополняются наглядностью, приложимостью к исследованию различных вопросов, блиаостью к другим математическим теориям. ЛИТЕРАТУРА 1. А !ехапйег Х. Ие. Оп !Ье сЬашз о1 а сошр!ех апй !Ье!г йиа1з. Оп 1Ье Нпб о1 а сошрас! ше!Нс зрасе.— Ргос. На!. Асай. Зсь !)ЗА, 1935, чо1. 21, р. 509— 512. 2. А!ехапйег Х. И'.
Ов !Ье сопвес!!чйу г!п9 о1 ав аЬз!гас! ерасе.— Авп. Ма!Ь., 1936, чо!. 37, р. 698 — 708. Рус. перл Александер Дох. В. Кольцо свяаности абстрактного пространства.— УМН, 1947, т. 2, вып. 1, с. 156 — 165. 3. драп!ег Е. Н. СоЬошо!о9у !Ьеогу 1ог йепега1 зрасез.— Апп. Ма!Ь., 1948, чо!. 49, р. 407 — 427. 4. Ярая!ег Е. Н. Таи!пезз 1ог А1ехапйег — Зрап!ег соЬошо!ойу.— Рас. 7. МаьЬ., 1978, чо1. 75, р. 561 †5. 5.
Сойетеп! Н. Торо!ой!е а18еЬггйие е! 1ЬеоНе йез (а!зс!аих. Рапз: Негшавп, 1958. Рус. перл Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. Мх Иад-во иностр. лиг., 1961. 6. Вгейоп С. Е. ЗЬеа1 !Ьеогу. Нетч Уогйм Мсбгатч-Н!Н, 1967. 7. Маеееу И'. Я. Ноше!обу апй соЬошо!о8у !Ьеогу.
Нем 1 огра М. Веййег, 1978. Рус. перл Масси У. Теория топологий и когомологий. Мл Мир, 198!. 8. Балаеадее М. Б. О теории гомологии А. Н. Колмогорова.— Тр. Тбнл. мат. ин-та АН ГССР, 1972, т. 41, с. 5 — 40. 9. Ейпе М. Но!е оп Ьошо1обу !Ьеогу 1ог 1осаИу Мсошрас! зрасез.— Рипй. ша!Ь., 1939, чо1. 32, р. 64 — 68.
10. Кеееее Х. И'. р!в!!е!у-ча!ией соЬошо1ойу йгоирз.— Ргос. Ашег. Ма!Ь. Зос., 1950, чо!. 1, р. 418 — 422. 11. А !ехапйег Х. Ие. А !Ьеогу о1 соппесь!чйу ш !еппз о( йга!!!пйз.— Апп. Ма!Ь., 1938, чо!. 39, р. 883 — 912. 12. Ннгеляех И'., Рндипд!! Х., Рою)еег С. Н. Соп!шиоиз соппесМч!!у йгоирз !в 1егшз о11пв!! десире.— Авп. Ма!Ь., 1948, чо!.
49, р. 391 — 406. 13. А!ехапдег Х. Йе. Огайвдз апй Ьошо1оду 1Ьеогу.— Виa. Ашег. Ма!Ь. Яос., 1947, чо!. 53, р. 201 — 233. 14. Брапйт Е. Н. А!9еЬга!с !оро!ойу. Нече уогрл Мсбгав-Н!Н, 1966. Рус. перл Спеньер д. Алгебраическая топология. Мл Мир, 1971. 15. Ейепдегг Я., дгеепгой Ф. Роипйа11опз о1 а!8еЬга!с !оро1ойу. РПпсе!оп: Вв!ч. Ргезз, 1952. Рус. перл Стннрод Н., Эйленбере С. Основания алгебраической топологии. Мл Йзд-во пиастр. лиг., 1958. Теория гвмвлвзий (Г.
