Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 39
Текст из файла (страница 39)
3. Случай замкнутых покрытий может быть разрешен также с помощью нижеследующей простой конструкции. Для нашей цели, очевидно, достаточно доказать следующую теорему. Т е о р е м а. Компакт Р, имеющий замкнутое мультипликатиеное з-покрытие Ь длины [с, имеет также замкнутое е-покрытие порядка ()ч. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть А„..., А, — злементы покрытия ср. Под рангом элемента Ал из Ь будем понимать длину той подсистемы срл покрытия [й, которая состоит из элементов, содержащихся в ' Ат Элементы ранга г покрытия Ь обозначим через Ам, 1 = 1, ..., з„. Два различных элемента ранга г имеют в качестве пересечения элемент ранга (г. Мы положим теперь В, = У(Ам, с[„) е См.
[3, с. [9Ц или [С с. 366 — 368[. в Ан также является элементом Жт 206 31. Конечные покрытия топояоеинеских пространств где а', ) О определяются последовательно для г = 1,..., Х так, как зто описано далее. Число а» выбирается столь малым, что В»; попарно не пересекаются. Если д„, г' ( г, уже определены, то а„ выбираем столь малым, что для любых А„;, Апь для которых Ат () () А„; = А„», выполняются включения В„; () В„; ~ В„». Пусть, накойец, с„с=в„,, О в„»свм, '() в,.
е <е е Че При 1чь у имеем Ст ДС„,=О, ибо если А„; () А„,=А,», то Ст Г) С1СВс() В„'~в;»С:.Ве»'~в;»=Я Таким образом, если точка принадлежит нескольким среди мно- жеств С, то все зти множества имеют различные индексы г. Но г— это ранги элементов покрытия 1б и поэтому могут принимать лишь )ь различных значений, так.
что точка из г" может принадлежать не более чем )с различным множествам С, т. е. порядок покрытия, обра- зованного этими множествами, не превосходит Х. 4. Наша теорема может быть шптаМв шпьапб1з перенесена на случай проиавольного нормального пространства Я (без предполо- жений о его компактности и метризуемости). А именно справедливо следующее: Пусть Ю = (С„..., С ) — конечное открытое покрытие и 1В = (А„..., А,) — конечное замкнутое покрытие нормального пространства В, причем б вписано в Я (т.
е. каждый А ~ содержится по меньшей мере в одном бь). Тогда существует вписанное в Ю зам- кнутое покрытие Ж = (С„..., Сч), порядок которого не превос- ходит длины покрытия 1В. Доказательство остается темже, что и вп. 3. Только вместо П (А„и с(„) надлежит рассмотреть такие открытые множества Пт Э А„с, которые удовлетворяют условиям, высказанным в п. 3 относительно П (А„и а„); в частности если А„с С бь, то и ь7„~ Сего Болшево — Копировка, 1935 г.
ЛИТЕРАТУРА 1. А1ехапй о!7 Р., Нору Н. Торо1о81в. Вег1ш., 1935. ВА. 1. 2. А1ехапйгов Р. 3. 17п1егвпсЬппзвп 0Ьвг Бегов!т ппб Ьвуе аЬзевсЫоввепег Мепзвп Ье11вЫуег В1шепвшп.— Апп. Мв»Ь., 1928 — 1929, чо1. 30, р. 101— 187. Рус. перл Исследования о форме к расположении вамккутых множеств произвольной размерности.— В ккл Аяексанерое Н. С.
Общая теория гомологкй. Мл Наука, 1979, с. 68 — 176. 3. Кигагоиирн К. Зпг пп »Ьеогвтпв 1опйвшвп»в! сопсегпвп» 1в пег! 6'пп вувтеше 6'епввшЫвв.— Рппй. шв»Ь., 1933, чо1. 20, р. 191 — 196. 33. Грунин Бетти локально бикомпактннх праетранете 207 ГРУППЫ БЕТТИ ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ * Пусть ' à — дискретная абелева группа и Π— бикомпактная абелева группа '. Пусть, далее,  — хаусдорфово локально бикомпактное пространство; я предполагаю дать здесь для каждого неотрицательного целого числа г определение двух групп Бетти В', (В, Г) и В" (В, 0), которые называют соответственно 0-групной и и-группой пространства В относительно г (числа измерений) и области коэффициентов Г и 0 соответственно.
Б случае, когда В является компактом (метрическим компактным пространством), и-группы изоморфны группам Бетти относительно О в смысле Вьеториса; 0-группы изоморфны в этом случае группам, определенным в 1935 г. Александером а. 1. Определение групп В„" (В, 0). Назовем комплексом (точнее, г-мерным и-комплексом) каждую функцию ер' (е„,... ..., е„), удовлетворяющую следующим условиям: а) гр"(е„ ..., 6„) однозначна и определена для всевозможных систем г + 1 подмножеств е„ ..., е, пространства В, бикомпактных в В; р) значения функции !р" (е„..., е„) суть элементы группы О; у) гр" является кососимметричной относительно всех своих аргументов; 6) гр" аддитивна по всем аргументам, т. е. !р" (ее ° ° е!' + е!, ° ° е~) = гр" (зе ° е( ° °, ее) + гр" (ео ° ° ° е11 .з е) е) !р"(е„..., е„) равно нулевому элементу группы О, если замыкания ео,..., с„множеств ео,..., е„не содержат общей точки.
