Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Между тем в других областях применений математики давно понята возможность и важность получения качественных результатов из качественных предпосылок. Попытка переработать в этом направлении вольтерровскую теорию борьбы за существование между двумя видами (хищниками и жертвами) была предпринята в моей работе [1), опубликованной еще в 1936 г. Ссылки на эту мою работу, опубликованную как отклик на одну публикацию Вольтерра в том же малораспространенном итальянском журнале, где появилась статья Воль- терра, я встречал в позднейшей литературе, но сама идея получения содержательных выводов из чисто качественных предпосылок осталась неиспольаованной. Это побуждает меня дать новое, переработанное изложение работы [1).
Хорошо известно,что сам замысел схематического описания временной эволюции численностей Л~; (1), 1 = 1, г, з взаимодействующих видов при помощи системы дифференциальных уравнений е)Х;7й = Ре (Л7ю..., Лга), 1 = 1, г, весьма несовершенен. Аппарат дифференциальных уравнений типа (1) в динамике популяций плох уже в силу того обстоятельства, что обычно значительные изменения численностей Ле; (1) происходят эа промежутки времени, соизмеримые с длительностью жизни отдельных особей, что делает неизбежным учет возрастного состава популяций. Например, как бы мы ни усовершенствовали вольтерровскую теорию в рамках описания динамики популяции уравнениями типа (1), применение ее к объяснению трех-четырехлетних циклов колебания численности птиц, отмеченных в наблюдениях Северцева, остается не вполне оправданным из-за только что указанного обстоятельства.
Но начинать надо с простого. Если данная публикация будет содей* Проблемы квберкетккк, 1972, т. 25, выл. 2, с. 101 — 106. 358 60. Изучение математических моделей динамики аонуляэий ствовать появлению работ, где аналогичному качественному иссле- дованию подвергнутся более близкие к действительности схемы, то ее назначение будет выполнено. 1 2 УРАВНЕНИЯ ВОИЬТЕРРА И ИХ ОБОБЩЕНИЕ Для численности жертв Л'1(1) и численности хищников Л'2 (1) Вольтерра предложил уравнения дИ1 ддз (21 71з'2) Л1 12 ( 22+ у2Л1) Л2 (2) — = К, (Лз„Лса) Кю дИ2 — = К,(Л'1, И»)И1, дИ1 61 (3) где коэффициент размножения жертв К, убывает с возрастанием числа хищников, меняя знак с положительного на отрицательный, а коэффициент размножения хищников Ка растет с ростом числа жертв, меняя знак с отрицательного на положительный.
К сожалению, наиболее интересный качественный вывод теории Вольтерра о том, что, за исключением стационарного случая 12' =- еа/Т„Л'2 = 21!у„любые начальные условия Лз» (О), Л', (О) приводят к периодическим колебаниям численностей Лез (1) и Л', (1) с амплитудой, зависящей от начальных условий, является следствием именно выбранной Вольтерра специальной формы уравнений (2). В работе [1) я сделал попытку исследования поведения решений системы (3) при некоторых лачестпвенных предположениях о характере функций К, (Л11, Л'2) и К, (Лз„Л12). Более подробно в э 3 мы исследуем поведение решений системы — = К2 (ЛГ1) 1'2'2, дИ2 К1(Л1)Л1 ~ (Л1)'~2 дИ1 (4) которая мне представляется достаточно реалистической моделью возможных соотношений между двумя видами.
Переход от общих уравнений (3) к уравнениям (4) интерпретируется содержательно следующим обравом. 1) Предполагается, что хищники не »взаимодействуют» друг с другом, т. е. коэффициент размножения хищников К, и число жертв 2,, потребляемых в единицу времени одним хищником, не зависят от 1У . Условный характер сделанных допущений виден хотя бы из того, что коэффициент размножения хищников К, = ( — е, + у»Л11) возрастает до бесконечности с возрастанием числа жертв: при наличии достаточного числа зайцев численность волков будет удваиваться каждый день или даже каждый час. По существу уравнения (2) являются лишь простейшим с математической точки зрения примером уравнений вида дд.
Поучение математических моделей динамики нонулкэий 359 2) Предполагается, что прирост за малые промежутки времени числа жертв при наличии хищников равен приросту в отсутствие хищников минус число жертв, истребленных хищниками. Относительно входящих в уравнение функций К, (Л',), Ка (Л',), Ь (Лдд) мы ~делаем лишь весьма естественные допущения относительно качественного характера нх зависимости от Лед. 5 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ (4) Ради возможности применения без лишних осложнений теории дифференциальных уравнений мы будем предполагать, что функции К, (Хд), Ка (Лед), д (Лед) непрерывны и непрерывно дифференцируемы.
Естественно считать их определенными на положительной полуоси Лдд .=к О, Л'д ) О. Необходима, однако, одна оговорка. При Л'а = 0 первое уравнение (4) переходит в естественное уравнение сдЛ'!дН = К, (Лед) Л' эволюции численности жертв в отсутствие хищников. Но при Лдд = 0 первое из уравнений (4) привело бы в случае Х (0)) 0 к нелепому выводу, что число жертв после перехода через нуль должно становиться отрицательным. Естественно считать, что по достижении точки квадранта, лежащей на оси Лю первое уравнение(4) перестает действовать, число жертв остается постоянно равным нулю, а эволюция числа хищников продолжает следовать второму уравнению (4).
Сформулируем теперь еще трн ограничения, которые мы накладываем на выбоР фУнкций К, (Лдд), Ка (дчд), Ь (Л)д). 3) с(Кд!д(Лдд ( О, К, (0) ) 0) К, (со) ) — оо. В сУщественном это ограничение состоит в том, что коэффициент размножения жертв в отсутствие хищников монотонно убывает с возрастанием численности жертв, переходя от положительных значений к отрицательным, Такое допущение, отражающее ограниченность пищевых и иных ресурсов, необходимых для существования жертв, кажется достаточно естественным. 4) д(Кэддугд ) О, Ка (0) ~ О а К, (оо).
