Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Единственность ограниченного решения доказывается следующим образом. Допустим, что существуют две ограниченные функции т)т (х, т) и га (х, т), принимающие одинаковые значения при т = О. Тогда они удовлетворяют уравнению во(х, о) — т)т(х, о)= 1 (т — т)о е о(( ч) = = ~ ([т[ ~ [г ($, т[, ~,) — г" ($, т), щ) ) (Ц. (43) ° -о в Положим М (() = зпР [ т)о (х, т[) — щ (х, т[) [. тьч Тогда иэ (43) при помощи (36) получим йу«) <й~м(ц)[ц, о что невозможно.
П р и и е ч а н и е. Для областей, ограниченных слева и справа некоторыми линиями х = (рт (() и х = ([), ((), а сверху и снизу — некоторыми прямыми ( = $о и ( = от ) ео, в цитированном уже мемуаре Жеврея [61 доказаны существование и единственность ограниченной функции, удовлетворяющей внутри этой области уравнению (35) и принимающей на линиях х = (рт (8), х = (ро (о) и е = 1о заданные непрерывные и ограниченные значения. Аналогично можно было бы доказать существование и единственность ограниченной функции, удовлетворяющей уравнению (35) внутри области (", ограниченной 88.
Исследование уравнения диффузии только с одной стороны линией х = зу (С), а сверху и снизу пряными С = Св и С = Ст ~ Св и принимающей заданные ограниченные и непрерывные значения на линии х = ту (С) и на прямой С = С,. Т е о р е м а 2. При замене функции Р (х, С, и) новой функцией Рт (х, С, и), для которой всегда Рт(х, С, и)~)Р(х, С,и), функция и (х, С) не уменьшается, если начальные условия не зменились.
3 а м е ч а н и е. Если уравнение (35) интерпретировать как уравнение распространения тепла, то функция Р (х, С, и) характериаует интенсивность зарождения' теплоты, и физически теорема 2 делается очевидной. Дока а а тель ство. Пусть функции и(х, С) и ит(х, С) удовлетворяют соответственно уравнению (35) и уравнению дат дзе, дт де Вычитая почленно, получим, что функция ти (х, С) = ит (х, С) — и (х, С) удовлетворяет уравнению д)е де)е — — — = Рт(х, С, ит) — Р(х1 Сз и).
дт дхз Положим и) (х, Х) = ш (х, С) е тт, где Сс — то же, что в неравенстве (36). Тогда — — — =Сои+с [Р (х С. и) — Р(х С и)[. дн дззд — ез дт дхз Отсюда (х-1)з с е ш(х, С)== т е[т) 1 в — (Ссш+еуч[Р)(Ь т[, ит)— и-з)' е а 1 е вк — ч) — Р Я, т[, и)) ) СС$ = = ~ т[т) ~ — (нш + 2 рек ттс Ч + еуч [Р)Я, т[, ит) — Р($, т[, ит) + Р(еь т[ ит)— (х-1)з ! ее 1 е — Р ($, т[, и)) е$ )= ~ Ит[ ~ (н)с+ 2у'я у с — т) 2ЗЗ дд. Исследование уравнения диуССдувии + еув(Ря, с), ссс) — Гя, т~, у))) сс$.=- Сх — сСв с 00 $ с =~ Нс) ~ =()сЮ вЂ” )с)ю~) с($. 2 у'я у'с — сс (44) Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно О, если и ~ ) О и равно — 2)ов, если ю <. О. Обозначим через — т (д) нижнюю границу значений св Я, д) — ) й ($, т)) ) при т) ( с.
Для доказательства нашей теоремы, очевидно, достаточно показать, что т (г) = О. А для етого заметим, что из неравенства (44) следует, что с й(х, 1) ~ )— )с ~т(д)с(с) о и потому т(г) нй~т(Ч)(Ч, о что возможно только при т (г) = О, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 3. При увеличении ) (х) величина и (х, с) не уменьшается.
Физически содержание атой теоремы так же ясно, как и содержание предыдущей, если уравнение (35) интерпретировать как уравнение распространения теплоты в стержне. Функция 1 (х) представляет начальную температуру стержня. Когда зта температура повышается, то и последующая температура также повышается. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Пусть ис.(х, ~) и гх(х, с) удовлетворяют уравнению (35) и при г = О обращаются соответственно в ~с (х) и со (х), Ь (х) ) гс (х). Докажем, что ссх ) иь Функция се = и, — ус удовлетворяет уравнению дос дсис — — — = Р(х, Г, ссс) — Р (х, Г, ис).
дС дхс В силу условия (36) Р (х, Й, уо) — Р (х, Е, ссс) )~ — сс ! ис доа дсоа — — — = — й ( сса (. дС дхо- Ограниченным при ограниченных г решением етого уравнения (единственным по теореме с) является функция е усоха, где уха (х, г) удовлетворяет уравнению (37) при начальном условии гха (х, О) = Значит, по теореме 2 функция ис (х, д) не меньше функции их (х, с), которая при д = О обращается в г; (х) — )с (х), а при ~ ) О удовлетворяет уравнению Лв.
