Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Первым значительным продолжением работы А. Н. Колмогорова был цикл работ С. М. Никольского, опубликованныхв1940 — 1946 гг. Поэтому изучение асимвтотического наведения верхних граней уклонений С„(Ф), и) =.пр)П(х) — и„(1, х)1 (1) иногда называют задачей Колмогорова — Никольского или говорят о константах Колмогорова — Никольского. Укажем здесь только результаты, непосредственно продолжазощие работу А, Н. Колмогорова, относящиеся к приближению частными суммами рядов Фурье еи ((, х). Пусть )УР обозначает класс периодических функций г', у которых производная порядка р — 1 удовлетворяет условию Липшица (1ФЮ(х) — 1~' Ю(у)(~((х — у(, р=1,2, С.
М.,Никольский (1, 2) распространил оценку Колмогорова на классы ЙР, сопряженные с функциями класса И'э; аи Он доказал также (3), что обе эти оценки справедливы и для приближений соответствующих классов функций в метрике й. С. М. Никольский (4) рассмотрел также приближение функций класса Ни, модуль непрерывности ю (П 6) которых удовлетворяет условизо ю (1, 6) ~ ~ ю (6), где ю (6) — некоторый выпуклый модуль непрерывности, и доказал оценку л(з С (П ) 21ой и ~ ю(2~) (всуе+О (ю(1)) .
е Творил приближений (С. А. Теллиовеиий, В. М. Тихомиров) 888 Ефимов (5] покааал, что для многих классов 9Л выделение главного лена асимптотики величии Сп (Й), е) можно свести к нахождению верхней грани и-го коэффициента Фурье функций некоторого класса. Изучался также вопрос, в какой мере верхние грани уклонений Сп (9Л, в) могут достигаться на индивидуальной функции ( ви пЛ.
Доронин 16) доказал, например, что в классе Ип существует функция ( такая, что а Осколков (7] показал, что верхний предел здесь нельзя ааменить на предел. Точнее, он установил, что ]]( — в„(() ]] шах Ивп ,~ьув — „С„(И г, в) 12 ' Выяснялся характер аависимости от параметра р остаточного члена в асимптотической формуле Колмогорова. Соколов ]8] установил оценку е, абсолютной постоянной А. Теляковский (9] показал, что справедливо асимпто- тическое равенство С (И'э, в)= 1ой . +О( — ) пвпэ нпп(р, п) 1 пп ( равномерное по р и и. Эта оценка дает главный член асиьштотики величии Сп (И(Р, в) при условии р = о (и) и показывает, что если это условие не выполнено, то Сп (Хэ, в) = О (1(пэ) равномерно по и и р.
Главный член асимптотики в указанном случае нашел Стечкин (10]. Приближение функций многих переменных прямоугольными частными суммами рядов Фурье изучали Бугаец, Степанец и др. 2. Работа № 28 определила новое направление исследований в теории приближений. Здесь была введена новая характеристика аппроксимативных свойств классов функций, получившая впоследствии название и-пояеречника по Колмогорову или колмогоровского поперечника. Начиная с 60-х годов к поперечникам классов функций привлечено значительное внимание. Если воспольаоваться геометрическим языком, то можно сказать, что в работах Чебышева и его последователей изучались расстояния от конкретных функций до конкретных множеств (алгебраических нли тригонометрических полиномов, рациональных функций).
В работах Валле Пуссена, С. Н. Бери- штейна, Джексона, Фавара н многих других научались величины уклонений заданных функциональных классов от конкретных множеств. В работе № 28 А. Н. Колмогоров предложил исследовать для заданного класса функций те множества, для которых соответствующие уклонения являются наименьшими. Точнее, в этой работе поставлен и для двух частных случаев решен вопрос о нахождении наилучших аппроксимирующих подпространств заданной раамерности. Впоследствнн стали научать и другие подобные 884 Л'оммеитарии характеристики, другие поперечники. В атом комментарии мы ограничиваемся только колмогоровскими поперечниками.
В своей работе А. Н. Колмогоров исследует вопрос о поперечниках классов функций, получивших сейчас название соболевских классов. Соболевским классом Г„ж (1 > 1, р ) О) называется класс периодических функций, у которых р-я производная в пространстве 5ч ограничена единицей (производная понимается по Вейлю). Соответствующий непериодический класс обозначается Рз. р' В работе № 28 исследуются поперечники классов г"т* и Ез для целых р. Было р р обнаружено, что в периодическом случае наилучшим аппроксимирующим подпространством разыерности 2п + 1 является пространство тригонометрических полиномов степени и, а в непериодическом случае — некоторое специальное подпространство функций, являющихся решением дифференциального уравнения порядка 2 р.