С. Чвзвшв ли) 411 16. Мшзеу И'. Я. Ночг !о 3!че ап ехрое!1!оп о1 1Ье СесЬ вЂ” А!ехапйег — Зрап!ег туре Ьошо!ойу 1Ьеогу.— Ашег. МаьЬ. Моп., 1978, чо1. 85, р. 75 — 83. 17. Чвгошвили Г. С. Оп 1Ье Ьошо!ойу 1Ьеогу о1 соро1ой!са! зрасез.— Сообщ. АН ГССР, 1940, т. 1, с. 337 — 340. 18. Чвггшвили Г. С. Об эквивалентности функциональной и спектральной теории топологии.— Изв. АН СССР. Сер. ыат., 1951, т. 15, с.
421 — 438, 19. Ее)ггйезг Я. А!ЗеЬга!с !оро1ойу. Нем Уог!с, 1942. Рус. перл ЛеФшеи С. Алгебраическая топология. Мл Ивд-во нностр. лиг., 1949. 20. Пвшйгг С. Н. Ноше!ойу Зтопрз о1 ге1аИопе.— Апп. МазЬ., 1952, чо1. 56, р. 84 — 95. 21. Ягеекгад )г'. Е. КеЗп!аг сус1ез о1 сожрав! ше1г1с зрасез.— Апп. Ма1Ь., 1940, чо!. 41, р. 833 — 851. Рус.
перл Стинрвд Н. Е. Регулярные циклы компактных метрических пространств.— УМН, 1947, т. 2, вып. 2, с. 56 — 78. 22. Ситников Е. А. Закон двойственности для незамкнутых множеств.— ДАН СССР, 1951, т. 18, с. 359 — 362. 23. Ситников Е. А.
Комбинаторная топология незамкнутых множеств. 1. Первый вакон двойственности; спектральная двойственность.— Мат, сб., 1954, т. 34, с. 3 — 54. 24. Кейеу г. Е. ОезсНр!!опз о1 СесЬ соЬошо!ойу.— 1п: Оепега! 1оро1ойу апй Кз ге1аПопз !о шойегп ава1уз!з апй а1йеЬга: Ргос. Зушр. Ргайпе, 1961, р. 235 †2. 25. Балавадге М. Б. О теории гомологии Колмогорова: Автореф.
канд. дис. Тбилиси, 1975. 26. Мдгинаришвили Л. Л. О свяаи гомологических теорий Колмогорова и Стинрода. — ДАН СССР, 1972, т. 203, № 3, с. 528 †5. 27. Мдзинаришвили Л. Д. Об эквивалентности гомологических теорий Колмогорова и Стинрода. — Тр. Тбил.мат.ин-та АН ГССР, 1972, т. 41, с. 143 †1. 28. Веге! А., Мввге г. С. Ноше!ойу 1Ьеогу 1ог 1оса11у сошрас! зрасез.— М1сЬ. МатЬ.
Х., 1960, чо1. 7, р. 137 — 160. 29. Веге! А. СоЬопю!оййе йез езрасез !оса!шел! сошрас!.— Сеем Хасен МаьЬ., 1964, Н 2. 30. Вгедок П. Е. Со.Ьеачез апд Ножо1ойу.— РасП. Х. МатЬ., 1968, чо!. 25, Н 1, р. 1 — 32. 31. Александров П. С.
Общая теория гомологии.— Уч. зап. МГУ, 1940, т. 45, с. 1 — 60. 32. Александров П. С. Гомологические свойства расположения комплексов и аамкнутых множеств.— Иав. АН СССР. Сер. мат., 1942, т. 6, с. 227 — 282. ЗЗ. Бокштейн М. Ф. О теореме двойственности Александера — Колмогорова.— ДАН СССР, 1948, т. 59, с. 631 — 633. 34. Бокштейн М. Ф.
