Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Для того чтобы данным и и о иг Н и функции ин- тервала Ф (Дь) со значениями иг Н соответствовала по формуле (3) Определенная таким образом однозначно функция Р (Дь) н константа О, соответствующие Вз (тм тг) для данной функции $ (1) класса й, обоаначаются Рв (Дь) и Ое. Иа теорем 1 — 3 вытекает, что полную систему инвариантов относительно движений для кривой $ (1) класса й образуют ам Ов и Гг (Дь). При этом для существования кривой класса й с данными а (се = = О, 1, 2,...
или оо), 0 (которое может быть любым комплексным числом) и Р (Де,) необходимо и достаточно, чтобы функция интервала Р (Дь) удовлетворяла условиям А), В), С) теоремы 2. Спектральное представление (2) функции Вв (ты тг) связано со спектральным представлением самой функции $ (с), указываемым в следующей теореме: Т е о р ем а 4. Каждая фуяция $ (1) класса й может быть представлена единственным способом в виде Е2.
Кривые в гильвертовогг проетра~етве ,вунниия $ (8) ив М, необходимо и достаточно, чтобы Ф (Лг) удовлетворяла условиям 1', 2' и 3' гпеоремы 4. Отметим в заключение, что функция класса й в том и только в тои случае может быть представлена в виде Й И) = багха. (5) где (Уг) есть НОГ унитарных операторов, когда норма (! $ (С) (! = г постоянна при всех 2, т. е. в том и только в том случае, когда кривая $(~) расположена на сфере ) х )! = г. Класс функций, представимых в виде (5), будем обозначать йо. Для функций класса йо все предложения, аналогичные теоремам 1 — 5, выводятся непосредственно из спектрального представления соответствующей группы (Уг) и иногда в несколько иной форме хорошо известны.
Рассмотрение произвольной функции класса Ю может быть сведено к рассмотрению функций класса й, на основе следующего замечания: если $ (с) принадлежит й, то ьь (~) = (9 '2 + Л) — $ (О)/й принадлежит й. Функции ьь (2) представляются в виде оо (г) = ПгЬь (О) где операторы уг — — ) ееи ЫЕ(Лг) не зависят от ег. Поэтому ь„(1) = ) екгаЧеь(Лг)г где ч" (л ) = е(ль) ~ (о).
Доказывается существование предела )гш ч",(л,) = ч" (л,) и полагается Ф(л.)= ~ А Полученная таким образом функция Ф и есть функция Фг теоремы 2, Полные доказательства будут опубликованы в другом месте. 23 ноября 1939 г. Ед. Скираль Винера и нгкоторкг другие кривко 43 СПИРАЛЬ ВИНЕРА И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ИНТЕРЕСНЫЕ КРИВЫЕ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ а Мы рассмотрим адесь некоторые частные случаи кривых, которым посвящена моя предыдущая заметка [1). Преобразованием подобия в гильбертовом пространстве Н будем нааывать любое преобразование А в самого себя, представимое в виде А =а+дПх, где а — фиксированный элемент пространства Н, П вЂ” унитарный оператор, а д — действительное число, большее нуля.
О п р е д е л е н и е. Функция $ (1) класса й принадлежит классу (1, если при любом действительном гг чь О существует такое преобразование подобия Ат, что для всех й Если заменить пространство Гильберта в наших определениях конечномерным унитарным пространством, то единственными функциями класса Ц будут линейные функции вида $(1) = и1+о (где и и о — фиксированные элементы пространства). Тем более интересно, что в гильбертовом пространстве существуют другие типы функций класса [1. Геометрически каждая функция класса Ю определяет кривую в пространстве Н, инвариантную по отношению к группе преобразований подобия, зависящих от двух параметров, которые поаволяют отобразить кривую на самою себя так, что любая заданная пара ее точек х и у ~ х перейдет в любую другую эаданную пару точек х' и у' ~ х', лежащих на той же кривой.
Т е о р е м а 6. Функция Вг (тп тг), соответствующая функции 9 (1) класса ([, может быть представлена в виде Вг(тм т,) =с[[тг [т+ [ г, [т — [тг — т, [т] где с и у — действительные константы, удовлетворяющие неравен- ствам с~~О, О(у(2.
г ДАН СССР, 1940, т. 26, с. И5 — 118. Ед. Спираль Винера и неиоторие другие арионе 275 Очевидно, что в случае Вг (тп т,), нетождественно равного нулю, константы с=-се и у=у однозначно определяются по функции Вг (ти т,), а следовательно, и по самой функции $ (~). Ясно также, что Ве (ты тз) может быть тождественно равным нулю только в случае, если $ (г) постоянно. В дальнейшем мы отбрасываем этот исключительный случай и считаем, что уг > О, се ) О. Мы видим, таким образом, что функции класса (г характеризуются с точностью до преобразований движения в пространстве Н инвариантамн иг, сг и ть, Что касается соответствующих кривых, то они определяются с точностью до конгруэнтностн инвариантамн аз и уз (изменение же сь не меняет вида кривой, изображаемой функцией $ (~), а связано лишь с изменением выбора параметра ~).
Т е о р е м а 7. Любам а (= О, г, 2,..., или оо), с (с ) О) и 7 (О ( у ~~ 2) соответствует хотя бы одна функция $ (~) класса Ю с аг = я, сь = с, те = у. Для функции класса Ц, соответствующей данным гх, с и 7, имеем при у(2 6 =0 Рз(Д)=т 1 — ° е е ~й В (ь,)ты ' аь где ч ~ (огв (Х/2)) )ьт+' о В случае же у = 2 имеем О, = 2, Р, (Д,) = О.
