Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Кольцо С' (Я) игоморфно кольцу С' (рЯ) (или, что то же самое, кольцу С (()Я)). Иэ теорем 1 и П1' вытекает Т е о р е м а 1У'. Пространство у' (Я) гомеоморфно пространству рЯ. В силу теоремы П1' ясно, что два негомеоморфных пространства Я и Я, могут иметь изоморфные кольца С' (Я) и С' (Я,). Чтобы в этом убедиться, достаточно взять эа Я любое небикомпактное пространство н положить Я, = ()Я; тогда по теореме ПГ кольцо С' (Я) изоморфно кольцу С' (Я,). Однако справедлива такая Т е о р е м а У'.
Для того чтобы два пространства Я и Я„ удовлетворяющие первой аксиоме счетности, были гомеоморфны, необходимо и достаточно, чтобы кольца С' (Я) и С' (Я,) были алгебраически игоморфны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность условия устанавливается так же, как в случае теоремы 1. Необходимость условия вытекает из того факта, установленного Е. Чехом [1), что для двух пространств Я и Я„удовлетворяющих первой аксиоме счетности, из гомеоморфизма рЯ и ()Я, следует гомеоморфизм исходных пространств Я и Я,.
В самом деле, из изоморфизма С'(Я) и С' (Я,) вытекает гомеоморфизм у' (Я) и у' (Я,), т. е. по теореме 1У' гомеоморфизм ()Я и ()Я„ а следовательно, в силу упомянутого сейчас результата Е. Чеха и гомеоморфизм между Я и Ям 3 КОЛЬЦО С(Ю) Б ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Для кольца С (Я) теорема, аналогичная теореме П1', относящейся к кольцу С' (Я), неверна.
Например, если Я есть пространство целых чисел (т. е. счетное множество изолированных точек), а Я, = = ()Я, то С (Я) и С (Я,) нензоморфны (доказательство этого последнего факта мы опускаем). Однако теоремы, аналогичные теоремам 1Ъ' и У', остаются в силе. Т е о р е м а 1У. Пространство у (Я) гомеоморфно пространству рЯ. Т е о р е м а У. Для того чтобы два пространства Я и Я„удовлетворяющие первой аксиоме счетности, были гомеоморфны, необ- 268 41. О кольцах непрерывных функций ходимо и достаточно, чтобы кольца С (Я) и С (Я,) были алгебраически игоморфны. Теорема У выводится из теоремы 1У точно так же, как У' из 1У'.
Поэтому нам остается только доказать теорему 1У. Доказательство теоремы 1У. Поставим в соответствие каждой функции 1 (х) из С (Я) функцию ~, (х) = (2/и) агс$у [1 (х)[. Функция 1, (х) непрерывна и ограничена на Я. Следовательно, она продолжается с сохранением непрерывности на пространство рЯ. Это позволяет в известном смысле распространить на все пространство рЯ и определение функции 1 (х). Именно в любой точке множества [)Я' Я мы полагаем 1(х) = 1д [(и/2) ~, (х)[, если [1, (х) [~ 1; 1(х) = + со, если 1, (х) = +1; 1 (х) = — со, если ~, (х) = — 1. После того как функции 1(х) распространены на все пространство [)Я, доказательство теоремы 1У протекает с некоторыми осложнениями параллельно доказательству теоремы 1.
Мы ограничимся сообщением лишь основных моментов этого доказательства. Сначала устанавливается следующая Л е м м а 1. для любого идеала А кольца С (Я), не совпадающего со всем кольцом, существует точка а пространства рЯ, в которой все функции, принадлежащие А, обращаются в нуль. Любая точка а пространства рЯ определяет идеал 1 (а) кольца С (Я), состоящий из всех функций 1 (х) этого кольца, для которых все произведения ер (х) = $ (х) 1 (х) с множителями ау(х) из С (Я) обращаются в нуль в точке а (если точка а принадлежит [)Я 'ь Я, то при этом имеется в виду значение вр (а) в смысле, определенном выше). На основе леммы 1 доказывается, что все идеалы типа 1 (а) максимальны и никаких других максимальных идеалов в кольце С (Я) нет.
