Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 93
Текст из файла (страница 93)
В задаче а) иа теоремы Колмогорова следует, что квадрат полного кинетического момента мало меняется в течение бесконечного времени, если в начальный момент тело вращается достаточно быстро (кинетическая энергия велика по сравнению с потенциальной) (см. [4)). Что касается планетоида, то его мгновенная эллиптическая кеплерова орбита будет под влиянием «планеты» У лишь медленно поворачиваться в своей плоскости, если в начальный момент она не пересекается с круговой орбитой «планеты» .' и отношение масс тел .' и К достаточно мало. Из теоремы А.
Н. Колмогорова непосредственно вытекает также устойчивость большинства магнитных поверхностей относительно малого изменения магнитного поля в тороидальвых системах типа токамак при ненулевом ппире» (производной отношения частот по номеру тора). 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ Для изучения нелинейных колебаний гамильтововых систем вблизи положений равновесия илн периодических движений теорема А. Н. Колмогорова непосредственно неприменима (иа-за вырождения, которое Борн [5) называет предельным: торы стягиваются в точку). Однако небольшое видоизменение этой теоремы доставляет иввариантные торы и в случае предельного вырождения..Таким образом, колмогоровские торы решают, например, проблему Бирк- Классическая механика (В. ХХ. Арнольд) гофа об устойчивости общих аллиптических точек сохраняющих площади отображений плоскости на себя [6).
Наиболее законченный результат в атой проблеме принадлежит Мозеру [7): неподвижная точка 0 сохраняющего площади гладкого отображения, заданного в полярных координатах формулой (г, ф) ь+ (г, ~р + а + бге) + О (гс), устойчива, если а ~ 2пНЗ, 2М/4; б ф О. Из относящегося к предельному вырождению варианта теоремы Колмогорова следует, что колеблющаяся точка вечно остается вблизи устойчивого по линейному приближению положения равновесия или периодического движения для большинства начальных условий, блиаких к нему, если только рассматриваемая колебательная гамильтонова система удовлетворяет некоторым (евообще говоря» выполненным) условиям невырожденности. В случае, когда размерность фазового пространства можно понизить до трех, двумерные торы, гарантируемые' обобщенной теоремой Колмогорова, делят фазовое пространство и потому обеспечивают настоящую устойчивость положений равновесия или периодических движений по Ляпунову.
Из классических проблем, решенных таким обрааом, упомянем две: а) докааательство устойчивости лагранжевых периодических решений плоской круговой ограниченной задачи трех тел [8, 9); б) доказательство устойчивости перевернутого нелинейного маятника без трения при достаточно быстрых колебаниях точки подвеса в вертикальном направлении. 4, СОБСТВЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ Часто встречается ситуация, в которой невоамущенное движение описывается меньшим числом частот, чем число степеней свободы (собственное вырождение в смысле Бориа, примеры — кеплерова аадача и задача о движении заряженной частицы в сильном магнитном поле). Перенесение теории А. Н. Колмогорова на этот случай [10) позволило, в частности, доказать вечную адиабатическую иввариантность переменной действия в нелинейных системах с одной степенью свободы при медленно периодически меняющейся функции Гамильтона [11), а также вечное удержание заряженных частиц в аксиально-симметричных магнитных ловушках [12).
Комбинация этих результатов с исследованием колебаний вблиаи положения равновесия (п. 3) приводит к доказательству вечной малости изменений больших полуосей планетных орбит для большинства начальных условий, при которых начальные кеплеровы аллвпсы мало отличаются от непересекающихся окружностей, лежащих' в одной плоскости и пробегаемых в одном направлении, при условии, что массы планет достаточно малы по сравнению с массой центрального тела [12).
Исключительные начальные условия, приводящие в конце концов к существенному иаменению больших полуосей кеплеровых эллипсов, образуют предположительно множество положительной меры, всюду плотное в фазовом пространстве. Комментарии 5. ДИФФУЗИЯ Если ивварнавтиые торы, доставляемые теоремой Колмогорова, ве делят фазовое пространство (редуцированное с учетом первых интегралов), то фазовая кривая, начавшаяся в щели межу ними, может в принципе за большое время уйти далеко от того инвариантного тора вевозмущенной системы, где находилась ее начальная точка. В этом случае значения переменных действия (интегралов вевозмущенной системы) уходят далеко от своих начальных значений.
Примеры такого ухода в невырождеиной системе были построены в [13[. Средняя скорость ухода в этом примере была зкспоневциально малой (порядка о тУз, где 8 — величина возмущения). Эксповевциально медленный уход не улавливается никаким приближением теории возмущений, в которой рассматриваются ряды по степеням О н которая действует ва больших временах порядка отрицательных степеней 0 — за такие времена значение действия не успевает далеко уйти от своего начального значения.
Но поскольку этот уход совершается в непредсказуемом (сильно зависящем от начальных условий) направлении и носит характер блуждания между колмогоровскими торами, физики его назвали диффузией [14[. Нехорошев [15 — 17[ получил для средней скорости эволюции переменных действия экспоненциальиую оценку сверху: изменение действия остается малым (порялка Оа, 0 ( а < 1) в течение экспоненциально большого времеви (порядка Изь) Теорема Нехорошева объясняет, почему эволюция переменных действия не обнаруживается ни в каком приближении теории возмущений, в частности— в теоремах Лапласа и его последователей.
