Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Таким образом, компактность пространств, участвующих в примере Колмогорова, является принципиально важной чертой примера и размерность единица — наименьшая,для которой повышение раамерности при открытом отображении компакта окааывается возможным. Тема повышения размерности при открытых отображениях далеко не была исчерпана примером Колмогорова; напротив, данная статья послужила стимулом к ряду дальнейших исследований.
В частности, обращает на себя вниыание довольно специальный характер компакта-образа в примере Колмогорова. 11овый важный шаг сделала Л. В. Келдыш: в 1959 г. она построила открытое и нульмервое отображение некоторого одномерного компакта на квадрат (см.[1, 2]). Откравляясь от факта существования такого отображения, Пасынков получил в данном направлении окончательный результат (см. [3, 2[): любой бикомпакт положительной размерности является образоы некоторого бикомпакта раамерности 1 (в смысле 6(ш, т. е.
з смысле определения Лебега) при непрерывном открытом вульмерном отображении. Весьма тонкие результаты были получены Л. В. Келдыш в отношении повю дания размерности при открытых монотонных отображениях (отображение называется монотонным, если прообраз каждой точки связен; очевидно, требование монотонности «противоположно» требованию нульмерности.) Ею был построен замечательный пример открытого монотонного отображения трехмерного куба ва куб произвольной размерности и) 3 (см.
[4, 5)). Здесь, таким обрааом, повышение раамервости при открытом непрерывном отображении происходит, несмотря на отсутствие какой-либо экзотики как в отображаемом пространстве, так и в пространстве-образе. Идейную сторону конструкции примера Колмогорова ярко осветил в недавней своей работе Козловский (см. [6]). Замечая, что в основе примера Колмогорова лежит открытое н двукратное отображение двуыервого тора ва лист Мебиуса, которое в естественном смысле несущественно, он развивает общий метод, позволяющий с помощью обратных спектров из открытых н несущественных в смысле П. С. Александрова отображений строить г-мериме прообразы любых п-мерных полиэдроз (где и ° г) 1) как при открытых монотонных, так и при открытых нульмерных отображениях.
2. Повышение размерности при открытом отображении является косвенным признаком достаточно сложного строения этого отображения. В частности, можно сказать, что таков отображение устроено принципиально иначе (даже локально), чеы отображение проектирования проиаведения пространств на сомвожитель. Важный случай открытых отображений составляют гомоморфизмы топо- логических групп на их фактор-группы. Работа Колмогорова была продолжена в направлении исследования поведения размерности при таких гомоморфизмах. Выяснено, что если группа локально бикомпактна, то размерность любой ее фактор-группы ве превосходит размерности всей группы (сы.
[7]). В то же время каждая топологическая группа представима как фактор-группа некоторой нульмервой топологической группы — этот результат получен недавно в [8]. 414 Комментарии 3. Построение примера описано в статье точно и достаточно подробно. Однако нри обсуждении его свойств проведено не совсем корректное рассуждение. А именно в п. 1' ошибочно утверждается, что предел счетного обратного спектра открытых отображений гн: Хн 1'„являетси открытым отображением предельного пространства Х на предельное пространство У.
В обоаначениях п, 1о статьи Колмогорова, чтобы искомое ааключение имело место требуется, чтобы дополнительно выполнялось условие: 1„(у-„' ( „,)) = ф„', (7„, (.„,)). В терминологии Пасынкова это соотношение выражает заполненность отображения гн, отображением ук (см. [2, с. 465)). Существенна также компактность участвующих в спектре пространств. Не составляет большого труда проверить, что в примере Колмогорова укаэанное дополнительное условие соблюдается, откуда и следует открытость построенного им отображения. ЛИТЕРАТУРА 1, Келдыш 7, В.
Нульмервые открытые отображения.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, с. 165 — 184. 2, Александров П. С., Пасинков В. А. Введение в теорию размерности. Мл Наука, 1973. 3, Пасынков В. А. Нульмерные открытые отображения, повышающие размерность.— УМН, 1963, т. 18, вып. 5, с. 183 — 190. 4. Келдиш Л. В. Монотонное отображение куба на куб большей размерности.— Мат. сб., 1957, т. 41, № 2, с. 129 — 158. 5.
