Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Островский [16] доказал, что функция непредставима в виде конечной сулерпозиции бесконечно дифференцируемых функций одного переменного и алгебраических функций любого числа пере менных. Витушкин [17) докааал, что существуют р раз непрерывно дифференцируемые фувкцви и переменные, не представимые конечными суперпозицияыи д) 1 раа непрерывно дифференцируемых функций й( п переменных, если д))е .л р!и. А. Н. Колмогоров высказал гипотеау [3], что существуют аналитические функции трех переменных, ве представимые суперпозициями непрерывно дифференцируемых функций двух переменных, в аналитические функции двух переменных, не представимые суперпозициями непрерывно дифференцнруемых функций одного переменного и сложения. Вопрос о представимости корня уравнения 7-й степени (3) суперпозицией аналитических или алгебраических функций остается открытым.
448 Комментарии 4. ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ При формулировке своей проблемы Гильберт исходил иэ результата Чнрнгаузева [18[, согласно которому корень алгебраического уравнения степени и ) 5, т. е. функция [ (хп ..., х„), определенная уравнением [и + ха[" г +... + х„= О, (4) выражается суперпозицией алгебраических функций и — 4 переменных.
Гиль- берт предполагал, что число п — 4 нельзя уменьшить при и = 6, ?, 8; ов же доказал, что при решении уравнения степени и = 9 можно обойтись функциями и — 5 переменных [19). Вимав [20] распространил последний результат на и > 9, а Чеботарев [21] понизил число переменных, входящих в представление функций, до и — 6 при и ) 21 и до п — 7 прн и ) 121, Чеботареву принадлежат первые попытки найти топологические препятствия к представимости алгебраической функции суперпоэициями алгебраических функций, однако его доказательства не были убедительными (см.
[22 — 24]). В настоящее время топологическими соображениями (связанными с поведением многозначной алгебраической функции на многообразии ветвления и вблизи него) удается докааывать невозможность представления алгебраических функций полными суперпоаициями целых алгебраических функций (полнота означает, что разлагаемая функция должна включать осе ветви суперпозиции многоаначных функций, а не одну из них, как,например,в формулах для решений уравнений 3-в и 4-5 степени). На этом пути построены некоторые топологические препятствия к представлению в виде полной суперпоэиции алгебраических функций (классы когомологий в дополнении к многообразию ветвления, инвариавтные относительно преобрааований Чирвгауэена, см.
[25] — [29]). Наиболее законченный результат принадлежит Лину [29[: для любого п ) 3 корень [ (х,,..., х„) уравнения (4) ни в какой окрестности начала координат не является полной суперпоаицией целых алгеброидных функций меньшего чем и — 1 числа переменных и одноэначных голоморфных функций любого числа переменных. Таким обрааом, с точки эревия полных суперпоаиций целых алгебраических функций уже уравнение четвертой степени не решается беэ привлечения функций трех переменных.
Доказательство теоремы Лина можно рассматривать как модерниэацию и своего рода реабилитацию соображений '1еботарева [23] и предпринятой Морозовым [24) попытки их исправить. Допущение нецелых функций расширяет возможности представления примерно на один аргумент. Например, корень уравнения ]о+ х[+ у = О представляется суперпозицией алгебраических функций одного переменного и арифметических операций, если включать в их число деление, и не представим ни в какой окрестности нуля суперпоаицией аналитических функций любого числа переменных и алгеброидных функций одного переменного (Хованский [45]).
Было бы интересно проверить, ве дают ли теоремы Делиня о поведении смешанных структур Ходжа при алгебраических отображениях новых препятствий к представлению функции суперпоэициями алгебраических. 449 Сунерновиции (В. ХХ. Арнольд) 5. ПРИБЛИЖЕНИЯ Возвращаясь к работам А. Н. Колмогорова о суперпозициях, отметим еще поставленные им вопросы о аамкнутости классов функций, представимых супер- позициями, в равномерной метрике. Цитируемая в докладе на 1П Всесоюзном математическом съезде теорема о иепредставимости в виде )( [еу (х) + ф (у)) функции ху на квадрате 0 ъ. х, у ~( 1, аппроксимируемой представимыми в ахом виде функциями (х+ з)(у+ е), докааана в [30]. Крейиес и Вайнштейн [31) доказали, что равномерный предел последовательности представимых в таком виде функций представим в таком же виде, если он монотонен по каждому переменному. Незамкнутость и нигде не плотность класса всех функций, номографируемых в однозначных функциях, докааана Мухиным [32], замкнутость некоторых линейных суперпозиций в 1« обсуждается Фрндманом [36, 37).
Наилучшее приближение непрерывной функции на прямоугольнике суммами еу (х) + ф (у) всегда достигается (ср. [32)), Вопрос о представимости в таком виде функций на плоских кривых был поставлен А. Н. Колмогоровым для деревьев и решен в [34); этот же вопрос для замкнутых кривых немедленно приводит к «малым знаменателямь (см. [35]), Вопрос о представлении функций на кривой хг = ив (1) в виде н 1И) = ~ч Аг(!) еуг (изПП г=т (с фиксированными коэффициентами Аг) важен в теории особенностей дифференцируемых отображений. Типичный пример — разложение функций на полукубической параболе 1(г) = р «)+ф (В+В).
Если гладкая функция 1 допускает такое представление на уровне формальных рядов, то существует и гладкое (класса С ) представление (Ж. П. Дюфур), Но если при этом 1 голоморфяа, то голоморфное представление, как правнло, не существует (Воронин [47]). ЛИТЕРАТУРА 1. Проблемы Гильберта. Мл Наука, 1969, с. 163 — 170. 2. Вагоно С.
