Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 96
Текст из файла (страница 96)
179 — 238. 43. Свекс!кег А. СоигЬез 1пчапап!ев поп поппа1ешеп! ЬурегЬо!1циез аи чо!згпа8е д'ипе Ы1игса!!оп де Нор! деяепегее де сКНеошогрЫвгаез де К'.— С. г. Асад. яс!. Рапя, 1981, чо!. 292, Х 10, р. 507 — 5!О. 44. Савам О., С)ьгг!)соо В. у., Рогй 1., 1вгаг!ео Р. М, ЯтосЬав!!с ЬеЬачюиг ш с1азз!са! апд г(иапгиш Наш!Ноп!ап вуз!ешз.— Бес!. Хо!ев РЬув., !979, чо!. 93. 45. Огееке 1. М., Регс!оа! 1, С.
Наш!!топ!ап шаря !п тЬе сопьр1ех р1апе. РЬуя!са, 1981, чо!. ЗО, № 3, р. 530 — 548. 46. Синай Н. Г. Классические динамические системы со счетиократяым лебеговским спевтроы. П.— Изв. АН СССР.Сер.мат., 1966, т. 30, № 1, с. 15 — 68. 47. Аносов Д'. В. Геодезические потоки па замкнутых римаяовых мкогообразиях отрицательной кривизны.— Тр.
МИАН СССР, 1967, т. 90. 48. Огквгегк Р. Егдод!с !Ьеогу, гапдопшеяв апд дупаппса1 яув!ешв. Хетч Начеп: 1)п!ч. Ргевз, 1974. Рус. перл Орнсгаейн Д. Зргодическая теория, случайность и дииамические системы. Мл Мвр, 1978. (Математика; Т. 8). 49. Аносов Д. В. Грубость геодезических потоков яа компактных римаиовых многообразиях отрицательной кривизны.— ДАН СССР, 1962, т.
145, № 4, с. 707 — 709. 50. Арнольд В. Н., Мешалкнн Л. Д. Семинар А. Н. Колмогорова по избраквым вопросам анализа (1958 — 1959).— УМН, 1960, т. 15, вып. 4, с. 247 — 250. Комментарии 51, Свееаг Е. Петепвш!емс вопрепоеПс Потч.— 1. Атпюе. Зс!., 1963, чо!. 20, р. 130 †1. 52. Ситнинвв К. А. Существование осциллнрующих движений в задаче трех тел.— ДАН СССР, 1960, т. 133, № 2, с. 303 — 306. 53. АгеЪееи 1'.
М. 8ит ГаПвге Пва!е дп твовчешевт дава !е ргоЫеше де гго!з согре.— Асп Совбг!и 1втега. Матй. %се, 1970. Раг!в, 1971. Рус. перл Аленсеев В. М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая дива- мика.— УМН, 1981, т. 36, вып. 4, с. 161 — 176. 54. Аносов Д. В., Катан А. Б.
Новые прнвееры в гладкой зргодической теории. Эргодическне диффеоморфизмы.— Тр. Моск. мат. о-ва, 1970, т. 23, с. 3 — 36. 55. Шнлевер М. Д. О классических динамических системах на торе с непрерывным спектром.— Изв. вузов. Математика, 1967, № 10, с. 113 — 124. 56. Криеин А. Б. Пример непрерывного потока на тореза смешанным спектром.— Мзт. заметки, 1974, т. 15, № 2, с. 235 — 240. 57.
Кочергин А. В. Об отсутствии перемешивания у специальных потоков лад поворотом окружности и у потоков на двумерном торе.— ДАН СССР, 1972, т. 205, № 3, с. 515 — 518. 58. Аносов Д. В. Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с зргодическим поворотом окружности.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1973, т. 37, с. 1259 — 1274. 59.
Гарден А . Я. Достаточное условие неразрешимости аддитнвного гомологического уравнения, связанного с зргодическнм поворотом окружности.— Функцион. анализ и его приложения, 1975, т. 9, № 4, с. 71 — 72. 60. Мешалнин Л. Д., Синай Я. Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движении несжимаемой вязкой жидкости.