Келдьии Л. В. Преобразование монотонно неприводимого отображения в монотонно открытое и ыонотонно открытые отобраисения куба, повышающие размерность.— Мат. сб., 1957, т. 43, № 2, с. 187 — 226. 6. Коеловский П. М. Повышающие размерность открытые отображения компактов на полиздры как спектральные пределы несущественных отображений полиздров.— В кнл Ленингр. Междунар. топологическая конф. Лл Наука, 1982. 7. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применение.
Мл Изд-во иностр. лиг., 1950. 8. Архангельский А. В. Классы топологических групп.— УМН, 1981, т. 36, вып. 3, с. 127 — 146. АКСИОМАТИКА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 64. В, Минаков) Пусть К вЂ” тело, М есть (и + 1)-мерное векторное пространство, Е (М) = = (6в, 6„..., 6„) — и-мерная проективная геометрия над телом К, т. е. структура надпространств пространства М (здесь 6з — множество всех (й + 1)- мерных надпространств в М). На рубеже Х1Х и ХХ вв.
Гильберт (см. (4)) показал, что все абстрактные конечномерные деэарговы проективные геометрии Вьк = (6о, 6,,..., 6„) исчерпываются системами линейных надпространств конечномерных векторных пространств над телами, т. е. иэоморфны к-мерным проекгивным геометриям В (М), В дальнейшем зтот раздел математики, связанный с аксиоматизацией геометрии или введением координат в аксиоматически заданную геометрию, Акеиоматика прови»пивной геометрии (А. В. Михалев) 415 активно развивался (см.
[1 — 3, 6, 10[), что позволило связать проевтивную геометрию со многими частями алгебры (теорией групп, теорией структур, теорией колец) и привело к созданию новой ветви алгебры, которую Курош называл «проеьтиввой алгеброй». В 30-е годы А.Н. Колмогоров одним иэ первых в нашей стране начал исследования по топологической алгебре, т. е. предложил изучать множества, ва которых определены алгебраические операции и топология, причем алгебраические операции непрерывны.
На этом пути в 1932 г.им и была опубликована работа [5[ (М 20 наст. изд.), посвященная аксиоматике проективных геометрий. Именно если теперь К вЂ” топологическое тело, векторное пространство М наделено топологией произведения (и + 1)-го экземпляра топологической абелевой группы К,множества 6г топологизированы с помощью естественной процедуры «шевеления» базиса й-мерного надпространства, то плоскость а «н «в 6«, проходящая через линейно неаависимые точки а„ а„ ..., аг щ 6», зависит от них непрерывно. Если же тело К непрерывно (т. е. локально компактно и недискретно), то все пространства 6з компактны, а если тело К вполне несвязно, то все пространства 6г вполне несвязны. Далее А.
Н. Колмогоров назмваег абстрактную проективную геометрию В»п = (6«, 6, ..., 6„) непрерывной, если множества 6« точек и 6, прямых являются компактными бесковечными топологическими пространствами, а прямая является непрерывной функцией от пар точек, через которые она проходит. В [5[ было доказано, что всякая непрерывная проекгивная геометрия В»п изоморфна некоторой проекгивной геометрии л) (М) над некоторым непрерывным телом К (а если пространство точек связно, то топологическое тело К также связно). В связи с этим А. Н. Колмогоров поставил проблему об описании связных локально компактных тел, которая была решена Л.
С. Понтрягиным (см. [7, 8[): ими оказались лишь поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов. Эта работа А. Н. Колмогорова сыграла важную роль в дальнейшем раавитии топологической алгебры. В частности, характеризация всех локально компактных связных дезарговых плоскостей на основе приведенных результатов А. Н. Колмогорова и Л. С.
Понтрягина явилась стартовой точкой теории топологических геометрий (см., например, обзор [9[ по топологическим проективным плоскостям). В диссертации автора комментария (1967), в частности, было отмечено, что при некоторых предположениях структура надпространств топологического векторного пространства вад топологическим телом с топологизированным множеством одномерных надпространств полностью определяет топологвческое векторное пространство и, таким обрааом, в теореме А.
Н. Колмогорова топологическое тело К и топологическое пространство М определены однозначно (с точностью до топологического полулинейвого отображения). ЛИТЕРАТУРА 1. Аршин В. Геометрическая алгебра. Мл Наука, 1969. 283 с. 2. Биркгоф Г. Теория структур. Мл Изд-во пиастр. лиг., 1952. 407 с. 3. Бер Р. Линейная алгебра и геометрия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