В последнем случае (у = 2) сама функция $ (~) линейна (т. е. геометрически изображает прямую в пространстве Н). Рассмотрим теперь специально класс %8 функций В (ь) класса гг, для которых Кривые, соответствующие этому классу функций, назовем скиралями Винера. В соответствии с вышесказанным спираль Винера определяется с точностью до конгруэнтности единственным инвариантом аг. Если же интересоваться лишь расположением кривой в соответствующем пространстве Н;, то можно сказать, что все спирали Винера конгруэнтны друг другу. Точно это обозначает следующее: для любых двух спиралей Винера, определяемых функциями $г ед.
Скираеь Винера и некекеорые другие кривые и 3„существует вааимно однозначное соответствие между НЬ и Н1, вида у=а+7Ух, где а — фиксированный элемент Нз,', а У вЂ” изометричный линейный оператор, который преобразует первую кривую во вторую. Т е о р е м а 8. Для того чтобы функция класса м принадлежала классу Я, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух непересекающихся интервалов вг(г(й, вг(г(1г оси 1 имело место равенство ( з (е1) з (вг)е ь (ег) ь (вг)) На геометрическом яаыке теорему 8 можно выразить так: спирали Винера вполне характеризуются двумя следующими свойствами: 1) они инвариантны по отношению к некоторой НОГ движений; 2) их хорды, соответствующие двум неперекрывающимся дугам, ортогональны.
Откладывая доказательство перечисленных теорем до другой публикации, дадим здесь несколько дополнительных замечаний и примеров. 1. При у( 2 функция $ (1) класса й не дифференцируема (как в смысле сильной, так и в смысле слабой сходнмости). 2. Если $ (г) принадлежит классу Я, то различным значениям 1 соответствуют различные $. Это свойство не обязательно для функций класса Й, среди которых имеются, в частности, периодические. 3. Значения функции $ (1) класса Ю неограничены по норме. Так как значения функции класса Йе имеют постоянную норму, то отсюда вытекает, что классы Ц и Йе не пересекаются.
4. Пример реализации спирали Винера. Рассмотрим гильбертово пространство Н, комплексных функций ~ (г) действительного аргумента г ( — оо (г ( оо) с конечным интегралом ! ~ (г) (г егг, и котором скалярное произведение определено обычной формулой е (1, у) = ~ )'(г) б(г) йг. М Прн 1 е О положим $ (1) равным Функции ~ (г), которая равна 1, если О ( г ( 1, и равна О для остальных г. Легко проверить, что р (г) удовлетворяет условиям теоремы 8. 5, Применение функций класса й, й„ц и Я в теории вероятностей. Пусть дано какое-либо поле вероятностей (для определений Ед. Свирель Винера и некоторые другие кривые 277 м.
[2)). Комплексные слУчайные величины х этого полЯ с конечным математическим ожиданием Е )х)г обРазУют, если их скалЯРное пРоизведение опРеделить фоРмУлой (х у) = и (ху) унитарное пространство В конечного или бесконечного числа измерений. Наиболее интересен случай бесконечномерногопространства со счетным базисом. В этом случае Л удовлетворяет всем аксиомам гильбертова пространства.
Если каждому 1 поставлена в соответствие случайная величина 6 (1), то говорят, что 6 (1) есть случайная функция. Будем считать, что 9 (1) при каждом 1 принадлежит гг1 и непрерывна в смысле сходнмости по норме в г1. Тогда а) Принадлежность $ (Ф) к классу йв совпадает со стационарно- стью случайной функции 6 (1) в широком смысле (в теории вероятностей играет большую роль также другое понятие «стационарности в уаком смысле», на котором мы здесь не останавливаемся).
Стационарные в широком смысле случайные функции подробно изучены А. Я. Хинчиным [3). Ь) Если случайная функция $ (1) принадлежит классу Ж, то ее естественно назвать случайной функцией со стационарными (в широком смысле) приращениями. Их детальное изучение являлось одной из очередных задач теории вероятностей и может быть проведено на основе изложенных нами в [4) результатов. с) Требование [ 6 (1г) — $ (ех), $ (2») — $ (ет)) = О теоремы 8 на языке теории вероятностей обозначает равенство нулю коэффициента корреляции между приращениями 9 (1) на двух непересекающихся интервалах оси 1.
Таким образом, случайные функции класса хп — это функции со стационарными (в широком смысле) и некоррелированнымн приращениями. Частный случай такого рода случайных функций, встречающийся при изучении броуновского движения, и привел Винера еще в 1923 г. (см. [4)) к рассмотрениям, которые в переводе на геометрический язык приводят к описанным выше спиралям Винера. 28 ноября 1939 г.
ЛИТЕРАТУРА 1. Колмогоров А. ХХ. Кривые в гильбортовом пространстве, ииваривитиыс по отношению к одиопарамстричсской группе движений.— ДАН СССР, 1940, т. 26, с. 6 — 9. 2. Колмогоров А. К. Основные понятия теории вероятностей. МЛ Лл ОНТИ, 1936. 80 с.; 2-о иад. Мл Наука, 1974. 3. Хиичии А. Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов.— УМН, 1938, вып. 3, с. 42 — 51. 4. Ичеиег Аг. 1г111егеп«1«1-«расс.— 7. М«1Ь. апй РЬув., 1923, чо1. 11, 1ч 3, Р. 122 — 174. 278 44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