— ПММ, 1961, № 6, с. 1140 †11. 61. Синай Я. Г. Гиббсовские меры в зргодической теории. — УМН, 1971, т. 27, вып. 4, с. 22 — 64. К РАБОТАМ О СУПЕРПОЗИЦИНХ А. Н. Колмогоров Две основные работы этого цикла (№ 55 и 56) возникли в результате ведения мной студенческого семинара (955 г. Из числа участников семинара студентов я вспоминаю второкурсников В. И. Арнольда, А. А. Кириллова и третьекурсника С. А. Смоляка. Семинар был посвящен теории приближенного представления функций нескольких переменных, в том числе задачам приближенного номографировання.
Тринадцатая проблема Гильберта была сформулирована мной уже во вводной лекции в качестве далекой перспективы,которая почти наверное не будет достигнута. Небезынтересно заметить, что в связи с номографической проблематикой некоторая доля внимания была с самого начала привлечена к номографируемым функциям двух переменных, т. е. функциям вида Х (Ф (х) + т' (у)). Функции этого вида оказались существенным элементом в окончательном выражении функций многих переменных черев функции одного переменного и операцию сложения.
Однако первым появилось решение проблемы Гильберта, основанное на совершенно других идеях и использующее технику, разработанную А. С. Кронродом. На этом последнем пути я пришел к теореме, составляющей содержа- 445 Суперио«иции (В. В, Арнольд) иие работы, в которой было доказало, что любая непрерывная функция и ) )4 переменных представима в виде суперпозиции функций трех переменных. Усовершенствовав методы этой работы, В.
И. Арнольд дал окончательиое решение проблемы Гильберта в виде теоремы, согласно которой любая непрерывная функция и )~ 3 переменных представима в виде суперпозиции функций двух переменных. Лишь несколькими месяцами позже мпе удалось при помощи совершенно других конструктивных приемов доказать теорему заметки № 56, являющуюся усилением теоремы Арнольда, в силу которой любая непрерывная функция любого числа переменных представима в виде суперпозиции функций одного переменного и сложения. СУПЕРПОЗИЦИИ (В, И. Арно.«ьд! Доказательство представимости каждой непрерывной функции и перемевиых в виде суперпозиции Зп-~-1 и ((хь..., х„) = ~ й ~ ~Ч~~ ф (х ) ~ (О Оэц р непрерывных фувкций одвого переменного и операции сложения А.
Н. Колмогоров называл наиболее трудиым втехвическом отвошевии своим дости:кеввем. В этом комментарии перечислены освоввые усовершевствовавия представления (1) и лишь очень коротко упомянуты другие аспекты задачи о лредставлеиии функций суперпоэицияии (ср. [1 — 3)). В разложеиии Колмогорова (1) ввутреввие фувкции «ри«фиксвровавы в лишь внешние )(ч зависит от разлагаемой функции А 1. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ Работе А.
Н. Колмогорова № 56 предшествовала работа № 55, в которой было доказало, что любая вепрэрыввая фувкциа четырех переменных предста- вима суперпозицией вепрерызвых функций трех перемеввых. Вопрос о представимости непрерывных фувкций трех переменных суперпозицияии функций двух пэрэмеввых метод работы № 55 сводит к некоторой задаче о представлении функций, заданных ка универсальных деревьях трехмервого пространства. Этот последний вопрос был решев в работе Арнольда [34) в тем самым было впервые получено предстазлевиэ вепрерыввой функции трех переменных супер- позициями непрерывных функций двух переменных.
Разложеввэ (1), сводящее все непрерывные функции конечного числа переменных к суперпозицвям велрерыввых функций одной переменной и сложения, было получено вскоре после этого А. Н. Колмогоровым. При этом ов отметил, что «коиструкции, употребляемые в этой заметке (№ 56), были найдены путем анализа конструкций, употреблявшихся в № 55 и [34[, и отбрасывания в вих деталей, излишних для получевия ковечвого результата». Комментарии Подробиые доказательства теоремы Колмогорова и содержащихся в его заметке 1957 г.
