Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Используя два взаимных клеточных разбиения, наконец, доказывается теорема двойственности Пуанкаре, т. е. следующие изоморфизмы В„"(В, О) = В,"-" (В, О), (1) (2) Ви (В~ У) Вс (Вс У)' Можно также заметить, что согласно теореме взаимности из (Б11) группы (1) и (2) являются взаимными. 20 апреля 1936 г. 214 дб. Относительные цикла. Теорема двойственности Александера ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ.
ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА а 1. Пусть'  — локально бикомпактное пространство, Π— замкнутое множество в В. Мы скажем, что комплекс гр" (Е„..., Е„), и-комплекс в смысле (В1), лежит на В, если для любых Е„..., Е имеем соотношение ср" (Е,..., Е„) = вр" (Еф,..., Е„()). Комплекс называется следуя Лефшецу з, относительным циклом по отношению к () или проще циклом шой (), если его границе лежит на ч.
Пусть ь"" есть цикл шой (). Мы скажем, что ~' есть граница шой 1,) или что Ье гомологичен нулю шой у, если существует комплекс ц'" такой, что у ц"" — ~" лежит на в'. Циклы-границы шой () образуют подгруппу Го группы Яо всех г-мерных циклов, шой (). Группа В„"(В,®В) =20 — Г," есть и-группа Бетти шой ч пространства В. Аннулятором группы Го в группе Р" является группа 20 всех г-мерных О-циклов, равных нулю на () (в том смысле, что г" (р„... ..., р„) = О, если все точки р! принадлежат (~). Аннулятором Яо в Р" является группа По всех О-циклов-границ, равных нулю на г). Следуя рассуждениям, аналогичным имеющимся в (ВП), можно заметить, что группы Яо — Во = В," (В, !',), Х) и В,", (В, гв, В) являются взаимными. 2.
Т е о р е ма. Группы В," (В, (), У) и В' ( — 1,), Х) изоморсбны; изоморувны также группы В„'(В, (), О) и В' ( — в), 8). Второй из этих изоморфиамов немедленно следует из первого. Последний может быть доказан с помощью следующей леммы. Л е м м а. Произвольный О-цикл, нулевой на (с), гомологичен циклу, отличному от нуля лишь на множестве, бикомпактном в  — (е. 3. Предыдущие рассуждения могут быть применены для доказательства следующих теорем. в Сус1зз гэ1а!!Уь Т)геогешв бе бпа1!!е бе М. А)ахапбег.— С. г. Асад. зс!.
Раг!з, 1936, го). 202, р. 1641 — 1643. Предстазлоио Г. )Кюлиа. Перевод М. Б. Вававадве. з Эта заметка опирается иа мои заметки (см. $32 — 34 наст. изд.), оии будут обозначаться (В1), (ВП) и (В111). з С. Лэфшец дал это определение, разумеется, для относительных циклов з обычном смысле Вьеториса. Ок также исследовал для этого случзяпоиятия относительных гомологий и групп Бетти (смл бе1всаеи Я. Торо1обу. 11ем Уог)с, 1930).
215 Юб. Об открыт х отображениях П е р в а я т е о р ем а д в ой с те е ни о от и. Пустьв— локально бикомпактное пространство, группы Во (В, г') и Во ~ (В, У) которого нулевые. Какое бы ни было множество (е ~ В, замкнутое е В, группы В," ' (ч, г') и Во ( — ч, г) изоморфны. Вторая теорема двойственности. Пустьв— локально бикомпактное пространство, группы В,", (В, О) и В,", ' (В, О) «второ.о нулевые. Какое бы ни было множество (г С В, замкнутое е В, группы В„м (1е, О) и Вог ( — (е, О) изоморфны. Пусть теперь В = В" — евклидова пространство размерности и.
В случае 1 ( г( и условия теорем двойственности выполнены. Следовательно, в атом случае по формулам (1) и (2) из (ВП1) получается, что изоморфные группы Во ' (О, У) = Во (В" — 0 У) = Во " ('1" — О, У) взаимны с группами В".-' (О, Е) = В"„(Во — О, О) = В,"-" (В" — О, Е). В частности, имеем, что В„~ ((), О) и В (В" — (е, У) взаимны, что в точности есть теорема двойственности Александера в той общей форме, которую недавно ей придал Понтрягин. 4 мая 1936 г.
ОБ ОТКРЫТЫХ ОТОБРА)КЕНИЯХ* В предлагаемой работе будет дан пример открытого отображения ' одномерного континуума на двумерный. 1. Прежде всего сделаем замечание о топологическом предельном переходе в смысле Александрова — Фрейденталя (см. [1, 2)). Пусть Хм Хж..., Х„,... (1) — последовательность топологических пространств, и для каждого и задано непрерывное отображение еу„из Х„в Хом (и = 2, 3,...).
Тогда точками предельного пространства Х служат по определению последовательности х = (х„х„..., х„,,), (2) где х„е= Х„и хк г = <р„(х„). Для каждой точки вида (2) из Х и-я «координата» х„обозначается через Ф„(х), так что Ф„отобра- * БоЬег ойепе АЬЬ11йшуоп.— Апп. Ма»Ь., 1937, го1. 38, р. 36 — 38. Перевод В. В. Уеяеяекоео. г Непрерывное отображение пространства Х в пространство У нагмвагтсн открытым, если образ каждого открытого в Х множества открыт в У. 216 Зб. Об открытых отобракеениах жает Х в Х„.
