Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 50
Текст из файла (страница 50)
О неравенствах длл ирвиеввдны ными Ма У) Мт+1 (1) и Ми (~) (пг + 1 ( п). Очевидно, Ма (7 ) = М1 (7) М (1 ) ™ +1 (7) М 1 (7 ) = М (7) так как необходимость условия (1) при )с = т уже доказана, то и — 1 — т т МтЦ') (Си, тМо У)Ми 1(1)е или, что то же самое, и — 1-т ив Мт+1(~) ~иСи-1 тМ," ' (~) М,", '(~), (23) Кроме того, так как для случая )г = 1 необходимость условия (1) доказана при любом п, имеем М1(7) ~Сж 1Мв ~ (7)М„"(7).
(24) Подставляя (24) в (23), получим и-1 и-1-т т+1 Мт+1Я ( Си-1 тСи 1Ма ()) Ми (11)~ а так как 1и-1ии Си-1, тСи, 1 = Си, тв1в то окончательно и — т — 1 т+1 Мтех (1) ( Си тмМо " (~) Мии (Дв что и доказывает наше утверждение. ЛИТЕРАТУРА 1. Ка1тогвгви А. 77. 17пе зепега11ва11оп йе 1'1пеза111е йе М.
Х. Найашагй епгге 1ев Ьогпев впрег1епгев йев йеычбев впссевв1чев й'ппе 1опсмоп.— С. г. Асай. вс1. Раг1в, 1938, чо1. 207, р. 764 — 765. 2. Байатагй в. 8пг 1е пгойп1е гаах1шпш й'ппе 1опс11оа ег йе вев йбычеев.— С. г. 8ос. шасЬ. Ргапсе, 1914, чо1. 41, р. 68 — 72. 3. Боссе Ю. Г. (117илвв Г. Е.). О неравенствах между проивводпымп.— Сб. работ. ступ. науч.
кружков МГУ, 1937, т. 1, с. 17 — 27. 4. Ахиееер Б. Л., Брейн М. Г. О наилучшем прпблпжеппп трпгопометрпчесппмп суммами дифферепцпруемых периодических функций.— ДАН СССР, 1937, т. 15, с. 107 — 112. 2З4 В1. О кеаьцак непрерывных функций 41 О КОЛЬЦАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ" Совместно с ге. М. Гвльфандом Настоящая статья примыкает к исследованиям М.
Стоуна [21 и к публикуемой выше статье Г. Е. Шилова '. В отличие от этой последней мы рассматриваем кольцо непрерывных функций, определенных на некотором топологическом пространстве, как чисто алгебраическое образование, не вводя в нем никаких топологических соотношений. Оказывается, что в случае бикомпактных пространств, рассмотренном М. Стоуном, а также в значительно более общих случаях уже чисто алгебраическая структура кольца непрерывных функций определяет топологическое пространство с точностью до гомеоморфизма. Для любого топологического пространства Я мы будем рассматривать два кольца: кольцо С (Я) всех определенных на Я действительных непрерывных функций и кольцо С (Я) всех ограниченных функций из С (Я).
Нри изучении таких колец естественно ограничиться случаем вполне регулярных пространств Я. Объясняется это тем, что кольца С (Я) и С' (Я) произвольного топологического пространства Я соответственно изоморфны кольцам С (рЯ) и С (рЯ) определенного, однозначно связанного с Я, вполне регулярного пространства рЯ, введенного Е. Чехом Н1. Вместе с пространством рЯ в работе Е. Чеха вводится определенное непрерывное отображение у = р (х) пространства Я на пространство рЯ, обладающее следующим свойством: действительные непрерывные функции на Я совпадают с функциями вида 7 (х) = «р 1р (х)1, где ~р (у) — непрерывная действительная функция на пространстве рЯ. Из этого последнего обстоятельства и вытекает, что кольцо С (Я) изоморфно кольцу С (рЯ), а кольцо С (Я) — кольцу С (рЯ).
Ввиду изложенного во всем дальнейшем мы будем предполагать само первоначальное првстранппвв Я вполне рвгуллрным (в этом случае рЯ совпадает с Я). Будем называть идеал кольца С максимальным, если он не совпадает со всем кольцом, но и не содержится ни в каком большем идеале, кроме самого кольца С.
Образуем из множества у максимальных * ДАН СССР, 1939, т. 22, № 1, с. 11 — 15. Представлено И. М. Виноградовым. ' Имеется з виду статья Г. Е. Шилова «Идеалы м кедкольца кольца непрерывных функций», помещеппая иа с. 7 — 10 того же выпуска журнала.— Прнмен. Ред. 41. О вееьцаг непрерыеныг функций 265 идеалов кольца С топологическое пространство при помощи следую~его определения: максимальный идеал а является точкой прикосновения множества максимальных идеалов йй, если он содержит пересечение всех максимальных идеалов, входящих в йй.
