Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Вопрос этот, однако, весьма деликатен. Подход со стороны категории соответствующих множеств в функциональных пространствах систем функций (Ра, М) (или функций Н), несмотря на известные успехи, полученные в этом направлении в общей теории абстрактных динамических систем, интересен более как средство для доказательств существования, чем как непосредственный ответ на сколь угодно стилизованные и идеализированные реальные запросы физиков или механиков. Подходсостороны меры, наоборот, представляется вполне здравым и естественным с физической точки зрения (как это подробно аргументировалось, например, Нейманом (1)), но наталкивается на отсутствие естественной меры в функциональных пространствах. Мы будем следовать двумя путями.

Во-первых, для получения положительных реаультатов о том, что тот или иной тип динамических систем должен быть признан одним из существенных, не «исключительных» и не подлежащих ни с какой разумной точки зрения «пренебрежению» (подобно тому как пренебрегают множествами меры нуль), мы будем пользоваться понятием устойчивости в смысле сохранения данного типа поведения динамической системы при малом изменении функций г„и М или функции Н.

Любой тип поведения динамической системы, для которого существует хотя бы один пример его устойчивого осуществления, должен с этой точки зрения считаться существенным и непренебрегаемым. В соответствии с принятым подходом со стороны аналитических функций, «малость» изменения функции 1« (х) будет пониматься в смысле перехода от функции (о (х) к функции ~ (л) = ~о (х) + Оеэ (х, 8) при малом значении параметра О н аналитичности функции ср по совокупности переменных х, х„..., х„, О. Такой подход к делу моясет подвергаться критике, но при нем можно получить некоторые интересные результаты. Там, где можно ограничиться близостью функ- 320 бд.

Общая теория динамических систем и кяассическая механика ций ре и г' в смысле близости их производных ограниченного порядка, это будет указано. Для получения отрицательных результатов о несущественном, исключительном характере какого-либо явления мы будем применять только один несколько кустарный прием: если в классе К функций ((х) можно ввести конечное число функционалов Р (Л Рд (1) . Ре У) которые в том или ином смысле естественно считать принимающими, авообще говоря, произвольные» значения Р, (1) = Сы..., Р„(1) = С, из некоторой области г-мерного пространства точек С = (С„ ..., С„), то мы будем считать любое яэление, которое может иметь место только при С из множества, имеющего г-мерную лебеговскую меру нуль, исключительным и подлекащим «пренебрежению».

Я начну обзор конкретных результатов с применения этой идеи к исследованию динамических систем, фазовое пространство которых является двумерным тором. д 2 О ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ НА ДВУМЕРНОМ ТОРЕ И НЕКОТОРЫХ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Как и всюду далее, точки тора Т' будем считать заданными кру говыми координатами хд, хд (точка х не меняется при переходе от х„к х„+ 2я).

Функции Р„, стоящие в правых частях уравнений бхд бхд — = Рд (хы хд), — = Рд (хы х») и инвариантную плотность М (хд, хд) будем в соответствии с ранее сказанным считать аналитическими и, кроме того, подчиним условиям Р', + Р' ,> О, М > О н для простоты условию нормировки т (Т») = (. Введем средние частоты обращения Хд= ~ Рд(х)«дт, )дд = ~ Р,(х)«дт. т те Небольшое усиление результатов Пуанкаре, Данжуа и Кнезера приводит в нашем случае к выводу, что аналитическим преобразованием координат уравнения движения можно привести к виду — = )ддМ (хд, х»), — =- Х»М (хд, хд). бхд бхе сд» ' ' и бд, Общая теория динамических систем и классическая механика 321 Хорошо известно, что в случае иррационального отношения у =Л,Ь« все траектории окаэываютса всюду плотными, а мера л«транзитивной.

