Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Обратно, если существует з-особый сегмент (а, Ь) с а ( О ( Ь, то существует такое 1 ( з, что Ьег ) р. В самом деле, если а = О, то можно положить 1= Ь, если же а ( О, то из — ав о+ ЬЬЬЬ Ьаь и Ь,ь ) р, Ь„( () вытекает Ь,ь ) (3 и, следовательно, также можно положить 1 = Ь. Итак, случай К, всецело определяется неравенствами (7) и существованием зчособого сегмента (а, Ъ), а ~. О ( Ь. При этом з-особый сегмент (а, Ь), удовлетворяющий неравенству а ( О ( Ь, может существовать в каждом отдельном случае только один, так как дза~ таких сегмента перекрывались бы в точке О, что невозможно.
Обозначая — а через р и Ь вЂ” а через д, получаем, таким образом, что случай К,является суммой попарно несовместимых случаев Крч, соответствующих наличию з-особых сегментов К,= ~ Кре, у=1, ..., В; Р=О, 1, ..., д — $. (9) Замена Г = 1+ р переводит случай Квп в случай К; поэтому з силу стационарностк Р (Крч) = Р (К,ч) и ЕК (хе) = ЕК (в,). Мы получаем, следовательно, принимая во внимание, что в случае Кеч имеет место неравенство Ьвч ) (3, Р(К,)ЕК (хь)= Х Р(Кре)ЕК (хв)= ХР(Кеч)~1ЕК, (хр)= =БР(Кое) ЕЬ'., (е7Ьвч))Х(Квч)Я1= Х Р(Крч) () = Р(Ке) () откуда ЕК, (хь) ) р.
40. О неравенствах двв иронвввдннх Так как К, — К, то отсюда вытекает ЕК (хе) ~ )1. С другой стороны, можно было бы аналогично доказать, что ЕК (хе) ~( сс, что и приводит к противоречию. Следовательно, Р (К) = О, а это н составляет утверждение доказываемой основной теоремы. 40 О НЕРАВЕНСТВАХ МЕЖДУ ВЕРХНИМИ ГРАНЯМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ * ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РЕЗУЛЬТАТЫ Рассмотрим функцию / (х), первые и производных которой ограничены на всей действительной прямой.
При этом ограниченность и-й производной будем понимать в том смысле, что (н — 1)-я производная имеет ограниченные производные числа '. Обозначим через М, (1) верхнюю грань абсолютной величины )с-й производной функции 1 (х): Мь Ц) = зпр ) ~1т) (х) (, й = О, 1, 2,..., п. Заметим, что при этом М„(1) обозначает верхнюю грань абсолютных величин производных чисел (и — 1)-й производной. Целью настоящей работы является доказательство следующей теоремы, формулировка которой была сообщена мною в!1): Т е о р е и а 1.
Для того чтобы тройке пололситвлъных чисел М„Мв, М„(О «= сс( и) соответствовала 4ункция / (х), для которой Ме=МеУ), Мв=Мвй, М„=М„У), собходилсо и достаточно соблюдение условия ( ~ М1и т)~нМв/н в ив е и в Уч. зап. МРУ, 1939, т. 30. Математика, кн. 3, с.
3 — 16. т Результаты не изменятся, если рассматривать лишь функции 1 (х), имеющие непрерывную и-ю производную, или даже только аналитические функции: условие (1) нашей теоремы 1 останется необходимым и достаточным. 253 40. О нвраввнотвах дяя ярон»водна еде С໠— Ка-» ° Ка (а-»1/а (2) 4 7 1 К.= (1 . + звн К. = — ~1+ —. + 4 ( 1 л (, зан при 1 четном, при 1 нечетном. Неравенство (1) можно записать в виде М» ( С,"»М„"»М„.
Такая запись имеет то преимущество, что все коэффициенты С„"»- рациональны. Приведем значения С"„» для и ( 5. Приведем еще приближенные значения констант С„» при и ( 7. »=г 1,49631 1,14280 1,16471 1,50892 1,15137 1,51748 Сделаем еще несколько замечаний об асимптотическом поведении коэффициентов С„». Так как, очевидно, К, -э 4/тс при 1-э оо, то имеет место следующее: 1) при и-э оо и ограниченности и — Й с„„=к„+, о; 1,41421 1,04004 1,08096 1,04426 1,04298 1,03451 1,44225 1,09545 1,11665 1,08001 1,07289 1,48017 1,11942 1,14520 1,10472 254 ад.
О перавепетвах дяя проивводпмх и — й-~ оо з о-+0. 2) при и-э со и ( 4 )О(п В частности, С„, „, -о К, = и«2 С,1 — 1 прн и- с, при и -о со. Интерес последних двух соотношений увеличивается тем, что при всех и и й (О ( й ( и) выполняются неравенства ' 1 ( Спв ( я/2. (3) Для случая и = 2, й = 1 теорема 1 была доказана в 1914 г. 12), для всех случаев и ( 5 и для случая и = 5, й = 2 — Г.
Е. Шиловым [3). При доказательстве теоремы 1 мы используем тот факт, что экстремальное равенство Мв(«)=СвМо'" ""(«)М '"(«) (4) осуществляется, в частности, прн заданном и и любом й (О( й с и) для функции и 4 - о(в ((2т + 4) — 2 и) «п(х) = (2т+ ()пы т=о (5) «и ( — ло + х) = ( — 1) +"+'«„( ви — х) . ' Докавательство влемевтврво, мы его пе приводим. в Что касается константы о, то ее изменение, очеввдио, ве влияет ва величины М~ (тп). Эти функции «„(х), графики которых изображены на (рис. 1, рассматривались ранее по другому поводу Н. И. Ахиезером и .М.