Исследование уривнвнил Виффувии гзт = /о (х) — /т (х) (очевидно, она неотрицательна). Следовательно, ю=из — ут)0, что и требовалось доказать. Теорема4, Есливсюду[(х)'= Оир(х, Г,О) = О, тои е (х, с) .=- О. Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 3 при уменьшении / (х) функция и (х, т) не увеличивается. При / (х) = — 0 имеем и (х, т) = — О. Следовательно, при /(х) ~ )0 будет и (х, т) ~ )О, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 5. Если, кроме условия теоремы 4, выполняется еще условие, что / (х) ) 0 на некотором интервале положительной длины, то при с)0 и (х, 1) ) О. Д о к а з а т е л ь с т в о получается из доказательства теоремы 3, если в нем положить у, = и и уг = 0 и принять во внимание, что и"о (х, т), представляемая интегралом Пуассона, обязательно положительна при т ) О. Т е о р е и а 6. Если Р (х, т, 1) = 0 и / (х) ( 1, то и и (х, 1) ( 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 3 при увеличении /(х) функция и (х, т) не уменьшается. При / (х) = 1 функция и (х, т) = — 1. Отсюда следует доказываемая теорема. Т е о р е м а 7. Если функция и (х, в) при с = 0 принимает значения монотонно возрастпающей дифференцируемой функции /(х) и при 1) 0 удовлетворяет уравнению до дти в =р(д у)т (45) то и (х, т) есть неубывающая функция от х при любом Г ) О. Доказательство. По теореме 1 тх-Нв +св и(х, г)=ио(х т)+=~ с[т) ~ ' ' И$, (46) г г р(ч, о(т„ч))в во-ю 21/п т/т — ч о где уо (х, 1) при т) 0 удовлетворяет уравнению (47) и обращается в /(х) при т = О. Если /(х) дифференцируема, то дио (х, т)/дх приближается к /' (х), когда точка (х, т) приближается к (х, 0) (см.
[6, с. 330 — 331)). С другой стороны, частная производная по х от второго слагаемого правой части (46) по абсолютной величине не превосходит (4/~си) Мг/*, если ~ Р ) ( М (см. [6, с. 344)). Следовательно, ди (х, т)/дх приближается к /' (х), когда т - О.
Если предположить еще, что функция и (х, т) имеет производные дттт/дтдх 88. Исследование уравнения диффувии и део/дхэ, что имеет место, если Р (8, о) трижды дифференцируема по о, то функция ю (х, 4) = до (х, 4)/дх удовлетворяет уравнению до дею др — — — = — ю д( дхе до Тогда, применяя теорему 4, мы найдем, что ю (х, () )~ О, что н требовалось доказать. Теорема 8. Если /(е) (х), /(в) (х) так, что при этом +со ~ ) /(е> /(е> ) с)х ~ О, то при всяком 4 ) О функция о(е> (х, 8), удовлетворяющая при 4) О уравнению (35) и обращающаяся в /(е>(х) при (= О, приближается к функции о(о) (х, 4), также удовлетворяющей уравнению (35) при 4 ) ) О и обращающейся в /(е> (х) при $ = О.
доказательство. Будем находить о(е>(х,() и о(в>(х,С) методом последовательных приближений, как зто делалось при доказательстве теоремы 1. Функции (4'> и о(в'> даются соответственно формулами (н-й>в о(ю(х, ()= ( ( /(е)(еи) ' 4 лез, 2(/я д фу (х-4>е со о(Ю (х () ( ~ /(е> (ун) ()он 2 )/я д )/7 Отсюда сразу видно, что при 8 ) О о~(') (х, Ц о(о') (х, 4). е о Величина Р(4'> (х, 4) — 6(о> (х, 8) (обозначення те же, что и в доказательстве теоремы й) дается формулой (х-с)4 4 +в 4(( — Ч) — -„~йЧ ~ ',— (р(Ь Ч ~к) — р(Ь Ч к')) 6 о Отсюда й, (х, 4) = > э,") (х, 4) — Р( ' (х, () ~ ( (л-Н* 4 .).оо 4(4 — 1З < - ~й)) ~ — )ов (Ь )>) щ 6 Ч)ИВ. о 239 дд.
Исследование уравнения диу>>дувии Положим (х-З>в вв и 1 е во и> и, (х~ с) = — ~ > /<е> (у) /~е> (ьи) ( 2 у'у~ )/7 Очевидно, оо (х с) ~) ! оое (х, й) — оР> (х т) ) и потому (х-я>в Е +ее е еи "> о>(х, т)( — ~л ~ ~е 2уя 2 ус е =/е ~оо (х г)сК>) = Мое (х, й).
е Последнее равенство вытекает из того, что оеи (х, 1) удовлетворяет уравнению (47). Таким образом, ' о> (х в) ~( /своев (х в) Совершенно так же мы найдем, что ое (х, в)=)о;и (х, д) — о1Ю(х, 1)(~( —.о (х, г). Отсюда следует, что, выбирая з достаточно малым, мы можем сделать величину ~ о,": (х, в), а следовательно и 1 Ив> (х, г)— >=о — ою> (х, ~) 1, как угодно малой, что и требовалось доказать. Т е о р е и а 9. Функция о (х, е), которая при е ) 0 удовлетворяет уравнению (45), при т = 0 и х ( 0 обращается в О, а при в = 0 и х ) 0' обращается в 1, есть неубывающая функция от х при любом в ) О, причем до(х, д)/дх) 0 при в >О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Согласно последней лемме функцию о(х, в) можно рассматривать как предел при е -+ 0 функции еле> (х, в), которая на оси х при ! х ) ~ е принимает такие же значения, как и о (х, 2), и на всей оси х непрерывна вместе со своей производной по х и монотонна. Но относительно функции Фе> (х, в) только что было доказано (теорема 7), что при т ) 0 она монотонно возрастает вместе с х. Значит, то же справедливо и для о (х, в). Докажем еще,что при г ) 0 величина до (х, д)/дх ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
