Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Если вязкость второй жидкости значительно больше вяакости первой, то пренебрегать ею можно только для д, превосходящих масштаб а(< но Жеа, б/ео и т'/т 'ечоб И Ноб' б>) Ц' а = ( '/т)ч'Лт Таким образом, мы получаем таблицу (см. выше) безразмерных характеристик. Опыты, описанные в заметке Н], имели дело с водой в качестве первой жидкости и двумя различными смесями в качестве второй жидкости. Поверхностное натяжение о в обоих рассмотренных слу- бд. О дроблении капель в турбулентном потоке чаях было почти одинаковым. Отношение у'/т было различным в двух вариантах опыта, но все же не очень сильно отличалось от единицы. 1(ак видно из рис. 2 заметки И), влияние различия вначений т' в двух вариантах опыта оказалось лежащим в пределах разброса точек для каждого варианта в отдельности. Оставляя поэтому пока в стороне обсуждение предлагаемой авторами заметки И! формулы (3), первый член которой должен учитывать влияние изменений отношения т'/т (и обоаначает в И! вязкость т[ = т'р второй жидкости), рассмотрим пока случай постоянного отношения у /т, меньшего единицы или не очень много превышающего единицу.
В этом случае вместе с авторами заметки И) естественно предположить, что максимальный диаметр йо капель, обладающих поста точной устойчивостью для длительного сохранения, должен соответствовать некоторому вполне определенному «критическому» числу Вебера е»еа,. Строго говоря, в силу укаэанного выше это допущение можно считать хорошо обоснованным лишь эа пределами области значений «[о одного порядка с Л„а критическое число Вебера может оказаться в области «[о (~ Л, и йо ~> Л, различным.
Пользуясь формулами ([3) и (у), получаем окончательно: в случае о[о ((Ло, в случае «[о )) Ло. В трубе диаметра Р вне ламияарного пограничного слоя Л = лэ (в/Р) (т»Р/и»)Ч, где и — так называемая динамическая скорость, г — расстояние от оси трубы, а я — некоторая универсальная функция. Подставляя это выражение для Л, в предыдущие формулы для о»„получаем о[о — йчэ ' ) ~ [ ио в случае о[о((Л», ~'~т>) ~ УУ«кур ) ь ээ о[о б'1э[ " 1 [ ) Рп иод в случае йо))Л». (П) Так как отношение и/и средней скорости в трубе к динамической скорости меняется медленно, то формула (П) соответствует формулам (7) и (8) заметки И!.
Возможно, что уместнее было бы пользоваться при объяснении результатов опытов, изложенных в И), не формулой (П), а формулой (1). Впрочем, при имеющейся пока точности опытов различие между показателем — 1 в формуле (1) и показателем — '/, в формуле (П) вряд ли может быть уловлено. Судя по рис. 2 из И), непосредственная обработка опытов приводит к показателю, несколько меньшему единицы. Однако авторы И! справедливо полагают, что это обстоятельство может быть связано с недоста- 40. О дроблении капель в турбулентном потоке точным временем пребывания капель в жидкости при больших скоростях для того, чтобы процесс дробления успел закончиться.
Далее авторы поднимают очень интересный вопрос: если иа является лишь среднеквадратичным значением разности скоростей на расстоянии с1, то не возникают ли изредка на том же расстоянии разности значительно ббльшие? Для ответа на этот вопрос надо было бы знать закон распределения рааностей скоростей на заданном расстоянии 41. Если бы можно было поставить опыты с дроблением капель так, чтобы каждая капля достаточно долго могла находиться в области с постоянными характеристиками локальной структуры, то такие .опыты могли бы оказаться существенными для дальнейшего развития наших представлений о локальной структуре турбулентности. К сожалению, в трубе внутренний масштаб Хо значительно меняется в поперечном сечении.
Те капли, которые заметно удалились от оси трубы, должны подвергаться дроблению до заметно меньших диаметров, чем те, которые все время оставались вблизи оси трубы. Это заставляет пока отнестись с большой осторожностью к истолкованию данных заметки И1 о зависимости минимального размера капель от времени пребывания в потоке.
Развитие дальнейших работ по обсуждаемой теме должно, мне кажется, пойти по двум путям. 1. Развитая выше концепция наличия твердой нижней грани диаметров капель с2„дальше которой дробление в пределах области с заданными характеристиками локальной структуры потока не происходит, должна быть разработана в направлении учета влияния на размеры ио вязкости второй жидкости к'. Эту теорию первого приближения надо попробовать применить к расчету различных специальных задач с неоднородными потоками.
2. Должны быть поставлены опыты для выяснения зависимости распределения размеров капель от времени пребывания в потоке со строго постоянными локальными характеристиками. ЛИТЕРАТУРА 1. Бараново М. Н., Теверовский Е. Н., Трегубова Э. Л. О размере мяннмаяьнмг пульсаций в турбулентном потоке.— ДАН СССР, 1949, т.
66, № 5, с. 821 — 824. 2. Теверовскиб Е. Н. О коагуляцян частиц аэрозоля в турбулентной атмосфере.— Изв. АН СССР. Сер. геогр. н геофнз., 1948, т. 12, № 1, с. 7 — 19. И. О Оинамичесних системах с интегральным инеарианогом на торе 307 О ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ НА ТОРЕ* Рассматриваемые далее системы координат на торе Т' будут относить точке Р пару действительных чисел (х, у), определенных по модулю 2п.
