Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. имеет вид )а(1)=>Ра(ек',..., еа ), Уа(1)=>[>а(е>ьс',..., е™ ). Т е о р е м а 2. Если Н (д, р, О) = И' (р) и детерминант (17) не равен нулю в области Я, то при О -н 0 лебеговслая мера множества Мо стремится н полной мере области С. По-видимому, в известном смысле слова «общим случаем» является такой, когда множество Мэ при всех положительных О имеет всюду плотное дополнение. На такого рода осложнения, возникающие в теории аналитических динамических. систем, указано по более специальному поводу в моей заметке [3). 31 августа 1954 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Каносорович Л. В. Функциональный анвлкэ к прикладная математика.— УМН, 1948, т. 3, вып.
6, с. 163. 2. Ко>свеса е. Р. 01орЬвв«1»сЬ« арргох1гвамовоп. Вог11в: Яривйог, 1936. 3. Колмогоров Л. и. О двнамкчоскнх системах с интегральным кнвврквнтом на торе.— ДАН СССР, 1953, т. 93, № 5, с. 763 — 766. 316 бд. Общая кмория динамических систем и классическая механика 53 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА* ВВЕДЕНИЕ Для меня явилась неожиданностью необходимостьсделатьдоклад на заключительном заседании Конгресса в этом большом зале, который был ранее мне известен более как место исполнения великих произведений мировой музыки под управлением Менгельберга.
Доклад, который я подготовил, не учитывая перспективы столь почетного его положения в программе нашего Конгресса, будет посвящен довольно специальному кругу вопросов. Моей задачей будет выяснение путей применения основных концепций и результатов современной общей метрической и спектральной теории динамических систем к изучению консервативных динамических систем классической механики. Мне кажется, впрочем, что выбранная мною тема может иметь и более широкий интерес как один из примеров рождения новых неожиданных и глубоких связей между различными частями классической и современной математики. В своем анаменитом докладе на Конгрессе 1900 г.
Гильберт говорил, что единство математики, невозможность ее распадения на независимые друг от друга ветви вытекают из самого существа нашей науки. Наиболее убедительным подтверждением правильности этой мысли является возникновение на каждом этапе развития математики новых узловых пунктов, где при решении вполне конкретных проблем оказываются необходимыми и вступают в новое переплетение понятия и методы самых различных математических дисциплин. Для математики Х1Х в.
одним из таких узловых пунктов являлись вопросы интегрирования систем дифференциальных уравнений классической механики, где проблемы механики и теории дифференциальных уравнений органически переплетались с проблемами вариационного исчисления, многомерной дифференциальной геометрии, теории аналитических функций и теории непрерывных групп. После работ Пуанкаре стала ясной фундаментальная роль для этого круга вопросов топологии. С другой стороны, теорема о возвращении Пуанкаре — Каратеодори послужила началом «метрической» теории динамических систем в смысле изучения свойств движений, имеющих место при «почтн всех» начальных положениях системы. Развившаяся отсюда «эргодическая теория» получила различные обобщения и сделалась самостоятельным центром притяжения и узлом переплетения методов и проблем различных новейших отделов математики (абстрактная теория меры, теория групп линейных " 1п: Ргос.
1шегп. Сопят. Май., 1954, то1. 1, р. 315 — 333; То же.— В кнл Труды Междунар. математического конгресса. Амстердам, 1954 гл Обзор. докл. М.: Изд-зо АН СССР, 1961, с. 187 — 208. аэ. Общая теория динамических систем и кяассикеская механика 317 операторов в гильбертовом и других бесконечномерных пространствах, теория случайных процессов и т. д.). На предшествующем Международном конгрессе 1950 г. общим вопросам эргодической теории был посвящен большой доклад Какутани (23). Топологические методы, как известно, получили существенные применения в теории колебаний, в частности при решении вполне конкретных проблем, возникающих при научении систем автоматического регулирования, в электротехнике и т. д.
Однако эти реальные. физические и технические применения относятся главным образом к неконсерватнвным системам. Дело сводится здесь обычно к разысканию отдельных асимптотически устойчивых движений (в частности, устойчивых точек покоя и устойчивых предельных циклов) и научению пучков интегральных кривых, притягивающихся к этим асимптотически устойчивым движениям. В консервативных системах асимптотически устойчивые движения невозможны.