Теорема двойственности для локально биокомпактных пространств.— Уч. зап. МГУ, 1949, т. 146, с. 131 — 164. 35. Чвгвшвили Г. О соотношениях двойственности в топологических пространствах.— ДАН СССР, 1945, т. 46, № 4, с. 143 — 145, 36. Чвгвшвили Г. О законе двойственности в нормальных пространствах.— ДАН СССР, 1945, т.
48, № 4, с. 249 — 252. 37. Чвгвшвили Г. С. Об основных гомоморфиамах двойственности.— Тр. Тбил. ыат. ин-та АН ГССР, 1951, т. 18, с. 1 — 52. 38. Чвгвшвили Г. С. О гомологических аппроксимациях и законах двойственности для произвольных множеств.— Мат. сб., 1951, т. 28, с. 89 — 118. 39. Скляренко Е. Г. Теория гомологий и аксиома точности.— УМН, 1969, т. 24, вып. 5, с. 87 — 140.
40. Мдгинаришвили Л. Л. О законе двойственности Колмогорова.— ДАН СССР, 1974, т. 216, с. 502 — 504. 41. Мдгинаришвили Л. Л. Функциональные гомологии.— Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГССР, 1978, т. 59, с. 98 — Н8. 42. Бокштейн М. Ф, Эквивалентность некоторых гомологических определений в топологии.— Изв. вузов, 1960, т. 3, с. 62 — 80. 43. Александров П. С.
Основные теоремы двойственности для неаамкнутых множеств.— Мат. сб., 1947, т. 21, с. 161 — 232. 412 Комментарии К РАБОТЕ ОБ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ А. Н. Колмогоров Проблема возможности повышения размерности при открытых отображениях (работа гчз з36) горячо интересовала П.
С. Александрова. Некоторое время мы вместе трудились иад доказательством невозможности повышения размерности. В этих поисках постепенно выяснились причины наших неудач. Этот анализ неудач и привел в конце концов к коптрпримеру. ТОПОЛОГИЯ (А. В. АрхангельекигО К СТАТЬЕ аКОНЕЧНЫЕ ПОКРЫТИЯ ТОПОЛОРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ» Результаты п. 3 н 4 статьи М 3(, принадлежащие А. Н.
Колмогорову, носят исчерпывающий характер. Ови означают, что подход к опеределению размерности в терминах кратности замкнутых покрытий (т. е. подход Лебега) и подход к определению размерности через длины замкнутых покрытий, указанный в данной статье, дают один н тот же результат для всех нормальных пространств.
При этом А. Н. Колмогоров лрвводит совсем простую, элементарную конструкцию, позволяющую переходить от длин к кратностям и обратно. Поэтому в дальнейшемпонятиедлиныпокрытиянеиграло особенной роли в развитии теории размерности — исследования велись на основе понятия кратности и классического определения размерности аПш, данного Лебегом (см. [2[). К СТАТЬЕ аОБ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ» К Построенный в статье М 36 пример открытого отображения одномерного континуума ва двумерный континуум явился первмм примером непрерывного открытого отображения одного компакта на другой, при котором повышалась размерность. Заслуживают внимания дополнительные свойства построенного отображения: его вульмерность (прообраз каждой точки является нульмерным пространством) и то, что свнзанные отображением пространства являются компактами. В связи с построенным примером целесообразно отметить следующие простые факты.
Не составляет труда представить произвольное пространство как образ нульмерного прв непрерывном отображении: на каждое пространство отображается непрерывно дискретное пространство. Несколько сложнее доказывается, что каждое тихоновское пространство является образом некоторого нульмерного пространства прн непрерывном открьпом отображении (см.[21). Однако а классе компактов последнее утверждение перестает быть верным, Действительно, непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство всегда замкнуто, а образ нульмерного пространства прн непрерывном, открытом и аамкнутом отображении, очевидно, является нульмерным простран- Тонологил (А. В. Архангельский) ством. В частности, при непрерывных открытых отображениях вульмерных компактов размерность не повышается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
