Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Это утверждение стало впоследствии отправным пунктом многочисленных исследований по безусловной сходимости почти всюду (Загорский, Ульянов, Олевскнй, Тандори, Талалян, Лейндлер, Арутюнян, Гарсиа, Кашин, Мориц, Полещук и др.). Так Загорский [14] впервые привел в 1960 г. краткую схему построения соответствующего примера расходящегося ряда вида (6). Подробное же и полное доказательство атого факта было дано в работе [15].'Здесь же Ульяновым [15] было доказано аналогичное утверждение для рядов по системе Хаара, Опираясь на этот реаультат, Ульянов [15] и Олевский [16) показали, что любую полную ОН-систеыу можно перенумеровать так, чтобы она стала системой расходимости почти всюду.
В п. А был сформулирован результат А. Н. Колмогорова о том, что существует расходящипся на множестве Е Г [О, 2я) с мерой юЕ = 2я тригонометрический ряд Фурье. Для ОН-систем, ограниченных в совокупности на отрезке [О, 1] некоторый аналог этого результата был установлен Бочкаревым [17] для множеств Е С [О, Ц положительной, меры.
Однако полного аналога здесь быть не может, так как Казарян [18] построил полную ОН-систему, ограниченную в совокупности и по которой всякий ряд Фурье сходится на некотором множестве положительной меры. Тригонометрические и ортогональнне ряды (П..7. Ульянов) 367 нгь, > )ьнг,' где Х > 1 и й = 1, 2,..., а потом устанавливается теорема 11— всякий лакунарный ряд Фурье сходится почти всюду. Теорема 1 была распространена в 1931 г.
Лигтлвудоы и Пэли [19] на случай функций ( «н 5Р (О, 2я) с р ) 1. Госселин же отметил [20], что при р = 1 аналогичного типа утверждение не имеет места. Что касается теоремы!1, то она оказалась следствием теоремы 1, ибо всякий лакунариый ряд Фурье обязан быть рядом Фурье от некоторой функции ( ш ш 5« (О, 2я) (Зигмунд [2Ц; см. также [3, с. 684]). Теоремы 1 и 1Ц явились толчком к активному изучению свойств рядов с ла кунами, а также выяснению взаимосвязей между сходимостью подпоследовательностей частичных сумм ряда и его суммируемостью тем или иным методом (см, [3, 22], а также обзор Гапошкина [23)).] В работе № 4 доказано, в частности, что при любом г > 0 последователь» ность ((1ой н)~ ') является множителем Вейля для сходимости почти всюду трк гонометрических рядов.
Используя метод этой работы, как ее авторы А. Н. Еог. могоров и Г. А. Селиверстов (см. еще работу № 10), так и Плесснер [24] вскоре установили, что сформулированное выше утверждение остается в силе и при е = О. Эта теорема Колмогорова — Селиверстова и Плесснера сорок лет была лучшим результатом в вопросах сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье функций ( ш Ьг. Лишь в 1966 г. Карлссон (см.
[25, 26]] доказал, что ряды Фурье от функций ( гы Ьг (О, 2я) сходятся почти всюду. Развивая метод Карлесона, Хант [27] показал, что сходятся почти всюду ряды Фурье функций из каждого пространства 5Р (О, 2я) с р ) 1. Наиболее же сильное утверждение в этом направлении принадлежит Шелину [28]; если интеграл ] ] ( (Н ] (1об+ [( (е ) [) (1об' 1од' ] ( («) ]) дг ( (7) а то ряд Фурье функции ( (с) сходится почти всюду. Ооратим внимание на то, что отличие в интегрируемости функции ( в «положительномь результате и в «отрицательномг (см.
(7) и (3)) состоит пока из множителя )об+ [ ( («) ]. Доказательство теоремы Карлссона (см. [25, 26)) весьма сложно и потому Фефферман [29] предложил новое (подробное его изложение дано Лукашенко [30]). Однако сложность доказательства Феффермана также значительна и потому поиски более простого докааательства представляют несомненный интерес, Наконец, отметим большое влияние работы № 10, особенно в части развитого в ией метода доказательства, на исследование вопросов сходимости ортогснальных рядов.
В частности, этим методом было доказано Качмажем [31] (см, также [22, гл. ч']), что если для ОН-системы [г9н (1)) функции Лебега Ьн(1]~(И'(н) [ сопри гшЕ и н=1,2,..., то последовательность (И'(к)) является множителем Вейля для сходимости почти всюду на множестве К рядов Фурье по системе (грн). И, как показал Тандори [32], этот результат неулучшаем во всем классе ОН-систем. Наконец, отметим работу № 25, в которой А. Н. Колмогоров рассматривает ряды Фурье по ортонормированной (относительно веса р (1] ш ь (а, ь)) системе полиномов (ю„(«))г о, где степень полинома юн («) равна и и р («) ) 0 Комментарии при с ш (а, ь). Ои установил, что если для некоторого числа е) О функция с (С) удовлетворяет неравенству ] У (С,) — С (С,) ] < С 1 при а~(се<со< Ь (С= сопаь), ]1п]С,— С,]]тж то ее ряд Фурье С (С) Я а„(С) ы (С), о а„ (С) = ~ С (С) Р (С) ы„ (С) сСС, а сходится почти всюду иа (а, Ь).