Введем на Х топологию, объявляя точку х е= Х точкой прикосновения подмножества еее С Х тогда и только тогда, когда для каждого и точка Ф„(х) есть точка прикосновения для Ф„(Лб) в Х„. Пусть теперь наряду с (1) задана еще одна последовательность (3) топологических пространств вместе с отображениями 4(4„из У„ в У„, и предельным пространством У. По аналогии с Ф„мы строим отображения Ч"„из У в У„. Наконец, предположим, что каждое Х„откры4ло отображено на г „; соответствующие отображения обозначим через ~„. Пусть, кроме того, для каждого х е= Х„выполняется равенство фы(„ (х„) = ~„, ~р„ (х„).
(4) Из (4) следует, как легко видеть, что отображение ~ из Х в У, возникающее из отображений ~„: ~ (х) = ) (х„) = Д„(хн)) есть открытое отображение Х на У. Действительно, если 6 С Х открыто в Х и х е— : 6, то существует такое п, что х„= Ф„(х) не является точкой прикосновения для Ф„(Х вЂ” 6). Поскольку отобрвкение ~„: Х„- У„открыто, у„= 1„(х„) не является точкой прикосновения для ~„Ф„(Х вЂ” 6) = Ч"„~ (Х вЂ” 6). Следовательно, точка у = ~ (х), у которой п-я координата есть у„, не является точкой прикосновения для ~(Х вЂ” 6) Э г' — ~(6), откуда вытекает открытость множества ~ (6) и тем самым отображения ~. 2. Мы переходим теперь к построению анонсированного примера.
Пусть Зг Зо — убывающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Мы строим шаг за шагом двумерные евклидовы полиэдры У„(их можно представлять, например, расположенными в Ло), За г" примем квадрат. Предположим, что уже задана триангуляция полнэдра У„„причем диаметр любого треугольника этой триангуляции меньше, чем е„.
В каждом таком треугольнике вырежем квадратную дыру и заклеим ее листом Мебиуса. При этом листы Мббиуса должны быть реализованы как триангулированные поверхности. Отображение 4р„ заключается в том, что каждой точке из У„, которая в то же время является точкой из У„ „ сопоставляется эта же самая точка, а каждый добавленный лист Мебиуса непрерывно отображается на внутренность соответствующей дыры так, что точки края остаются неподвижными.
Предельное пространство У, возникающее в результате такого построения, есть не что иное, как иавестная понтрягинская поверхность, и является, следовательно, 217 бб. Об етпрптмх отображениях двумерным континуумом (в смысле брауэровского определения размерности) [3). 3.
Прежде чем перейти к построению одномерного континуума Х и его открытого отображения на У, сделаем краткое предварительное замечание. Оно относится к следующему факту: Тор (имеется в виду поверхность) можно открыто отобразить на лист Мебиуса таким образом, чтобы некоторая простая замкнутая кривая, не ограничивающая на торе (например, экватор), отобразсалась бы на край листа. В самом деле, пусть и и о — географические координаты, — я ~( и ( + я, — я ~( о ~ + я. Отождествляя точку (и, о) с точкой (и + о, — о), получим искомое отображение поверхности тора на лист Мебиуса (кривая о = О переходит в край листа).
Очевидно, что отображение с указанными свойствами можно также определить как симплициальное отображение. Теперь эа Х, примем снова квадрат, а за отображение 1 из Х, в У, — тождественное отображение. Предположим, что триангулированная поверхность Хп, и открытое симплициальное отображение 1, г: Х„г-~- Уп, уже построены. Каждая дыра, которая была вырезана из некоторого треугольника в У„ г (для перехода к У„), служит образом при отображении 7„ г одной или нескольких дыр в Хп,. Вырежем все эти дыры, и к краю каждой из них приклеим триангулированную поверхность тора вдоль экватора. Тем самым Хп,переходит в Хп. Каждый тор открыто и симплициально отобразим на тот лист Мебиуса, которым заклеивалась соответствующая дыра в У„,.
Возникающее открытое симплициальное отображение Хп на У„обозначим через 7„. Далее, определим отображение ~р„из Х„на Х„д так, чтобы имело место равенство 1п-1%п (Хп) = ~у [и (Хп) ! очевидно, это возможно. Поскольку отображения 7'„по построению открыты и удовлетворяют условиям (4), они определяют открытое отображение Х на У. Наконец, нетрудно убедиться (проще всего, пожалуй, применить теорему Александрова об е-отображениях), что Х одномерно. Отметим к тому же, что У можно топологически вложить в четырехмерное евклидова пространство, а Х (как всякую кривую) — в трехмерное. Болшево — Комарсвка, близ Москвы ЛИТЕРАТУРА 1. А!ехапйге11 Р. Баг 1ез вш1ез йез езрасез соро1оя!9ие .— С.
г. Асай. зс!. Раг1з, 1935, ео1. 200, р. 1708 — 1711. 2. Ргеийетаа! !9. 17!е В -ай!зсЬе ЕвсчйсЬ!иву зов Каишев авй Сгиррев.— Ргос. Ашз!егйаш Асай., 1935, чо1. 38, р. 414 — 417. 3. Репгг!аб!и ь. Бит иае ЬуросЬбзв 1оайашеаса1е йе 1а 1Ьеог!е йе 1а й!шепз1ов.— С. г. Асай. зс!. Раг1з, 1930, чо1. 190, р. 1105 — 1107. 218 37. Кососилметричные веничины и топовосичесние инварианты КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ* Задачей автора является построение своеобразного разностного исчисления, с одной стороны могущего в результате предельного перехода привести к дифференциальным операциям над кососимметричными тензорами (поливекторами), с другой же стороны стоящего в тесных взаимоотношениях с понятиями комбинаторной топологии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