Естественность появления тригонометрической системы для приближений в периодическом случае ,'в пространстве 5з была настолько велика, что А, Н. Колмогоров высказывает в работе № 28 предположение о единственности 4с точностью до линейного преобразования) этого классического аяпроксимирующего аппарата. Но здесь ситуация оказалась сложнее. Оказалось, что в задаче о поперечниках существенна неоднозначность решения, о чем будет сказано ниже. После работы № 28 и до конца 50-х годов поперечникам по Колмогорову было посвящено немного работ. Рудин [11[ исследовал поперечники классов Р~ в метрике Б .
В работах [12, 13[ был вычислен поперечник я-мерного октаэдра в гильбертовом пространстве, результаты этих работ были приложены Стечкиным [14[ для вычисления порядка поперечников классов г в С и Рг„ в Л . В конце 50-х годов появились работы, которые возбудйли новый интерес ы проблематике. В работах [15, 16[ и ряде последузощих (некоторые итоги этих исследований подведены в [17[) Бабенко стал ясследовать поперечники классов функций многих переменных и связывать эти вопросы с задачами вычислительной математики.
В работах Тихомирова Н8, 19[ с помощью впервые примененных в этом круге вопросов топологических методов были вычислены точные значения попеРечников по Колмогорову классов г" и Р в пространстве С. При атом была обнаружена существеяйая неоднозначность яаилучвтего аппроксимирующего аппарата и, в частности, установлено, что даже в периодическом случае наряду с классическим аппаратом приближения — пространством тригонометрических полиномов — столь же точно приближают соболевские классы пространства сялайнов.
В дальнейшем была полностью исследована задача о порядке поперечников соболевских классов г"' в метрике Ьч . При этом было установлено, что при зе Ч > Ч' и при 1 < 7', 1 < Ч' ~( 2, решение задачи дают тригонометрические полиномы (см. об атом в монографии [20[). Исмагилов [21[ впервые установил, что существуют пары Рз", Ьч, для которых тригонометрическое приближение не- оптимально по порядку. Полное решение задачи о порядке поперечников собо- Теория «рибяижекий (С. А. Теяякееекий, В. М. Тихомиров) 385 левских классов было дано Кашиным [22). Впоследствии было выяснено, что во многих случаях наилучший порядок дают не тригонометричесние полиномы, а подпространства, натянутые на экспоненты с разбросанными гармониками.
Точное решение находили Мнччелли, Пинкус и др. (см. [27)). Корнейчуком [23) была точно решена принципиальная задача о поперечниках в пространстве С класса периодических функций с ваданной оценкой модуля непрерывности производной порядка р, Были найдены также поперечники некоторых классов аналитических функций. При этом постановка задачи о поперечниках привела здесь к принципиально новым методам (Ерохин [24)).
Описание всех экстремальных подпространств эллипсоида (частным случаем еллипсоидов являются классы, изучаемые в работе № 28) дал Карловиц [25). Подробная библиография содержится в книге [27). 3. Работа № 49 посвящена перенесению некоторых теорем теории равномерных приближений с функций действительного переменного на комплексные функции. Рассматриваются приближения полиномами по системе функций й, (*),..., 9„(з) и даются обобщения теоремы Чебышева о характеристическом свойстве полинома наилучшего приближения и теоремы Хаара о единственности.
Характеристическое свойство полинома наилучшего приближения, содержащееся в теореме 1, для приближений классическими многочленами, т. е. для йг (х) = з" ', было известно (Тонелли [26)). После атой работы А. Н. Колмогорова появились исследования характеристических свойств элементов наилучшего приближения и вопросов единственности в более общей ситуации. Рассматривались функции со значениями в абстрактных пространствах, приближения элементов банаховых пространств.
Например, В. Н. Никольский [28) нашел критерий элемента наилучшего приближения при приближении в комплексном банаховом пространстве элементами произвольного подпространства, Этот критерий формулируется в терминах, близких к теореме 1 работы № 49,но вместо значений функций в точках участвуют значения линейных функционалов на элементах банахова пространства.
Вопрос о том, какое множество функционалов здесь нужно брать, изучали Зингер [29), Шоке [30), Гаркави [31). ЛИТЕРАТУРА 1. Никольский С. М. Асимптотнческая оценка остатка при приблюкевин сум- мами Фурье.— ДАН СССР, 1941, т. 32, с. 386 — 389. 2. Нике.еьекий С. М. Приблюкевне периодических функций тригонометриче- скими многочленами.— Тр. МИАН СССР, 1945, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