Легко кровернть, что для любого кольца С это определение точек прикосновения создает из множества Т пространство типа Т, (по терминологии Александрова — Хопфа, Торо1ои[е, 1). Заметим, что такой способ введения топологии в множестве максимальных идеалов употреблялся ранее М. Стоуном [2)Л Будем обозначать пространство у, соответствующее кольцу С (Я), через у (Я), а пространство у, соответствующее кольцу С' (Я), через Т' (Я).[ 1 СЛУЧАЙ ВИКОМПАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА Если пространство Я бикомпактно, то кольца С (Я) и С' (Я) совпадают (все непрерывные функции на Я ограничены) и необходимость их раздельного рассмотрения отпадает.
Т е о р е м а 1. Если пространство Я бикомпактно, то оно гомгоморфно пространству у (Я). Для доказательства этой теоремы установим сначала такую лемму. Л е м и а. Для любого идвала А кольца С (Я), нв совпадающего со веем кольцом, существует точка а пространства Я, в которой всв функции, принадлежащие А, обращаются в нуль. До ка ватель ств о леммы. Допустим обратное. Тогда для каждой точки $ пространства Я можно найти по функции ~2 (х) из А, которая не равна нулю в точке $.
Функция ~1 (х) отлична от нуля в некоторой окрестности и (з) точки $. По теореме Бореля— Лебега можно выбрать конечное множество точек 1„1г,..., 1„ так,что окрестности и(1,), и(5,),..., и(г„), покрывают все пространство Я. Функция 1р(х)=Я~(х)+Я,(х)+,, +1е (х) принадлежит идеалу А и всюду отлична от нуля. Поэтому любая Функция 1 (х) кольца С (Я) может быть представлена в виде 1 (х) = $ (х) <р (х) и, следовательно, тоже входит в А вопреки допущению.
Полученное противоречие доказывает лемму. Доказательство теоремы 1. Изустановленнойлеммы вытекает, что любой идеал А, не совпадающий со всем кольцом ак О кольцах некрерыеных функций С (Я), содержится в некотором идеале Х (а), состоящем из всех функций обращающихся в нуль в точке а. Значит, только идеалы этого последнего типа могут быть максимальными. Ясно также, что всякий идеал типа Х (а) действительно является максимальным. В силу полной регулярности пространства Я максимальные идеалы 1 (а) и Х (а ), соответствующие двум различным точкам а и а, различны: существует функция из С (Я), обращающаяся в нуль в точке а и отличная от нуля в точке а'. Таким образом, ставя каждой точке а пространства Я в соответствие максимальный идеал 1 (а), получаем взаимно однозначное соответствие между пространством Я и множеством у (Я) максимальных идеалов кольца С (Я). Остается доказать, что полученное соответствие между Я и у (Я) является гомеоморфизмом.
Пусть множеству Мточек пространства Я соответствует множество % максимальных идеалов. Если точка а является точкой прикосновения множества М, то все функции, входящие в пересечение всех идеалов из %, т. е. обращающиеся в нуль во всех точках множества М, обращаются в нуль и в точке а, т. е. входят в идеал 1 (а), что по определению обозначает, что 1 (а) есть точка прикосновения множества %.
Обратно, если точка а не является точкой прикосновения для М, то в силу полной регулярности Я можно построить функцию Х (х) из С (Я), обращающуюся в нуль на М и отличную от нуля в точке а; эта функция входит в пересечение всех идеалов из %, но не принадлежит 1 (а); значит, в этом случае 1 (а) не будет точкой прикосновения для %. Таким образом, гомеоморфизм пространств Я и у (Я) докааан. Т е о р е м а П. Для того чтобы два бикомпактных пространства Я и Я, были гомеоморфны, еобходимо и достаточно, чтобы кольца С (Я) и С (Я,) были алгебраически игоморфны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия очевидна: всякий гомеоморфизм между Я и Я, автоматически порождает изоморфное отображение кольца С (Я) на кольцо С (Я,). Достаточность условия вытекает из теоремы 1: из изоморфизма С (Я) и С (Я,) очевидным образом следует гомеоморфизм пространств у (Я) и у (Я,), эти яге последние по теореме 1 гомеоморфны пространствам Я и Яь. 2 КОЛЬЦО С'(8) В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Вопрос об устройстве кольца С' (Я) произвольного вполне регулярного пространства Я сводится к случаю бикомпактного пространства.
Для этого сведения следует воспользоваться введенным Е. Чехом(1) пространством рЯ. Именно по Е. Чеху каждомувполне регулярному пространству Я соответствует определенное однозначно с точностью до гомеоморфизма пространство ()Я, характеризующееся следующими условиями: 1) ()Я бикомпактно; 47. О кольцах непрерывных функцнй 267 2) рЯ содержит Я; 3) Я плотно на рЯ; 4) каждая непрерывная ограниченная действительная функция, определенная на Я, может быть продолжена на рЯ с сохранением непрерывности. Из того что Я плотно на ()Я, вытекает, что продолжение непрерывных функций с Я на ()Я производится однозначно. Таким образом, возникает взаимно однозначное соответствие между ограниченными непрерывными функциями, определенными на Я и на рЯ. Легко видеть, что при этом кольцо С' (Я) отображается изоморфно на кольцо С' (рЯ). Мы доказали, следовательно, такую теорему: Т е о р е м а П1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
