Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 73
Текст из файла (страница 73)
г. Асай. зс!. Раг!з, 1939, чо!. 208, р. 1272 — 1273. 49. Масс!я!сгеш!сс лц СоИес!ей рарегз. !Уагзгама, 1964. 50. Никишин Е. М. Резонансные теоремы и надлпнейные операторы.— УЫН, 1970, т. 25, вып. 6, с. 129 — 191. 51. Жижиашеили Л. В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси: Иад. Тбил. гос. ун-та, 1969. 52. Натансон ХХ. П.
К вопросу о разложении функций по ортоиормированным полиномам.— Иав. АН СССР. Сер. физ.-мат., 1933, т. 1, с. 85 — 88. 53. Ульянов П. Л. Об А-иптегралах Коши для контуров.— ДАН СССР, 1957, т. 112, № 3, с. 383 — 385. 54. Хускиеадее Г. А. О сопряженных функциях и особых интегралах Коши.— ДАН СССР, 1961, т.
140, № 6, с. 1270 — 1273. ДЕСИРИНТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ !Н. ХХ. ХгароеиченкоХ Работа № 13 заложила начала общей теории операций над множествами. Предыстория вопроса восходит к французской математической школе начала века. Тогда в исследованиях Вореля, Бара, Лебега и других возникла аадача описания таких процедур, которые иа исходной совокупности множеств простой структуры — в первую очередь на числовой прямой — приводили бы к содержательному описанию более сложных множеств.
Эта задача благодаря Н. Н. Лузину перекочевала в нашу страну. Вскоре был получен аамечательный результат. В связи с решением проблемы о мощности борелевских множеств, или, как их называют, В-множеств, Александровым [1О! была введена А-олерация, а Суслиным !141 было доказано, что если применить А-операцию к замкнутым множествам на прямой, то могут лолучвться множества, дополнения к которым нельзя построить тем же способом.
Отсюда следовало существование А-множеств, не являющихся В-множествами. В комментируемой работе А. Н. Колмогоров вводит понятие бс-операции. бе-операция ф задается некоторой совокупностью подмножеств 6, = (!Ь 374 Коммснсиарии = (щ), натурального ряда (числовых цепей) и некоторой совокупностью множеств с = (с (и)), и ш 11. Каждому 1 ш Е соответствует цепь множеств (с (и,))г, и; ш 1), и ЯдРо этой цепи []с (ис). СУмма ЯдеР всех цепей, соотввт- $ ствующих данной совокупности числовых цепей, и есть результат применения данной операции Ф к данной совокупности множеств с. Таким образом, Ф(с)=- (.] П с( ), ллв. ныг где с.
'1 г)л (У), е, < ср (1), 1 — счетное множество. Автор доказывает, что существует Ф-множество, т. е. множество, получаемое с помощью некоторой бкоперации из замкнутых множеств на прямой, дополнение к которому не является Ф-множеством. (Заключение этой теоремы назовем К-свойством соответствующего пространства). Общей теории операций над множествами, исходный пункт которой — комментируемая работа, посвящена недавно вышедшая монография [5).
Ниже мы рассказываем о некоторых работах, относящихся к данной теории. В ]12] бтоперации были обобщены до тсорстиктмнохссствснних оисраций (ТМО), вадаваемых булевыми многочленами в совершенной дизъюнктивной нормальной форме: Ф (с) = (] ( П с (и) П П (У ', с (и))), лшз пыл оыгцл где 1 произвольно. 5 называется базой операции, а среди 1МО бкоперации ха- рактеризуются экстенсивностею базы [12];] тсА чВ, А ш Е дс А с В С 1 =л В сн $.
При этом систему 6 иа (1) называют иодбоэой Е, так как наименьшая экстенсивная система, содержащая Е„есть как раэ база Е для Ф в смысле (1о). Из класса абстрактных функционалов с Ф (с) ~ У, с: 1 сф (У), 1МО выделяются аксиомой: для всех У, Я и 1: 2 У имеет место формула: Ф (Ь с с) = = й (Ф (с)), где уя А 1 ' [А],]а для таких фуикпионалов соответствующая пм база выражения (1*) получается] по формуле: 5 = Ф (со), гдв с,: 1 с]Л (сь (1О и лги, с, (и) = (В ] и ш В ~: 1],', что, в частностиф дает метод приведения к совершенной дизъюнктивной нормальной форме любого булеза многочлена (см. [4, 5]).