Числа а и Ь оценены Нехорошевым через некоторые геометрические характеристики искривленности поверхностей уровня невоамущенной функции Гамильтона, так назьгваемые покааателн крутизны. Эти показатели в настоящее время вычислены для систем общего положения сне более чем тремя степенями свободы [18[. 6.
МЕРА ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА Теорема Колмогорова утверждает, что (в ограниченной области фазового пространства) мера дополнения к инвариантным торам, не раарушившимся при воамущеиии величины О, мала вместе с О. Более внимательнмй анализ позволяет получить для этой меры оценку сверху величиной Сг' б (Лазуткин П9), Сванидзе [20[, Пешель [21[). Для аналитической системы с двуми степенями свободы с собственным вырождением (одна вз частот пропорциональна О) Нейштадт оценил сверху меру дополнения к инвариантным торам экспоненциально малой величиной а ~т. Оценки меры исключительного множества существенны для применений колмогоровских торов к построению квааиклассических асимптотик большинства собственных чисел оператора Лапласа в областях, близких к интегрируемым биллиардам (например, эллипсоидам), см.
[22[. Неулучшаемость оценки СЬгф ясна уже из появления Угф во всех асимптотиках, относящихся к случайному вырождению (по терминологии Борва [5[): Классическая механика (В. И. Арнальд) 437 уже Пуанкаре [3[ знал, что при рассыпании резонансного тора вевозмущенной задачи образуется зона его влияния ширины порядка гс0 по переменной действия. В этом легко убедиться, усреднив воамущевие по тору на единицу меньшей размерности и проинтегрировав полученную систему с одной степенью свободы (описывающую так называемые фазовые колебания при реаонавсе). Мы увидим, что амплитуда фазовых колебаний имеет порядок У О, а период — порядок 1! [7 О.
Впрочем, некоторые фазовые кривые в укааанной зоне снова ложатся на торы полной размерности (так называемые острова в щелях между торами, близкими к невоэмущенвым). Вопрос о том, положительна ли в случае общего положения мера начальных условий, соответствующих не условно периодическим движениям, остается открытым (предположительно ответ ноложителен). Само существование таких начальных условий, приводящих к «квааислучайнымэ движениям, доказано Алексеевым [23[.
7. ГЛАДКОСТЪ Теорема о сохранении торов была докааана Колмогоровым для аналитических систем, и ов ве предполагал, что ее можно перевести хотя бы на бесконечно дифференцируемые системы. Однако вскоре после опубликования первого подробного наложения метода Колмогорова [24[ Моаеру удалось, объединив метод Колмогорова с методом сглаживания Нэша' [25[, докааать теорему о сохранении торов в системе конечной гладкости [26, 27[. В первых работах Мозера порядок используемых производных функции [Гамильтона был очень велик (334 для е = 2), но впоследствии [28, 29[ он был снижен до г ) 2«, где е — число степеней свободыЗ Зависимость торов от частоты движения по ним в аналитическом случае„ как и укааывал Колмогоров, оказалась в некотором смысле моногенвой по Борелю (дифференцируемой ва множестве, выходящем в вещественную область кавторовским континуумом) [24[.
В гладком случае Пешель [21[ докааал гладкость в смысле Уитни зависимости торов от частоты на кавторовском множестве в предположении г-гладкости возмущения функции Гамильтона, если г> Зе — 1. С другой стороны, Такенс [30[ построил пример 1-гладкого отображения кольца, сохраняющего площади и близкого к повороту на переменный угол, однако не имеющего инвариантных кривых (4-гладкость была бы достаточной для их существования).
Точное число необходимых для существования колмогоровских торов производных неизвестно ви в одном случае. Мааеру [31, 32[ принадлежит интерполяция семейства инвариантных кривых отображения кольца до одвопараметрического семейства, в котором реализуются сплошь все числа вращения от максимально возможного до минимально возможного (а не только числа из канторова множества, как в теореме Колмогорова). Некоторые иа его «инвариавтных кривыхэ на самом деле гомеоморфвы не окружности, а кавторову множеству. Однако все они находятся из единого вариационного принципа, введенного Персивалем [33[ для приближенного численного отыскания колмогоровских торов.
438 )Гоммеятав ив 8. НЕГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ Метод, при помощи которого А. Н. Колмогоров строит свои торы, заодно доказывает многочисленные варианты теорем о неявной функции во всех областях аналиэа, где решение линеаризованного уравнения приводит к потере гладкости (см. [26, 34, 35)). Две теоремы такого рода были докаэаны еще в 40-х гг.: это теорема Энгеля об эквивалентности голомофвого векторного поля или отображения своей линейной части в особой точке с нормально несоизмеримыми собственными числами [36 — 38) и теорема Картана о факторизации голоморфных матриц [39).
Простейший негамильтонов аналог теоремм А. Н. Колмогорова доставляется теорией дифференциальных уравнений на двумерном торе (или теорией диффеоморфных отображений окружности на себя). Наиболее законченные результаты в втой области получил Эрман [40): для почти всякого числа вращения аналитический диффеоморфизм окружности аналитичеснв сопряжен повороту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