Этот результат стал пршщипиальио новым фактом, так как ранее было лишь известно (см. Натансон [52]), что если для некоторого а ) Ча модуль ]](11) — у(са)]<С]са — с ]" при с +са, то ряд Фурье от с по системе (юи) сходится почти всюду. Сформулированиая теорема А. Н. Колмогорова послупсила толчком к появлению ряда работ, относящихся к вопросам сходимости рядов Фурье по общим ортоиормироваииым полипомам (Алексич, Ульянов, Чеи Киев Квоиг и др.). Г. О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬŠ— ЛЕБЕГА Будем предполагать, что а„- О и иакладываемые ниже условия ка (а„) обеспечивают сходимость ряда — о+ Ъ а созиС =1 (8) ~~~ (и + 1) ] Ааа„] < оо, и=о (9) гДе А'аи = Ааи — Ааааа и Ааи = аи — аиоп то фУНКЦиЯ С (С) Ш Б (О, 2Л) и РЯД (8) является рядом Фурье Б Кроме того, покавывается, что при выполиеиии керавенства (9) условие 1пп аи 1о8 и = О необходимо и достаточно для сходимости ряда (8)по метрике пространства Б (О, 2л) к функции с (с).
Эти утверждеиия А. Н. Колмогорова обобщались и распространялись иа разлвчиые случаи (Мур [33, 34], Чезари [35], Сидом [36], Баас [37], Теляков- 1 С другой стороны, Литтлвуд показал (см. [41; 3, с. 226)), что любое условие, накладываемое лишь иа ~ аи ] и допускающее, что (аи) Ф Са, ие может быть достаточным, чтобы ряд (8) был рядом Фурье.
всюду иа ( — со, оо), кроме, быть может, точек С = О (шос( 2л), к некоторой функции С (С). В работе ей 2 докаааио, что козффициеиты Фурье — Лебега могут стремиться к нулю как угодно медлепио 1. Попутно А. Н. Колмогоров устаиав- ливает, что если последовательность (аи) квазивыпукла, т. е. Тригонометрические и ортогонаяьные ряды (П.
Л. Уяьяное) 369 ский [38, 39[, Фомин [40[ и др.). Мы сформулируем здесь лишь наиболее общий известный нам реаультат Теляковского [38[ о том, что ряд (8) является рядом Фурье — Лебега, если [ч1з) а ш ~ [Ьа„[(оо и 6 ш [)~~~~ч "т ьет ~(оо. н=я т= з При этом существует постоянная С такая, что интеграл 1 [У(г) [дг < с ( + 6), о Условия (11) весьма громоадки (из-за второго неравенства), но из них вытекают достаточно общие и легко проверяемые условия. Например, если последовательность (а„) такова, что ! йин[(лн[ и Ч„' А„<-, (8) н=т то верно и (11).
Условия (8) эквивалентны условиям Сидона (см. [36, 39[) и при их выполнении ряд (8) сходится по метрике Ь к [ тогда и только тогда, когда выполнено (10) (см. [39[). Отметим, что вопрос об ивтегрируемости функции 1 (г), представимой рядом. вида (8), а также оценка нормы этой функции через последовательность (а„) тесно связаны с изучением суммируемости рядов Фурье линейными методами. (см., например, [38[). Д. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ И РЯДЫ В работе № 8 сначала доказывается теорема 1 о том, что если функция у гн А (О, 2я), а г (г) — сопряженная с 1 (г) функция, то К[1:Г и [О, 2п[, [дК) [>Н) ( С щи (12) вде С = совет, а Л > 0 — любое число.
Из этого соотношения совсем просто выводится неравенство (теорема 11) тн зн [гК)! 'дг ( с Д [у(г)[аг) (о« 1), (13)- на основе которого устанавливается (теорема 1П), что зк [пп ~ [г'(г) — У„(Ц 1) [т гдг = О, о т о (14) где дн (г, [) — частные суммы тригонометрического ряда Фурье о (1) фуакции [ (1). Именно в работе № 8 была впервые предложена идея представления частных сУмм Юн (В Г) чеРез некотоРые сопРЯженные фУнкции, пРименение к кото- 370 КОмментарии рым неравенства (13) сразу же приводит к равенству (14). Эта идея впоследствии многократно использовалась при изучении вопросов сходимостн рядов Фурье и их сопряженных рядов от функций иа тех или иных пространств.
Что касается неравенства (13), то различные варианты его доказательства были предложены, например, Литтлвудом [45), Харди [46), Титчмаршем (44) ы ДР. Особенно важную роль в анализе (а не только в теории тригонометрических рядов) стали играть неравенства типа (12). Прямые доказательства этого неравенства (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
