Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Из теоремы 1 почти непосредственно вытекает Т е о р е м а 2. При любом и ) 3 существуют такие заданные на Е" непрерывные функции ве ~ ° ° -~ 'Р со значениями из Е, что любая, непрерывная заданная на Еп функция ~ представимо в виде 1 (хы..., х„) = Х Ь" [х„, ц" (х„..., хп 1)], е 1 где действительные функции Ь' (х, э) определены и непрерывны на произведении Е' х Я. Универсальное дерево Я можно (см. [2]) считать реализованным в виде континуума, расположенного в единичном квадрате Е'. Обозначая через у", и у', координаты точки ву", получаем в виде непосредственного следствия теоремы 2 предложение: Т е о р е м а 3.
При любом и ~ ~3 существуют такие заданные на Е" ' непрерывные действительные функции 1 н. 1 н У1 ° У1 ~ ЗЯ. ° ° . УЯ ~ что любая непрерывная заданная на Е" функция г' предппавима в виде ~ (хх,..., х„) = ~ Ь" [х„, у1 (хм..., х„1), уа (х1,..., х„1)], где функции Ь" заданы и непрерывны на Ег. Теорема 3 при и = 3 тривиальна; реальный интерес она имеет лишь при и ~) 4. Остается указать вкратце путь доказательства теоремы 1. Исходным пунктом этого доказательства является следующая лемма.
ЗЗ. 0 преесюаелснии непрерывных фрнкзиа суперзогицизми 337 Основная лемма. Прилюбомп>2наЕзможно определить систему функций и».„, (хю..., х„) с индексами г, (с, т, пробегающими значения в пределах 1(г(п+1, 1(й(оо, 1а т(т», которая обладает следующими свойствами: 1) и» > О; 2) и» ~ О лишь на множестве 6~» диаметра Н», где д» вЂ” ~ О при к — ~ оо; 3) два множества Я, и брег с общими индексами г и )с при т' чь т не пересекаются; 4) при любом )с в каждой точке Р ~ Е" с( Х Х и» соС, о=т ы=» где с и С не зависят от )с; 5) функция й» постоянна на каждом С»;„г с тем же индексом г при й' ) Й и произвольном т'.
Построение системы функций и» не может быть изложено в рамках этой заметки. Далее зта система функций предполагается заданной. Л е м м а 1. а) Любая непрерывная заданная на Е" функция р' может быть предпиаалена в виде „ч» а 1(Р)= ,'~~~ ~ ~~~~ а» (() и» (Р) »г»~ — 1 М»» где коэффициенты а» ~(0 не зависят от Р. б) Коэффициенты а» Ц) могут быть выбраны в виде непрерывных функционалов от ~ и притом так, что на каждом семействе $ равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций р' ~а». (р)((а(5), ~ а»Д)(оо.
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 1 основано на свойствах 1), 2) и 4) системы и»„, и начинается с оценки остаточного члена В в представлении ~+» ы» )(Р) = ч~~ ~ ~и»~(Р) + В, г»т 338 33. О иревеиеиелеиии иеирерыеиых 1дуииций ериерпоеициями где Ь = — У(Р» ), е 1 г а Р»„— произвольные точки, принадлежащие соответствующим множествам о»ы.
Легко показать, что при надлежащем выборе коэффициентов Ь" ) В ) < (! 1 — с/С ( + 6„) М, где М= знр )~(Р)(, 6„= зпр (~(Р) — 1(Р')!. рыли р1р, р )<в Полное доказательство леммы 1 выходит эа рамки этой заметки. Запишем теперь разложение (») в виде и+1 еи) . 1(Р) = ~ )'(Р), )'(Р)= ~ ~~~ а» и»,„(Р). Из свойств 2), 3) и 5) системы й» легко выводится следующее свойство функций р. Л е м м а 2. Функция ре (Р) постоянна на каждой компонснепе любого множества уровня функции т» Ре(Р) = ~~ †,, ~ и» (Р).
»=» еис т Заметим теперь, что, как было показано А. С. Кронродом [3), компоненты множеств уровня любой непрерывной функции в некоторой естественной топологии образуют дерево. Дерево компонент множеств уровня функции Р" обозначим через Е", а эти деревья Е»,..., Е"е' отобразим гомеоморфиэмами ф„(Е") = Е'сЕ на попарно не пересекающиеся подмножества универсального дере- ва Е. Положим если Р е= $" 1== Е', и определим на Е непрерывные функции ь," (р) так, чтобы для $ Е—: .
Е Ь' (3) = у, если У (Р) = у при Р ~:-.»р„' ($). Легко проверить, что (Р) = еее (ц" (Р)1. (3) гг. О вредетаелееви непрерыенвл функций ероериоевцизми 339 Формулы (2) и (3) и приводят нас к доказательству утверждения а) теоремы 1. Утверждение б) теоремы 1 доказывается на основе ут- верждения б) леммы 1. В заключение отметим еще без доказательства следующее пред- ложение. Т е о р е м а 4.
При любых и ~ >2 и в ) О для каждой функции у, заданной и непрерывной на нее, существуют такие многочлгны Ь (и»..., и„з), а„(х), с„(х); г = 1,..., и + 1, что во всех точках Р 6= Е ( 1 (Р) — 7 (Р) ( ~ в, гдг 1(хм...,х„)= „'Я а„(х„)Ь(с,(х„)+хз,...,с„(х„)+х„з1. (4) о=из В случае п = 3, положив а'(иеи) = и+и, д,(х,у) =а„(х)у, Ь,(х,х') =с„(х)+х', получим из (4) 1 (хы хз, хз) = =й (уз (х Ь (Ь (х хз).