Основная теорема работы остается без изменений и для ТМО. В этом виде она впоследствии обобщалась. Прежде всего было замечено, что для наличия К-свойства в пространстве Х достаточно, чтобы там топологически содержался канторов дисконтинуум В ко (до работы [3] здесь фигурировало ненужное требование аамкнутости Р"' в Х). Другое обобщение начинается с замены сагд 1 = = Яо на саго] 1 = е[а; такую ТМО назовем )йа-оисрацисй. В, [9] Шнейдером было докааано, что для Я „-операции К-свойство выполнено в тихоновской степени 0 ".
Затем в (3, 4] при условии )4„= ~~~~ 2 "К-свойство было докааанодлн к Я 3<а )4 -операции в трансфинитно арифмсснинсском континууме С (слс. [2)). С а трансфинитное обобщение числовой прямой, которое получается дедекпндовым пополнением линейно упорядоченного множества нормального типа л)а Хаус- Десяриптиеная теория множеств [П. ХХ. Пароеиненяо/ 375 дорфа (см. первое издание его монографии [11)). Наконец, в [8[ для )й„-операции Чобапом было доказано, что для выполнения К-свойства в пространстве Х достаточно наличие в Х регулярного надпространства Х» веса Яи, которое непрерывно отображается иа Г» или У (е = [О, 1)) — теорема, обобщающая ма на предшествующие и дающая нечто новое даже в классическом случае и = О, В [6[ Пономаревым теорема Суслина и теорема о непустоте классов борелевских множеств впервые были доказаны в принципвально новой ситуации: для совершенно нормальных бикомпактов.
В [3) для указанных пространств теорема о непустоте классов была доказана в формулировке комментируемой работы. Наконец, в [7) эта теорема была обобщена на Яи-операции. В заключение приведем определение П-операции и одну теорему о ней, принадлежащие А. Н. Колмогорову, которые им не были опубликованы, но с его согласия были включены Канторовичем и Ливенсоном в их работу [13). Пусть Фз есть 6»-операция с натуральным рядом в качестве индексного множества и йодбазой я»с. П-операцией над Фз, обозначаемой ПФп, называется бз-операция, индексным множеством для которой служит множество К всех кортежей из натуральных чисел, а подбазой — система всех множеств М с: К, для которых выполнена совокупность следующих условий для каждого (з11 зз зя) ш К (1) Ус ~( и, (»1, зз,..., зи..., з„) ш М =» (зг, зз,, з,) ш М, (2) (з1 [ (11) ы М) са Во и (з1 зз за) ш М =.» (за+1 [ (»1с зз,..., зп, оп+1) ш М) ш ес 1 Например, А-операция есть П-операция над операцией счетного суммирования.
Т е о р е и а. Если операция Ф + зсощнее операции Фп, то ПФ „мощнее но по ЛФн. )з-операции впоследствии изучались (см., например, [1, 5)). В частности, цитированная теорема недавно кередоказывалась п обобщалась в [5). Работа № 59 была посвящена семидесятилетию академика П. С. Александрова. В качестве дополнения сделаем несколько замечаний к определению Г- операции. База операции, дополнительной к данной 6з-операции, состоит из всех множеств, пересекающих каждое множество базы исходной операции (ср. 6 2 работы № 13).
Отсюда легко следует характеристическое свойство Г-цепей П. С. Александрова, приведенное в работе, в выражении через интервалы Бара йм так как дополнительная А-операция имеет по определению в качестве подбазы систему множеств вида ((зз), (з„з,), (з„з„з,),...) для всех последовательностей з„з„з„... натуральных чисел (»регулярные цепи кортежей»). Интервалы Бара либо не пересекаются, либо содержатся друг в друге, причем Ае» ( Ь„ если кортеж з" продолжает з. Поэтому максимальные интервалы любого покрытия пространства последовательностей интервалами Бара, соответствующего Г-цепи ЗВ, образуют дизъюнктное и потому минимальное подпокрытие, которому соответствует минимальная Г-цепь ю < ю.
