Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Х. 8и!1а свопа 61 Уо11«>та бе11а 1оыв рог Гев>всевха.— О. 1ва 1са1. асхиаг., 1936, го1. 7, р. 74 — 80. сц у р Р случае остается еще указать, будет точка (В, С) фокусом (подслучаи За, 5а, ба) или узлом (подслучаи Зб, 5б, 66). Восемь случаев различного качественного поведения решений изображены на рисунках, соответствующих прилагаемой таблице. Кроме оговоренных выше случаев наличия внутри основного предельного цикла дополнительных замкнутых траекторий, мы пропустили еще переходные (не «грубые» в смысле Андронова — Понтрягина) случаи, которые могут возникнуть лишь в исключительных обстоятельствах. Например, сепаратриса, выходящая из (А, 0), может случайно при своем продолжении оказаться сепаратрисой, входящей в точку (О, 0).
Если это так, то качественная картина остается похожей на случаи 1 и 2. 15 аврала 1971 г. КОММЕНТАРИИ К РАБОТАМ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ А. Н. Лолмогоров Наиболее живые и требующие разработки разделы теории множеств и теории функций распадались по Николаю Николаевичу Лузину на «метрику» и «дескрипцию». К «метрике» относились теория интеграла, тригонометрические ряды, граничные свойства аналитических функций и т. п. К «дескрипции» относились классификация функций по классам Вера, классификация множеств по Ворелю, аналитические множества и т. д. вплоть до самой континуум-проблемы. В применении к своим ученикам Н. Н. Лузин имел определенное представление о том, кто из них предназначен для работ по «метрике» и кто — для работ по «дескрипции».
Мне было предназначено заниматься «метрикой». Это свое предназначение я и выполнил с некоторой широтой в следующие годы (см. работы № 1 — 8, 10 — 12, 14, 16, 21 н др. наст. изд.). В 1921 — 1923 гг. Вячеслав Васильевич Степанов вел семинар по теории тригонометрических рядов, в котором в качестве самых младших участников занимались мы с Глебом Александровичем Селиверстовым.
Естественно,что особое внимание обращалось на проблемы, поставленные Николаем Николаевичем Лузиным. Среди таких проблем находилась и задача о том, сколь медленно могут убывать коэффициенты ряда Фурье — Лебега. Решение(см. работу № 2 наст. изд.) оказалось очень простым для рядов по косинусам, так что мне неясно, почему оно не было найдено еще до меня. Однако, узнав об этом моем достижении, Н. Н. Лузин с некоторой торжественностью пригласил меня в число своих учеников, и я стал приходить к нему еженедельно в часы, отведенные для одной из групп учеников.
Все направление моей работы по тригонометрическим и ортогональным рядам выросло из занятий в семинаре В. В. Степанова. С точки зрения преодоления трудностей, по-видимому, первое место принадлежит работе, где построен расходящийся почти всюду ряд Фурье — Лебега (см. работу № 1 наст. изд.). Довольно долго я работал надвое, стараясь поочередно то построить пример, то доказать его невозможность. Последним этапом была неделя непрерывных размышлений, закончившаяся вовникшей внезапно конструкцией. Немного позднее без больших усилий возник аналитический вариант первоначальной чисто геометрической идеи, что позволило усилить первоначальный результат и построить ряд, расходящийся всюду.
От всего периода занятий тригонометрическимн и ортогональными рядами у меня остались самые светлые воспоминания о дружной работе коллектива, возглавлявшегося (после того как Н. Н. Лузин отошел от этой тематики) Дмитрием Евгеньевичем Меньшовым. Час- комментарии 364 то вспоминаю я и о совместной работе с моим безвременно погибшим другом Глебом Александровичем Селиверстовым.
Параллельно в 1921 — 1922 гг. у меня возник широкий план исследований по дескриптивной теории множеств, шедший в направлении, совсем ~е предусмотренном Н. Н. Лузиным. Этот план был частично реализован в моей работе «Об операциях пад множествами», завершенной в начале 1922 г. и опубликованной в 1928 г. (см. работу )ч(з 13 наст. изд.). К этой работе примыкала оставшаяся неопубликованной рукопись «Об В-операциях»'. Результаты, содержащиеся в этой рукописи, получили дальнейшее развитие в работах Л. В.
Канторовича — Е. М. Ливенсопа и А. А. Ляпунова. Отмечу здесь лишь несостоявшийся и, вероятно, неосуществимый замысел: продолжить классификацию, начинающуюся с классов В-множеств, продолжающуюся классами С-множеств, ВС-множеств, ВВС-мкожеств и т. д.
по трансфинитам второго класса. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (П. Л. Уя»якое) Но этому направлению А. Н. Колмогоровым написано (1922 — 1926) около десяти работ, и каждая из пих фактически явилась началом больших исследований, которые продолжаются и ныне. Мы остановимся здесь лишь иа кекоторых результатах, кепосредстзеино связанных с работами А. Н. Колмогорова, раавивающих его идеи и характеризующих направления исследований.
А. РАСХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ В 1922 г., девятнадцати лет, А. Н. Колмогоров получил один иа наиболее ярких реаультатов по теории тригонометрических рядов. Именно з работе № 1 оп построил пример 2л-периодвческой интегрируемой функции, тригоиометрическкй ряд Фурье которой расходится почти всюду.