Под аналитичностью функции Х (х, у) от координат будет пониматься ее аналитичность при всех действительных х и у. Функция от координат Х (х, у), очевидно, лишь в том случае будет однозначной функцией Х (Р) точки Р, когда она периодична по каждому из переменных х и у с периодом 2я. Мы будем рассматривать динамическув» систему на Т', определенную в некоторой системе координат системой уравнений ЫЙ = А (х, у), е1уЯ(=В(х, у) (О и обладающую интегральным инвариантом Х (у) = 5 У (х, у) сьх г(у. Естественно, что при этом функции А, В и ХХ предполагаются однозначными функциями точки Р. Кроме того, мы предположим, что они аналитичны и удовлетворяют на всем Т' условиям А' + В' ) О, ХХ ) О. При этих допущениях известные общие результаты Пуанкаре, Данжуа и Кнеаера (см., например, (1, гл.
2, 3 2)) могут быть дополнены следующим образом. Т е о р е м а 1. Существует аналитическое преобразование координат, которое приводит систему (1) к виду Ег 1 Ее т Ег р(х,у) ' ю р(х,у) () а интегральный инвариант Х (у) к виду Х (у) = 5 Р (х, у) с(х г(у, (2'Х о ДАН СССР, 1953, т. 93, с. 763 — 766. где 7 — некоторая константа. Случай рационального 7 приводит к замкнутым траекториям и с качественной точки зрения вполне элементарен. Если 7 иррационально, то хорошо известно, что все траектории всюду плотны на Т' и динамическая система транзитивна (см. И)). Введенные нами допущения об аналитичности функций А, В н ХХ позволяют устано- воз д1.
О динамических системах е интеераеьнкм инеариактом ка торе вить, что в известном смысле «общима случаем здесь является случай динамической системы, записывающейся в надлежащей системе координат в виде аи~й = Ьт йо(а = Хт (3) где Х, и йа — константы. Именно имеет место Т е о р ем а 2. Если существуют такие С ) О и Ь) О, что при всех целых т и п ) О !т — пу ~>~СЬ", (4) епо существует аналитическое преобразование координат, которое переводит систему (2) в систему (8), причем Л,=ух„ а интезральный инвариант 1 (у) приобретает вид 1 (у) = К Ц Ни й~е .зде К вЂ” константа.
Условие (4) выполняется (при надлежащем выборе С и Ь, зависящих от у) для всех у, кроме множества лебеговской меры нуль (см., например, (21). Очевидно, что в случае применимости теоремы 2 динамическая система имеет дискретный спектр с собственными частотами ~.„е=гЬ,+й„ где г и в — целые числа, и соответствующими им собственными функциями ~р„„которые по приведении системы к виду (3) записываются в виде цт (и, о) = ец"и"о) В силу аналитичности преобразования координат, приводящего систему к виду (3), собственные функции являются аналитическими и в первоначальной системе координат. Для иррациональных у, не удовлетворяющих условию (4), имеется ряд других возможностей, полное обозрение которых требует перехода на точку зрения общей метрической теории динамических систем.
При этом естественно допустить к рассмотрению не только неаналитические, но даже и разрывные преобразования координат, требуя только, чтобы отображение координатного тора (х, у) на координатный тор (и, е), так же как и обратное отображение, были измеримы по Лебегу и переводили множества меры нуль в множества меры нуль (метрическая абсолютная непрерывность). Рассмотрения естественно вести с точностью до множеств меры нуль и называть, например, отображение аналитическим, данное число раздифференцируемым или непрерывным в том случае, если оно совпадает с ана- Зт, О динамических системах с инсасгральнни инеарианкгом на сааре 309 литическим, данное число рае дифференцируемым или непрерывным отображением, с точностью до множества меры нуль.
Формулируемая далее теорема 3 относитпся именно к измеримым абсолютно непрерывным (в метрическом смысле) преобразованиям, рассматриваемым с точностью до множества меры нуль. Для правильного ее понимания следует заметить, что два такого рода преобраэования, приводящие динамическую систему с иррациональным у к виду(3), могут отличаться между собой лишь линейным преобразованием и' = аи + Ьп, п' = си + с(и с целыми коэффициентами и детерминантам +.1.
Т е о р е м а 3. При надлежащем выборе иррационального у и аналитической функции Р' (х, у) возможен каждый из следующих случаев: 1) система (2) приводится к виду (8) бесконечно дифференцируемым, но не аналитическим преобразованием координат; 2) система (2) приводится к виду (8) )г-кратно дифреренгцируемым, но не дифференцируемым (к + 1)-кратно преобразованием; 3) приведение системы (2) к виду (8) возможно лишь при помощи всюду разрывного преобразования; 4) приведение системы (2) к виду (8) невозможно. Очевидно, что в случаях 1), 2) и 3) система имеет дискретный спектр с системой собственных функций вида (5), но эти функции оказываются соответственно неаналитическими, недифференцируемыми (Й + 1)-кратно или всюду разрывными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