Л е м и а 2.' Если точка а принадлежит Я, то идеал 1 (а) состоит иг всех функций 1" (х) кольца С (Я), обращающихся в нуль в точке а. Если точка а принадлежит [)Я 'ь, Я, то идеал 1 (а) состоит иг всех функций 1' (х) кольца С (Я), обращающихся в нуль на множестве точек вУ~ первоначального пространства Я, имеющем точку а точкой прикосновения. Доказательства леммы 2 мы не приводим. Из этой леммы вытекает, что идеалы 1 (а) и 1 (а'), соответствующие двум различным точкам а и а', различны.
Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками а пространства [)Я и максимальными идеалами 1 (а). Подобно тому как это было сделано в слу- 269 42. Кривые в еильбертоеом пространстве чае теоремы 1, докапывается, что установленное соответствие между гня и Т (Я) является гомеоморфизмом. З а м е ч а н и е. Из изоморфизма колец С (Я) и С (Я,) вытекает (по теореме 1У) гомеоморфиам пространств РЯ и РЯ„а следовательно (по теореме 111'), и изоморфизм колец С' (Я) и С' (Я,). Обратно же, нз изоморфизма колец С' (Я) и С' (Я,), вообще говоря, еще не следует изоморфизма колец С (Я) и С (Ят).
Йапример, если Я есть пространство целых чисел, а Я, = ))Я, то кольца С' (Я) и С' (Я,) изоморфны, кольца же С (Я) и С (Я,) неивоморфны. Таким образом, кольцо С (Я) является более гибким аппаратом для исследования топологических свойств пространства Я, чем кольцо С' (Я). Однако все же существуют пространства Я и Я, с изоморфными кольцами С (Я) и С (Я,), негомеоморфные друг другу.
Таковы, например, пространство Я трансфинитных чисел( ьв и пространство Я, трансфинитных чисел (ь1, ввятые с обычными в них предельными соотношениями т. 17 ноября 1938 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Сесй Е.— Апп. Ма11ь., 1937, чо1. 38, р. 823 — 844. 2. угоне М. Н.— Тгапв. Аюег. Майи Зос., 1937, чо1. 41, р. 375 381. 42 КРИВЫЕ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ, ИНВАРИАНТНЫЕ ПО ОТНОШЕНИ10 К ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ДВИЖЕНИЙ * Движением в гильбертовом пространстве Н мы будем называть любое преобразование у = Кх пространства Н в себя, представимое в виде Кх=а+ 1лх, где а — фиксированный алемент пространства Н, а 1л' — унитарный оператор.
Непрерывной однопараметрической группой (НОГ) движений будем называть совокупность (Кс) движений К„зависящих от дейв Здесь 17 обоаначает первый несчетный трансфнннт.— Примеч. ред. " ДАН СССР, 1940, т. 26, с. 6 — 9. 270 ал. Кривив в вилъбертовом проетранетве ствительного параметра ~, пробегающего все значения между — сю и +ос, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) для любых г и г Ко+в = Кои' 2) для любого элемента х пространства Н из 8„-+. 8 вытекает ~ Кв„х — К,х!)- 0 при я — н со. Пусть дана НОГ движений Кв и какой-либо фиксированный элемент х, пространства Н. Рассмотрим функцию действительного аргумента 8 з (г) = К,х,.
Очевидно, что функция эта непрерывна (в смысле сильной сходи- мости в Н). С геометрической точки зрения точка х= $(г) описывает в пространстве некоторую кривую. Произвольное движение К преобразует функцию $ (г) в новую функцию ~, (г) = К~ (1). Если движение К = К, принадлежит исходной ИОГ движений, то $ (1) = $(à — э) т. е. кривая $ (г) отображается преобразованием К = К, на самое себя. Иначе говоря, кривая $ (г) инвариантна по отношению к преобразованиям Х, исходной НОГ. Если К не принадлежит исходной НОГ, то кривая $ (~) переводится преобразованием К, вообще говоря, в новую конгруэнтную ей кривую. Не останавливаясь далее на разъяснении геометрической терминологии, связанной с понятием кривой, сформулируем задачу дальнейшего исследования в аналитической форме. О п р е д е л е н и е.