Идэйиая глубина в сочетании с геометрической наглядностью и ясностью этого примера поразительны. В 1926 г. им же был построен з работе № 11 всюду расходящийся ряд Фурье. Конструкции этих примеров явились отправным пунктом дальнейших миогочислевиых исследований других авторов.
В 1936 г. Марцинкевич [Ц построил почти всюду расходящийся ряд Фурье, частные суммы которого ограничены в каждое точке некоторого множества Е ~ [О, 2л[ с мерой тЕ = 2л. Обратим виимаиие ка то, что здесь уже невозможен случай множества Е = [О, 2л[. В 1953 г. Сукуоти [2[ отметил, что существует почти всюду расходящийся ряд Фурье, сопряжевкый к которому также является рядом Фурье. Хорошо известно, что если при з)0 интегральный модуль непрерывности ю,(6. [)=О~ ~ при 6 +О, 1 (') ()од (1(6)) » Эта рукопись была обнаружена после сдачи в набор настоящей книги. Статья будет опубликована во 2-й книге «Избранных трудов» А. Н. Колмогорова.— Примеч.
ред. ири яорреитуре. Тригонометрические и ортоеонаяъные ряды (1Т. Л. Уяъяное) 365 то ряд Фурье от 1 (г) сходится почти всюду. В связи с этим и был поставлен Зигмундом (см. [4, т. 2, с. 258)) вопрос о справедливости сформулированного выше утверждения и при е = О. Ответ на этот вопрос остается открытым. Далее, на основе конструкции А. Н. Колмогорова Прохоренко [5) (см. также тандори [8)) был построен пример функции 1 (г) с почти всюду расходящимся рядом Фурье и модулем непрерывности ю,(5, () =О ~ 1 1об 1об (1/5) п 5-+ О. (2) Из (2) вытекает в силу одной нашей теоремы вложения, что интеграл ~ [1(г) [(1п+1в»[ 1(1) [)ид«<оо при любав агы (О, 1). (3) о Как ни удивительно, но пока нет принципиально лучших результатов, чем (2) и (3), касающихся гладкости и класса интегрирования функций с расходящимися рядами Фурье.
Из сравнения (1) и (2) видна «лакуна неизвестности». Другое направление исследований касается точной характеристики множеств расходимости рядов Фурье. Известно, что множество точек расходимости любого ряда из непрерывных функций имеет тип 6еа (см., например, [3, с. 433)). На основе примера А. Н. Колмогорова всюду неограниченно расходящегося ряда Фурье было доказано Целлером [7), что всякое множество Е < ' [О, 2п) типа 6с является множеством расходимости некоторого ряда Фурье. Это утверждение теряет силу для некоторых множеств Е типа Ро (см. Кернер [8)).
Таким образом, остается открытым вопрос описания множеств расходнмости рядов Фурье от функций того иля иного класса. Б. РАСХОДИМОСТЬ ОРТОГОНА»ЯЬНЫХ РЯДОВ Основным утверждением работы № 12 является теорема 1 о том, что существуют ортонормированная (ОН) на отрезке [О, 1) система функций (фя («)) с [ фн (с) [ ъв 1 и ряд., с ~к~~ а„ф (»), (4) и=1 который расходится всюду на [О, 1[, хотя (а„) ев 1,.
Более того, в этом утверждении числа (а„) и систему (фн) можно выбрать (см. теорему 11) по ааданной последовательности И'(и) = о (1об и) так, чтобы Ю С' '„И'( )< (5) и=» Эти результаты обобщались в разных направлениях. В частности, в 1938 г. Меньшов [12) доказал, что: 1) для любого числа К> 1 существует ОН-система (ф ), для которой [ фн(«][~(К прп «ш[0,1) и и= 1,2,...; 2) последовательность (1об» н) является точным множителем Вейля, т. е.
выполнение неравенства (5] с И'(н) = 1об» и влечет сходимость почти всюду рядов (4), тогда как для всякой И' (к) = о (1об» и) зто уже не так. Номментарии Меньшов же построил [13] ОН-систему алгебраических полнномов, которые ограничены 'в совокупности и для которых последовательность ()обз и) является точным множителем Вейля. Скааанное означает, что для всего класса ОН-систем, ограниченных в совокупности (и даже для алгебраических полиномов), точный множитель Вейля такой же, как и для всего класса ОН-систем. Далее, в 1960 г.
было показано Ульяновым [9], что в теореме 1 в качестве (~рн (г)) можно взять некоторую переставленную систему Уолша. Что касается теоремы Н, то наиболее сильное ее обобщение было установлено в 1975 г. Кашииым НО], построившим ОН-систему (ба (г)) с ] йз (г) ] = 1, для которой последовательность ()обе н) является точным множителем Вейля. Более простое доказательство этого факта было потом предложено Тандори [11). В той же работе №,12 сформулирована теорема 1Н, принадлежащая А. Н. Колмогорову и состоящая в том, что тригонометрическая система после соответствующей керенумерации (соз нюг, з1п н„Д становится системой расходимости почти всюду, т. е. найдется последовательность (а , Ь,] ш 1„ такая, что ряд а созя 1+5 агпн Г т=г (6) В. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ Пусть функция [.ш Е (О, 2я) и Ев (г, 1) — частные суммы тригонометрического ряда Фурье от А В работе № 3 сначала доказывается теорема 1 о том, что последовательность (Ена (Ь )))г сходится почти всюду, если функция [ еы Ез (О, 2я), целые числа расходится почти всюду на [О, 2я].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