лемм были опубликоваяы Тихомировым [4], Лоренцем [2], Шпрехером [5], Хедбергом [43[ и другими. Лоренц [2] ааметил, что ввешиие функции тч можно заменить одиой-едвпствеииой функцией )(. Шпрехер [5] свел все внутренние функции к сдвигам и растяжениям одиой-едияствеипой: существуют е ) 0 и а ) О,такие, что любая непрерывная функция а переменных представима в виде зотл )( ° ° „)= Х Х! Хдф(5+ )+91 о=-л г=л (2) Фридман [6] доказал, что внутренние функции фгч в разложеиии Колмогорова (1)~ можно выбрать удовлетворяющими условию Липшица; Шпрехер (7] перенес этот результат па рааложеяие (2) (фуикцию лу можно выбрать удовлетворяющей условию Липшица). Из теоремы Бари [8] о представлении любой непрерывной функции одного переменного' суммой трех суперпозиций абсолютно яепрерывиых функций 2[» у» и теоремы А.
Н. Колмогорова (1) следует представилюсть всех яепрерывиых функций любого числа переменных суперлозициями абсолютно иепрерыввых функций одного переменного и операции сложения. Досс [11] получил из усовершеиствоваяиого им разложения Колмогорова и работ Кахаяа [42, 44] набор непрерывных фуякций одного перемеииого 7», я», через которые любая непрерывная иа квадрате функция выражается в виде ряда Х 0»1аЛ»»1»1 а»е с 2 ] а» ] ( оо. Ои покааал, что если аамеивть в (1) внутреннюю сумму произведеиием, то ф можно брать «почти любые» (в смысле категорий Бара), а )( — ие зависящей от д фупкциея с абсолютно сходящимся преобразованием Фурье. Остравд [39] распространил разложеиие (1) иа функции яа и-меркам ко».- пакте, а Досс [12] — иа неограниченные (в Ка).
2. ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕДСТАВИМОСТИ Бассалыго доказал, что, каковы бы ии были три непрерывные иа квадрате функции ф», найдется иекрерывиая функция Е яе представимая в виде Тт» ф» пи при каких непрерывных )(» [9]. Аналогичное разложение в сумму анти слагаемых (1] воэможио по теореме Колмогорова. Досс [10] показал, что четырех слагаемых вместо пяти уже иедостаточно для раэложеяия всякой непрерывной фуикции двух перемепяых в суыму вида (1), если (фиксироваииые) внутренние функции фго моиотоииы. Витушкии и Хенкин доказали, что:, 1) каковы бы ии были непрерывные иа квадрате фуикции ф» и непрерывно диффереицируемые функции',лу», найдется аналитическая па квадрате функция, ие представимая в виде суммы произведеяий 2ф».(у» о ф») ии при каком выборе иепрерывяых внешних фуякций одного перемеииого у») более того, 2) множество таких сумм (со всевозможными иепрерывиыми у») замкнуто и нигде ие плотио (в равиомериой метрике); Суперпоеиции (В.
И. Арнольд) 3) существует многочлен (л, ц- тхь)п, ему не принадлежащий. Эти результаты переносятся на функции, аадавные ва кубе любой раамер ности (см. [13 — 15]). Фридман доказал нигде не плотность в Сз множеств функций двух переменных, представимых в виде 3 уз ьуг с фиксированными внутренвимп непрерывно дифференцируемыми функциями фе, а также множества функций трех переменных, представимых в виде Хуг фг, где ф»: В' В' дважды непрерывно дифференцируемы, уг .
В' В непрерывны [35, 36]. 3. ТРИНАДЦАТАЯ НРОБЛЕИА ГИЛЬБЕРТА Точная формулировка проблемы Гильберта, на которую А. Н. Колмогоров ссылается в своих заметках, такова (см. [1]): «показать, что уравнение седьмой степени )' + л(з + у)з + з) + 1 = О (3) неразрешимо с помощью каких-либо непрерывных функций, зависящих только от двух аргумевтовь. Исследованию вопроса о представимости функций суперпоаициями функций меныпего числа переменных, удовлетворяющими тем или иным дополнительным условиям (алгебраичность, аналитичность, гладкость), посвящено много работ, Гильберт, конечно, знал, что суперпозиции раэрыеныз функций двух переменных представляют осе функции большего числа переменных. Существование аналимипеониз функций трех переменных, не представимых никакими конечными суперпозициями аналитическиз функций двух перемен ных, также было известно Гильберту (на зто он указывает в [1]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