1'. Крейном (4!. Легко подсчитать, что из справедливости равенства (4) для функции «„(х) вытекает его справедливость для любой функции вида ~р„(х) = а«„(Ьх + с), (6) где а ) О, Ь ) 0 и с — произвольные константы. Константы а и Ь можно подобрать так, чтобы Мо (р„) и М„(вр„) приняли произвольные наперед заданные положительные значения о. Гипотеза о том, что функции вида (6) осуществляют экстремум Мв («) при заданных Мо («) и М„(«), была высказана Г. Е. Шиловым. В доказательстве этой гипотезы и заключается существенное содержание Кастоящей работы. Функции «„(х) периодичны с периодом 2я и, кроме того, удовлетворяют равенству 40. О ыераееыетеох доя ироиееодыых 255 дУ ~Лгс ~Хее ~УХ Рис.
1 В силу этого равенства поведение функции /„(х) на всей действительной прямой однозначно определяется ее значениями на каком- либо одном отрезке вида иоя/2 ( х ( (еи + 1) я/2. При и ) 0 на каждом таком отрезке /„(х) монотонно и непрерывно меняется от нуля на одном конце до ~К„на другом конце. Аналогичными свойствами периодичности и симметрии обладают и функции вида (6).
Из этих свойств периодичности и симметрии функций ер„(х) вида (6) легко вывести следующее: если, кроме Мо (р„) и М„(~р„), зафиксировать значение $ функции р„(х) в точке хо удовлетворяющее условию )$ )(Мо0р), то по этим трем данным из всех функций вида (5) выделятся ровно две в случае ! $ ! ( М, (~р„) и одна в случае ! $ ! = Мо (~р„). Если обозначить эти две функции (совпадающие в случае ! ь ! = Мо (ор„)); чеРез ~Рол (х) и ор„,о (х), то ~рыл (хо) = — Ч'ы,о (хо) и, следовательно, ! ерыл (хо) ! = ! ~ры,о (хо) !.
Пусть теперь дана какая-либо функция / (х) с конечными Мо (/у при 1 ( и. Будем называть фунинией сравнения порядка и для функ- йд. О неравенствах дла нронесодннх Ции 7' (х) в точке хо фУнкЦию виДа (6), ДлЯ котоРой Мо (сри) ™о (7)с Ми (суп) ™п У) %п (хо) = 7 (хо) Приняв это определение, мы сможем доказать следующую теорему. Т е о р е м а П. Если функция сри (х) есть функция сравнения порядка и для функции 7' (х) в точке хо, то ! У' (х,) ) ~( $ ср„' (хо) (. (7) Заметим, что в случае и = 1 производные 1' (х) и ср„' (х) могут не существовать; однако неравенство (7) сохраняется и в этом случае для производных чисел. Теорема П является усилением неравенства (1) для случая й = 1. В самом деле, из неравенства (7) вытекает, что для любой точки х, ~ 7 (хо) 1 ~( Мс (свин) = Сп, гМо (суп) М» (суп) = Си, сМо ' (сс) Мп (с)с откуда следует, и-Д 1 М (7) <С„,М," ам„и В, т.
е. неравенство (1) для случая й = 1. Д о к а а а т е л ь с т в о теорем 1 и П осущэствляется следующим образом: в $2 доказывается достаточность условия (1) теоремы 1 при помощи рассмотрения функций вида Х„(х) = а1„(Ьх) + ес; в 3 3 для случая й = 1 при помощи индукции по и одновременно докааывается необходимость условия (1) теоремы 1 и теорема П; в 5 4 нндукцией по й доказывается необходимость условия (1) в общем случае. 12 ДОСТАТОЧНОСТЬ УСЛОВИЯ (1) При любых положительных М„М„и Ми равенство и и и-О О Мо —— уиоМо Ми однозначно определяет при О ( й ( н множитель упо = "спо (Мос Мос Ми) ) (). Обозначим еще для любой функции ~ (х) с конечными Ме (1), 1 ~( но у.о (У) = Уп» (Мо й, Мн (7), Мп (У)). Будем говорить, что тройка положительных чисел (М„Мю Ми) евоаможна», если существует функция 7' с Мо У) = Мо Мо У) = Мо Мп (/) = Ми 257 40.
0 неравенствах дяя аронов«днах Докажем такую лемму. Л е м и а. Если «возможна» тройка (М„М», М„), то вовяоожны и всв тройки (Мо, Мо, Мп), для которых Тп» (Мо, Мю М ) ~~ уп» (Ме, М»в Мп) Д о к а з а т е л ь с т в о. По допущению леммы существует функция / (х), для которой Мо У) = Мо, М» У) = М»в Мп (Л = М ° Легко подсчитать, что при любых а ) О и Ь ) О для функции <р (х) = о/ (Ьх) справедливо равенство Уп» (~Р) = У» (7) ° Константы о .. О и Ь ) О можно подобрать так, что получится М„(вр) = Мо, Мп (р) = М . Из »тих равенств и иа неравенства уп» (Мо М» Мп) ~( уп» (Мое Мю Мп) =' упо (в') = уп» (Ф вытекает, что Мо ) Мо ('Р). Положим теперь 7( (х) = ~р (х) + «о, где со — некоторая константа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