Минимальные Г-цепи образуют подбазу Г-операции, формулу для которой можно поэтому записать более экономно: с использованием лишь Г-цепей Я„соответствующих дизъюнктным покрытиям интервалами Бара. Подбаза бз-операции называется жесткой 376 Ивмментарии если ее множества не содержатся друг в друге. Кроме Г-операции, жесткой подбавой обладает и А-операция: ею служит система всех регулярны х цепей кортежей исходного определения, что здесь очевидно.
ЛИТЕРАТУРА 1. Ляпунов А. А. И-множества.— Тр. МИАН СССР, 1953, т. 40, с. 1 — 68. 2. Парввиченко ХХ. И. К теории множеств, не удовлетворяющих аксиомам счет- ности.— Уч. зап. Кишинев. ун-та. Сер. физ.-мат., 1957, т. 29, с. 15 — 24. 3. Парввиченкв И. ХХ. К дескриптивной теории множеств в топологических Eространствах.— ДАН СССР, 1971, т. 196, № 5, с. 1024 — 1027. 4. Парввиченкв ХХ. И. О теоретико-множествеиных операциях.— ДАН СССР, 1971, т. 201, № 1, с. 40 — 43. 5. Парввиченкв ХХ. И.
Теория операций над множествами. Кишинев: Штиинца, 1981. 6. Пономарев В. И. О борелевских множествах в совершенно нормальных бикомпактах.— ДАН СССР, 1966, т. 170, № 3, с. 520 — 523. 7. Чабан М. М. Модификация топологий и непустота классов.— Сердика (Бълг. мат. списание), 1973, т. 1, с. 133 — 143. 8. Чабан М. М. Об операциях над миожествамн.— Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, № 6, с. 1332 — 1351. 9. Шнейдер В. В.
Дескриптивная теория множеств в топологических пространствах.— Уч. зап. МГУ. Сер. мат., 1949, т. 135, № 2, с. 37 — 85. 10. А !еаапдгв(( Р. Зпг 1а ртдввапсе дез епяешЫев шевпгаЫев В.— С. г. Асад. вс!. Раг!в, 1916, чо1. 162, р. 323 — 325. 11. ПаивдвгИ Р. Сгппдхобе дег Мепбеп1еЬге.
Ье1рх[3, 1914. 12. Кап!ее»ем«в Ь., Ьшепевп В. Мешо!г оп Гйе апа1у!!са1 орегаИопв апд рго!ее!!че зе!в (1).— Рппд. ша!Ь., 1932, чо1. 18, р. 234 — 279. 13. Х(апгвгве!!«Ь Х., Хнеепевп В. Мел»о!г оп !Ье апа!уИса1 орегаИопв апд рго)ест!че вета (2).— Рппд. ша!Ь., 1933, чо1. 20, р. 55 — 97. 14. Увив!!п М. Зпг ппе йейпрИоп дез епвешЫев шевпгаЫея В вапв погоЬгев хгапзйпш.— С. г. Асад.
вс!. Рапв, 1917, чо1. 164, р. 88 — 91. ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА (В. А. Скворцов) К СТАТЬЕ «ИССЛЕДОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА» Введенные в работе № 16 варианты определения интеграла вошли в литературу под названием «интеграл Колмогорова» для конечных или для счетных разбиений [1). Конструкция интеграла Колмогорова излагается в учебнике [2) и в монографиях [3, 4). Значение интеграла Колмогорова в развитии теории интеграла отмечается в монографиях [5, 6) и в статьях [7, 8). Конструкция интеграла Колмогорова явилась результатом синтеза и глубокого обобщения многочисленных, но разрозненных до того момента исследований по теории интеграла тина Стилтьеса для функций на абстрактных множествах, в частности идей ч>роше, Мура и Беркилля.
В дальнейшем интеграл Колмогорова и его обобщения научались, например, в работах [3, 4, 9 — 23). В частности, взаимосвязь двух вариантов интеграла Колмогорова (для конечных или счетных разбиений) и связь этих интегралов с другими интегралами рассматривались в [3, 13, 17, 23). Интеграл Колмогорова успешно лримеиялся для получения с его помощью новых важных свойств раз- 377 Теория мера и ия ив»рава (В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