Кроме того, следуя Маркову (2), легко доказывается, что при иррациональности у динамическая система строго эргодична, т. е. содержит одно-единственное эргодическое множество Е, точки которого имеют собственной мерой меру ра —— . сш, где с — константа. Естественное утверждение, что движения на двумерном торе при условиях (1), «вообще говоря», обладают всеми перечисленными сейчас свойствами, уже является применением упомянутого принципа пренебрежения случаями, когда некоторая конечная система функционалов (в данном случае )ч«и я«) принимает значения из некоторого множества меры нуль (в данном случае иэ множества точек ()ч„)чя) с рациональным отношением у). В заметке (3) мне удалось пойти несколько дальше. Именно я доказал, что в предположении существования таких с ) О и й ) О, что для всех целых г и з имеет место неравенство ~ г — гу ~ ~ ~сйк, (2) уравнения движения можно привести аналитическим преобразованием координат к виду йх,Ж = й„с)х«(сН = й«.

(3) Как иавестно из теории диофантовых приближений, условие (2) выполнено (при надлежащих с и й) для почти всех иррациональностей у. Таким образом, за исключением случаев, когда у «ненормально хорошо» приближается дробями гааз, аналитическая динамическая система с интегральным инвариантом на торе ТЯ при условиях (1) неизбежно оказывается допускающей только почти периодические и даже более специально «условно периодические» движения с двумя независимыми частотами )ч и Ая. Известно много задач классической механики с двумя степенями свободы (г = 2, п = 4), в которых из-за наличия двух однозначных на всем 1л«первых интегралов Хг и ля четырехмерное многообразие 1«« распадается, эа исключением некоторых исключительных многообразий не более чем трех измерений, на двумерные многообразия лс,с = л (л«С« ля С«).

Так как в точках покоя выполняются четыре уравнения дН дН дН дН вЂ” — — — — О, дул дде дре дря то в случае аналитической функции Н их множество на 1л«не более чем счетно. Поэтому на многообразие л «они могут попасть лишь в ви- 322 бд. Общая теория динамических систем и классическая механика де исключения. Отсюда получается вывод, что почти все компактные многообрааия Ьа являются именно торами (как ориентируемые компактные двумерные многообразия, допускающие векторное поле беэ нулевых векторов).

Задачи классической механики рассматриваемого типа, как известно, всегда интегрируемы. Качественное исследование специальных задач такого рода (движение под действием силы тяжести по поверхности вращения, движение по инерции по поверхности трехосного эллипсоида и т. д., движение точки по плоскости под действием ньютоновского притяжения двух неподвижных центров и т. п.) и приводит к большому числу примеров распадения пространства йса в основном на торы Т' с заполняющими их всюду плотно обмотками иа траекторий условно периодических движений с двумя независимыми частотами Лт и Л,лМежду этими торами, вообще говоря, лежит всюду плотное множество торов, распадающихся из-эа соизмеримости частот на замкнутые траектории, и, уже дискретным образом, не более чем трехмерные особые многообразия, на которых, в частности, помещаются точки покоя и так называемые асимптотические движения.

Рассмотрение таких интегрируемых задач дает много интересных примеров довольно сложных рааложений фазового пространства Й на эргодические множества и остаток иа «нерегулярных точек», которые лежат на траекториях асимптотических движений э В уже упомянутой моей заметке [3) указывается, что при исключительных (не удовлетворяющих условию (2)) иррациональных у действительно имеется ряд новых возможностей, иногда достаточно неожиданных для аналитических систем (об атом будет скааано далее).

Но в упомянутых задачах классической механики этиисключительные случаи не появляются по весьма простой причине: переход к круговым координатам $ы йа на торах Та и к параметрам этих торов С„С, в этих аадачах осуществляется преобразованиями прикосновения. Поэтому уравнения сохраняют канонический вид с Н' Н' М дпи ' де дби и так как инвариантность торов Т' получается только в случае ссС Яг = ИС,/й = О, то Н зависит только от Сд и Са, что приводит на каждом торе Та без всяких исключений к уравнениям (3) с постоянными Л, и Ла.

Поэтому реальное значение для классической механики приведенного мною анализа динамических систем на Т' зависит от того, имеются ли достаточно важные примеры канонических систем с дву- к В связи с этим замечу, что весьма поучительный качественный анализ эа дачи о притяженпи двумя йеподвпжныып центрами, проведенный в павастпоы трактате Шарлье, оказался неполным и частично неверным и дэвиды исправлялся [4, 51. дд.

Характеристики

Список файлов учебной работы