Поэтому, например, разыскание отдельных периодических движений при всем его математическом интересе имеет в случае консервативных систем лишь весьма ограниченный реальный физический интерес. Основное значение в случае консервативных систем имеет метрическая точка зрения, позволяющая научать свойства основной массы движений. Современная общая эргодическая теория подготовила для этой цели набор понятий, обладающих очень большой физической убедительностью по своему замыслу. Однако наши успехи в смысле анализа с этих современных точек зрения конкретных задач классической механики до настоящего времени более чем ограничены..
Дело идет в первую очередь о следующей проблеме. Допустим, что движение по г-мерному аналитическому многообразию е'е определяется канонической системой дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н (д„..., д„р„..., ре). Пусть при этом имеется Й однозначных аналитических первых интегралов 1„..., Хи и условия 11 = С1', ', Хк = Ск выделяют иэ фазового пространства йсее аналитическое многообраэие М" ".
Как известно, при почти всех эначениях С„..., Ск на Мы " возникает естественным образом аналитическая инвариантная плотность, что дает возможность применить к движениям на Мк' " общие принципы метрической теории динамических систем. Естественно. обращаться к этим более современным средствам в случаях, когда, кроме, 1„..., Хю неэависимых от них однозначных аналитических пеРвых интегралов нет или их нахождение представляется слишком трудным, а другие классические аналитические методы окончания интегрирования системы оказываются тоже неприменимыми.
В таких случаях требуется при помощи тех нли иных качественных рассмотрений решить вопрос о том, будет ли движение на М" "транэитивным (т. е. будет ли почти все Мее-"состоять из одного единственного 318 бд. Общая теория динамических систем и классическая механика эргодического множества), в случае транзитивности — определить характер спектра, при отсутствии же транзитивности — изучить с точностью до множества меры нуль (или хотя бы с точностью до множества малой меры) характер рааложения М"-" на эргодические множества и характер спектра на этих эргодических множествах. Мне известны только две конкретные задачи классической механики, в которых эта программа в большей или меньшей степени уже выполнена.
1. Для движения по инерции по замкнутой поверхности Уз всюду отрицательной кривизны ' Хопф в 1939 г. установил, что движение на трехмерных многообразиях Л~~, выделяемых требованием постоянства энергии Н = Ь, транзитивно, а спектр непрерывен (см. (8)). 2. Как будет указано далее, при движении по инерции по аналитическим поверхностям, достаточно близким ктрехосному эллипсоиду, движение на с.ь нетранзитивно и с точностью до множества малой меры разбивается на двумерные торы Т', на каждом из которых движение транзитивно, а спектр дискретен (см.
конец з 2). Однако мне представляется, что как раэ сейчас наступило время, когда окажется возможным значительно более быстрое движение вперед. 1 г АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ИХ УСТОИЧИВЫЕ СВОЙСТВА Динамические системы классической механики являются частным случаем аналитических динамических систем с интегральным инвариантом. Носителем такой динамической системы является аналитическое и-мерное многообразие ьсн (фазовое пространство системы). В соответствии с этим допустимые преобразования координат х„... ..., х„точки х б= 'ьс" будут всегда аналитическими. Правые части дифференциальных уравнений, определяющих движение, Ах„(й = Ри (хю..., хн) (1) н инвариантная плотность, порождающая инвариантную меру т(А) = ~М (х) ссхг...
Ихн, А будут считаться аналитическими функциями координат з. а 'Быть может, небесполеано ааметитгч что в обычном евклидовом пространстве можно задать замкнутую поверхность У' рода два и разместить по соседству с ней конечное число центров притяжения или отталкивания, соадающих на У' потеипиал сил таким образом, что движение материальной точки по Уа под действием введенных внешних сил будет математически эквивалентно движению по инерции в метрике, обладающей всюду отрицательной кривизной. ' Всюду, где мы говорим просто о «мере» без дальнейшей специализации, мы имеем в виду меру т.
бд. Общая теория динамических систем и классическая механика 319 В соответствии со сказанным во введении нас будут по преимуществу занимать канонические системы, т. е. системы с п = 2г, разделением координат точки (д, р) ~ йт на две группы д„..., де н р„..., р„преобрааованиями прикосновения в качестве допустимых преобразований координат, уравнениями канонического вида б«а дН бра дН (2р б« бра ' «д«а и инвариантной плотностью М(д,р) =1. Особое внимание будет уделено вопросу о том, какие свойства дк намических систем являются при «произвольных» г"а и М (или «произвольной» функции Н (д, р) в случае канонических систем) «типичными» и какие могут проявляться лишь в виде «исключения».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