Ь (х хз))), уз (хз Ь (Ьз (хз хз) Ьв (хз хз)))) (5) В силу теоремы 4 любая непрерывная функция трех переменных аппроксимирувтся с любой тпочностью выражением вида (5), гдг а, уе, Ь и ܄— многочлены от двух переменных. Это замечание тоже осве- щает с несколько новой стороны круг задач, примыкающий к 13-й проблеме Гильберта. 5 мая 1956 г.
ЛИТЕРАТУРА 1. Кпьетг П. Пезвпнае1зе АЬЬевй1иибеи. ВегПи, 1935, Вй. 3, 11 17. Рус. иер. Проблемы Рнльберге/Под ред. П. С. Александрова. Мл Наука, 1969. 2. Мевгег К. КигтевзЬеоНе. ВегПи; 1е1рз16, 1932. Кар. 10, 4 6. 3. Кровров А. С.— УМН, 1950, т. 5, выи. 1, с. 24 — 134. 340 дд. О представлении ненрернзннк даункцна в виде сукеркознцна 56 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ СУПЕРПОЗИЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО И СЛОЖЕНИЯ а Целью заметки является краткое наложение докаэательства следующей теоремы: Т е о р е и а. При любом целом и ~ ~2 существуют такие определенные на единичном отрезке Е' = [О; 1] непреръавные действительные функции а[аз д (х), что каждая определенная на и-мерном единичном кубе Е" непрерывная действительнол функц я ~ (х,..., х„) представимо в виде у=аз+1 н а,..., .)= Х 2,[Х ф"'(;)1, (1) д=а р-1 еде функции у (у) действительны и непрерывны. При и = 3, положив 'РД (Х11 Ха) = а[а (Ха) + а[а (Ха)~ НД (У1 ХЗ) = ХД [У + а[а (ХЗ)]а получаем иэ (1) аа (Ха, Ха, ХЗ) = Х аад [ард (Хм Ха), ХЗ]„ (2) д=1 что является небольшим усилением результата В.
И. Арнольда [2], который показал,что любая непрерывная функция трех переменных представима в виде суммы девяти слагаемых того же вида, как слагаемые, входящие в формулу (2) в числе семи. Реэультаты моей эаметки [1] не вытекают иэ сообщаемой сейчас новой теоремы в их точных формулировках, но принципиальное их содержание (в смысле возможности представления функций нескольких переменных супер- позициями функций меньшего числа переменных и их приближения суперпоэициями фиксированного вида иэ многочленов от одного переменного и сложения) очевидным образом содержится в новой теореме.
Метод доказательства новой теоремы элементарнее методов работ [1, 2] и сводится к прямым конструкциям и подсчетам. Исчезла, в частности, необходимость употребления деревьев иэ компонент линий уровня. Фактически, однако, конструкции, употребленные в атой эаметке, были найдены путем анализа конструкций, употреблявшихся в [1, 2], и отбрасывания в ннх деталей, излишних для получения конечного реэультата. к ДАН СССР, 1957, т. а14, аа 5, с.
953 †9. дд. О предепювленнп непрерывных функций в аиде еуперпввнчна 341 11 ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ 9пч Индексы р, д, й, 1 всюду далее пробегают целые значения 1 ( р ( и, 1 ( д ( 2п + 1, й = 1, 2,..., 1 ( 1 ( (т, = (9п)" + 1. При суммировании и перемножении в этих пределах пределы не обозначаются. Рассмотрим сегменты 1 г 1» Сегменты Аг» имеют длину — (1 — — ), а при фиксированных (9п)» Зп ~' й и д получаются один из другого при переходе от 1 к Р = 1+ 1 1 с помощью сдвига вправо на расстояние —,, т. е.
расположены не (зп)»' 1 только без перекрытий, но с промежутками длины», с точЗп (9п) пастью же до наличия этих промежутков покрывают весь единичный отрезок Е'. В соответствии с этим кубики Е» в9 л =ЦАв»; и 1 с ребрами длины — при фиксированных й и д покрывают единич(9п) ный куб Е с точностью до разделяющих их щелей ширины Зп (9п)» Легко проверяется следующая Л е м м а 1. Система всех кубиков 8»чл» с постоянным й и переменными д и»,..., »и покрывает единичный куб Е" так, что каждая точка ив Е„оказывается покрытой не менее и + 1 раз.
При помощи индукции по й может быть доказана следующая Л емм а 2. Можно подобрать константы )Д и е» так, что будут выполнены условия: 1) е.»д (~бл()»~т + 2) вп»м (й»ч+ье ()»»пел+ е». — г» м если сегменты А$» и А»в„г пересекаются; 3) сегменты й»,;, л = ~ХЛ7';; ~)»п"1 + пз»~ при (биксираванных р " о й и д попарно не пересекаются. Легко заметить, что из 1) и 3) вытекает 4) е» ( 1(2».
342 дд. О нредставеении непрерывных у1уннций в виде сунернввиций На основе указанных ранее свойств сегментов А$л и свойств 1), 2) и 4) констант Луков и е„без большого трудадоказываетсяследующая Л е м м а 3. При фиксированных р и д требования 5) Лц ~( ф"о (х) ~( Лоно + зо при при х я А~од однозначно определяют на Ет непрерывную функцию арно. 3 а м е ч а н и е. Легко видеть, что по построению функции арвт оказываются монотонно возрастающими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