С. Месг1с ел!гору, пЫ[Ь, апй зпрегроз!1!опз о1 1ппстюпз.— Ашег. Ма!Ь. Моп., 1962, то!. 69, р. 469 — 485. 3. Вргеоаег В. А. А звгтеу о1 зо!тей апй ппзо!тей ргоЫешз оп зпрегрош!!опз о1 !пист!опо.— 1, Арргохив. ТЬеогу, 1972, то!. С, )й 2, р. 123 — 134. 4. Тихомиров В. М. Работы А.
Н. Колмогорова по е-энтропии классов функций и суперпозициям функцвй.— УМН, 1963, т. 18, вып. 5, с. 55 — 92. 5. Вргееьег В. А. Оп 1Ье зтгпсгпге о1 соп!!ппоиз 1ппст!опз о1 зетега! тат!аЫез.— Тгапз. Ашег. Ма«Ь. 8ос., 1965, то!. 115, с. 340 — 355. [ 6. Фридман Б. Л. Повышение гладкости функций в теореме А. Н. Колмогорова о суперпозициях.— ДАН СССР, 1967, т. 177, с. 1019 — 1022. 7. Вргеойег Р.
А. Ап !шрготешепг !и 1Ье зэрегроз!т!оп 1!«еогеш о1 Ко!шойогот.— Х. МатЬ. Ава!. апй Арр1., 1972, то1. 38, р. 208 — 213. 8. Ваг! Аг. С. Мешо!ге зпг 1а гергезепта!!ов Пв1е йез 1овс!ювз соп!1ппез.— Ма1Ь. Агш., 1930, Вй. 103, 8. 185 — 248, 598 — 653. 9. Баоеалиго .7. О. О представлении непрерывных функцвй двух переменньсг при помощи непрерывных функций одного переменного.— Вести. МГУ. Сер.
мат.-мех., 1966, т. 21, с. 58 — 63. Комментарии 10. Рова В. Оп !Ье гергевепгаНоп о1 сопПппопз 1ппс!!опв о! !но чапаЫез Ьу шеапв о1 абб!!!оп апг( соп!!ппопз 1ппсВопз о1 опе чаг!аЫе.— СоПоФ шагЬ., 1963, чо!. 10, р. 219 — 259. 11. Рот К. Вергевеп!аИопв о! соп!шопе 1ппсПопв о1 зачета! чаПаЫев.— Ашег. !. Ма!Ь., 1976, чо!. 98, М 2, р. 375 — 383. 12.
Рова В. А зпрегровП!оп 1Ьеогега 1ог ппЬоппдед соп!!ппопз 1ппсгюпв.— Тгапз. Ашег. Ма!Ь. Яос., 1977, чо!. 233, р. 197 — 203. 13. Витуткин А. Г. Доказательство существования аналитических функций многих переменных, не представимых линейнымв суперпозициями непрерывно дифференцируеных функций меньшего числа переменных.— ДАН СССР, 1964, т. 156, № 6, с. 1258 — 1261. 14. Хенкин Г. М. О линейных суперкозициях непрерывно дифференцируемых функций.— ДАН СССР, 1964, т.
157, № 2, с. 288 — 290. 15. Витуткшь А. Г., Хвнкин Г. М. Линейные суперпознции функций.— УМН, 1967, т. 22, вын. 1, с. 77 — 124. 16. Овзгоовш А. ('Ьег Р!г!сЫе!зсЬе Ве!Ьеп ппд а!ЯеЬш!всЬе РП!егеп!!а!8!е!сЬппЯев.— Ма(Ь. 2!зсЬг., 1920, Вй 8, М 3 — 4, Я, 241 — 298, 17. Витуткин А.
Г. О многомерных вариациях. Мл Гостехтеориздат, 1955. 18. Гводлгкуаиввн И'. ЫегЬодпв аи1егепд! отпев !егш!пов ш!егшейоз ех ба1а ейпаг!опе.— Ас!а Егпб!!огпш, 1683. 19. Иг!Ьегг Р. СЬег йе О!е!сЬипй пепл!еп Огабев.— Ма!Ь. Апп., 1927, Вд. 97, Я. 243 — 250. 20. Иггтак А, СЬег йе Апкепдпп8 бег ТвсЫгпбапвеп Тгапз!отша!!оп ап! д!е Ведой!!оп а18еЬга1зсЬег С1е1сЬпп8еп.— Моча Асса В. Яос. Яс!. Пррва!!епв!в, 1927, чо!.
ех!га огб!и. ей1шп, р. 3 — 8. 21. Чеботарев Я. Г. К проблеме резольвент.— Уч. зап. 1(азаи. ун-та, 1954, т. 114, № 2, с. 189 — 193. 22. Чеботарев Я. Г. Проблема резольвент и критические многообразия.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1943, т. 7, с. 123 — 146. 23. Чеботарев И. Г.
Проблема резольвевт.— Собр. соч. Мл Изд-во АН СССР, 1949, т. 1, с. 327 — 340. 24. Мороэов В. В. 0 некоторых вопросах проблемы резольвенг.— Уч. зап. Казан. ун-та, 1954, т. 114, № 2, с. 173 — 187. 25. Арноаьд В. И. О классах когомологий алгебраической функции, внвариавтвых относительно преобразований Чирнгаузена. — Фувкцион. анализ и его приложения, 1970, т. 4, № 1, с. 84 — 85. 26. Арнольд В.И. Топологвческие инварианты алгебраических функций. Н.— Функциовал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