Это ограничение в существенном состоит в том, что с ростом численности жертв коэффициент размножения хищников возрастает, переходя от отрицательных значений (в обстановке, когда нечем питаться) к положительным. 5) Т, (Лдд) ) 0 при Л', ) О. Что касается предельного значения Ь (Лед) при Л'д = О, мы предпочитаем сохранить обе вовможности: Ь (0) = 0 н Ь (0) ) О. Первая из них отражает в идеализированном виде такую обстановку, когда небольшое число жертв может укрываться в местах, недоступных для охоты за ними хищников, и там пережить период чрезмерного раамножения хищников. Заметим, что в случае Вольтерра К, (Лед) = г, Кд (Лдд) = — еа + удЛ'„Ь (Л'д) = у Л"„т.
е. нарушено наше требование отрицательности Кд (Л',) при достаточно больших Л'д. 360 дд. Иеу ение математичееаих моделей динамики иоиулазий Найдем особые шочки системы (4) в положительном квадранте, Легко видеть, что их две или три: 1) точка (О, 0); 2) точна (А, 0), где А определяется из уравнения К, (А) = 0; 3) точка (В, С), где В и С определяются из уравнений К, (В) = О, К, (В)  — В (В) С = О. Последняя третья точка помещается в положительном квадранте и отлична от второй лишь в случае К, (В) ) О, т. е. В ( А. Обычным способом исследуем характер эгле особых точек, составляя линеаризованные уравнения для Ь = Хг — Лом т[ = уев — ее".„ где Л~~, Х', — координаты особой точки.
1) В точке (О, 0) получим — = К (О) ~ — В (О) ц, — = Ке (О) т[. иб йч Корни характеристического уравнения: Л1 = Кг (0), Ла = Ка (0) действительные и разных знаков, так что точка является седлом. Угловые коэффициенты сепаратрис находятся из уравнения .е (0) ха — [Ке (0) — К, (0)) н = О. Одна сепаратриса (с к1 = 0) заранее ясна — это ось еед, вторая имеет угловой коэффициент ка = = [К, (0) — Ка (0)И (0).
Если Ь (0) = О, то это ось ее'а. Первая сепаратриса входит в седло, вторая — выходит из него. П) В точке (А, 0) линеаризованные уравнения имеют вид +=К (А)А~ — 1(А)е), ч =Ко(А)т). Корни характеристического уравнения: Лг = Ке (А) А, Ла = К, (А). Па) Если В < А, то Л, ( 0; Л, ) 0 и особая точка есть седло. Угловые коэффициенты сепаратрис равны кг = 0 и к, = [Ку(А ) А— — К, (А)Ю (А) ( О. С угловым коэффициентом х, из седла выходит сепаратриса, направляющаяся внутрь нашего квадранта. 11б) Если В ) А, то Лт ( 0; Л, ( 0 и особая точка есть устойчивый узел.
1П) В точке (В, С) при В ( А получаем линеаризованные уравнения — = — п~ — Ь(В)е), — =СК,(В)~, ыб йч ш йу где о = — К,(В) — Кд (В) В + Ь' (В) С. Детерминант ~ — а — Л(В) [ положителен. Поэтому особая точка есть фокус или узел. Устойчивость зависит от анака оп если о) О, то точка устойчива, если о(0, то неустойчива. Фокус появляется в случае комплексных корней уравнения Ла + оЛ + й = О, а узел — в случае действительных. В предположении В(А исследуем еще судьбу сепаратрисы, выходящей вверх из точки (А, 0). Легко видеть, что при наших допу- дд. Изучение математических моделей динамики популяций 361 Л' Л/ /00/ /00/ йауеай / /00/ ГЯО/ Блуеайй у /00/ /0 77/ йзуе7а О /00/ /ОО/ йлуеайй Л/ Л' /00/ /0,0/ йлуеай й /00/ /00/ йлуеайж у/ /00/ /0/7/ йлуеайФ /00/ /00/ йлуеаййй щениях траектории не лзогулз уходить в бвснонечность.
Поэтому возможны в существенном три случая: интересующая нас сепаратриса сс) пересекает ось Л7з, ))) наматывается на предельный цикл, у) входит з точку (В, С). В случае и) следуетещепроследитьпроисхожление сепаратрисы, входящей в точку (О, 0). Она может: сх1) сматываться с предельного цикла, а2) выходить из точки (В, С). В случаях р) и у) сепаратриса, входящая в (О, 0), должна приходить из беско- 362 бб. Иеучемие маохемагликеекик моделей динамики иокулаций нечности.
В предположении В (0) = 0 случай а) отпадает. В итоге получаем такую классификацию: В случаях 1, 2, 4, 7, 8 наш анализ дает полноепредставление о качественном характере решений, если случаи 4, 7 и 8 раабить на подслучаи 4а, 7а, 8а с фокусом в точке (В, С) и подслучаи 4б, 7б, 8б с узлом з точке (В, С). Легко понять, что в случае 4 точка (В, С) неустойчива, а в случаях 7 и 8 — устойчива.
Случаи 3, 5 и 6, исходя из наших допущений, не анализируются до конца: поведение траекторий внутри предельного цикла может быть довольно сложным. Но весьма вероятно, что практически достаточно ограничиться случаем, когда внутри обнаруженного нашим аналиаом предельного цикла нет других предельных циклов и вооб е вамкн тых т аекто ий. В атом ыо»в ыв>=о в>л сс1 сс2 ВсА ЛИТЕРАТУРА 1. К»1гаоуого(1 А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