Функция $ (г) со значениями пз Н, определенная при всех действительных в, принадлежит классу Й, если она может быть представлена в виде $ (1) = К,х„где х — элемент Н, а (КД вЂ” НОГ движений пространства Н. Целью настоящей работы является изучение функций класса вв и, в частности, их свойств, инвариантных по отношению к движениям, т. е. свойств, которые остаются неизменными при переходе от функций $(е) к функции Ь (1) = К$(1), каково бы ни было движение К.
В2. Кривив в гивьбертовоя пространстве Рассмотрим какую-либо функцию $ (2) класса и и положим Ве (т, тг) = (гь (1 + тг) гь (е) гь (1 + тг) гь Ж). (1) (Очевидно, что Ве (ти тг) не зависит от 2.) Обозначим через НЗ ми- нимальное замкнутое линейное надпространство пространства Н, содержащее все разности $ (2+ т) — $ ($), через СЗ пространство Н вЂ” Н;, состоящее из всех элементов х, принадлежащих Н, орто- тональных к Н~, и через сс» размерность 6~ (которая может равнять- ся О, 1, 2,...
или оо). При этих обозначениях имеют место следующие теоремы. Т е о р е и а 1. Если $г (8) и $г (с) принадлежат классу й, то для существования движения К, преобразующего $е в $г, т. е. движения, для которого ьг (~) Еьг (») необходима и достаточна совокупность двух условий: 1) ии = иЬ, 2) В», (ти тг) = Ве, (ти тг) для любых тг и тг.
Теорема 2.Для тогочтобы данному я(и = О, 1,2,... или оо) и данной функции В (ты тг) соответствовала хотя бы одна функ- ция $ (1) класса я. се~ = а, В» (ти тг) = В (ты тг), необходимо и достаточно, чтобы В (тг, тг) было представимо в виде Ю В(тг т.) = ~ (е"е — 1)(е ™» — 1)дР(Л,)-~-Отгтг (2) где интеграл понимается в смысле »о — е +»» ) =1пп ) +11ш ~, еоее 6 — произвольн я конслганта, а функция интервала Р (Лг) удовлетворяет следующим условиям: А) она определена для всех д»г, длл которых нуль не принадлежит к числу внутренних и концевых точек, аддитивна и непрерывна справа относительно концов Лг' В) Р(Лг))О; С) интегралы — 1 1 »» ~ ЫР(Ь,), <~УМР(Л,), ~ йР(Ь,,) конечны.
Т е о р е м а 3. Функция В (тд, тг), представимая ввиде (2) с соблюдением условий А), В), С), может быть представлена таким образом единственным способом. 272 бэ. вврнвяе в еи-ььбертовоя нроетренетее Р 3(1) = ~ (е* — 1) Нз(Д„)+и1+о, (3) где и и о — элементы Н, а Ф (Дь) — функция интервала Дч со значениями иг Н, обладающая следующими свойств ми: 1'. Ф (Дь) определена для всех интервалов Дю для которых нуль не принадлежит к числу концевых или внутренних точек, аддитивна и непрерывна справа относительно концов дю 2'.
Если дь и Де не пересекаются, то (Ф (Д ), Ф (Дь)) = О. 3'. Интегралы — 1 1 в ~ дР(Дн), ~Х~ИР(Д,), ~ЫР(Д,), ов -1 1 где Р (Дь) = !! Ф (Дь) Г, (4) конечны. При этом интегралы $ понимаются в смысле, указанном в тео- реме 2, и Р(Д„) =Р,(Д,), )) и(~ =О,, где Р1 (дь) и 01 имеют ранее определенный смысл. Функцию Ф (Дь) и элементы и и о пространства Н, соответствую- щую по теореме 4 функции $ (е) класса й, будем обоаначать Ф1 (Дь), иг, Т е о р е м а 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