Комплексы гр' образуют абелеву группу Ф" относительно слон!ения. Эта группа допускает гомоморфное отображение в группу Ф ', осуществляемое оператором д следующим образом. Если В бикомпактно, то мы определяем уи формулой уи!р" — = гр" ' (ее~ .1 г~-г) = Ч" (В~ зе1 °, ег-л) к Соа бгопрок бо Веп1 доа карасев !оса!стоп! Ысощрасга.— С. г. Асаб.
ас1, Раг!и, 1936, то1. 202, р. 1144 — 1147. Представлено Г. Жюлиа. Перепел М. Б. Балаеадее. к Обо асек понятиях общей топологии сил А!ехапегеВ Р., Нор1 Б. Торо1об!о. Вот!!и., 1935. Вб. 1. Понятие локально биионпактного пространства принадлежит П. С. Алоисандрову (снл Ма!Ь. Апп., 1924, Вд. 92, 8. 294). е Сил Катреи Б. Б.
иап.— Апп. Маг1г., 1935, то1. 36, р. 448 — 463. ь Снл А!ехапегег У. Вг.— Ргос. !Чан Асаб. 8с!. С8А, 1935, то1. 21, р. 511— 512. 208 32. Группы Бетти попал»но бипомпвптпмг пр«стрппст« Если В не бикомпактно, то мы заменяем в предыдущей формуле В на некоторое открытое множество С ~ г, +... + е„„бикомпактное в В; из е) следует, что такое определение не зависит от выбора множества б. Комплекс «р' ' = д„«р' называется границей «р".
Комплексы, границы которых равны нулю, называются циклами (г-мерными и-циклами). Каждая граница является циклом, так как йчбч«р" (ео,, е, г) = ~р' (6, 6, г«,, г„») = О. В группе 2" всех г-мерных циклов имеется подгруппа Г" всех циклов, гомологичных нулю (т е. таких циклов, для которых существует «рпы с условием у„ц"" = ц").
Группа вычетов ' 2"— — Г" есть по определению группа Бетти В„" (В, О). Определим в Ф' окрестности; мы это сделаем так, что Ф" окажется бикомпактной; таким образом, группы 2', Г" и В„" (В, О) также будут бикомпактными г. Окрестности каждого элемента «р" группы Ф" будут соответствовать некоторым конечным системам подмножеств пространства В, бикомпактных в В, следующим образом. Пусть М„..., ̄— система, о которой идет речь.
Каждой системе г + 1 индексов) 1«,..., »„, ни один из которых не превосходит и, поставим в соответствие какую-либо окрестность Г„«элемента <р" (М;„..., Мц) группы О. Окрестность комплекса ц' по определению будет состоять из всех комплексов «р" таких, что для произвольно выбранных г„..., г, среди чисел 1, 2,..., и, элемент »р" (М;„..., Мц) группы О принадлежит Уь,; . 2. Определение групп В," (В, У).
Рассмотрим систему В" всех функций ~" (р„..., р„), удовлетворяющих следующим условиям: а) 1"(р„ ..., Р„) однозначна и определена для всех систем г + 1 точек р„ ° , р„ пространства В; Ь) значения 1" суть элементы группы У; с) ~" кососимметрична по всем своим аргументам; Й) для каждой функции T существует конечная система Я „ попарно не пересекающихся бикомпактных в В подмножеств таких, что 7" (Ро Р.) = T (ро, р,'), если для любого 1 две точки р~ и р,' принадлежат одному и тому же элементу системы Я „; I (2'. ~" (р„..., р„) = О, если среди аргументов р„..., р„хотя бы один не принадлежит ни одному элементу системы Я „.) Две функции»' », и Д называются гквивалентными, если для каждой точки р пространства В существует окрестность У (р) такая, что»» (Ро ° ° Р») = »е (Ро ° ° ° р„), если все точки р; принадлежат «Ныне употребляется термин «фактор-группам — Примеч, пер.
» См. упомянутый выше мемуар ван Кампена. 33. Свойства групп Бетти локальна Викомнактних иространств 209 0 (р). Мы обозначим через 1" и назовем О-комллексом размерности г классы эквивалентных между собой функций 1'. Комплексы образуют группу Р", которая есть не что иное, как группа вычетов Р'= = У" — 0". Мы определим теперь как О-границу функции 1" функцию т+1 уо1 =— 1"+~(ро~ ° ° ° 1реьг)= Х ( 1) 1 (Ро1 ° ° Ре-г Роы, ° °,Реьг) Границы двух эквивалентных функций являются эквивалентными, поэтому граница уо1" комплекса 1" определяется как комплекс границ функций, принадлежащих 1".
Комплекс 1" называется циклом (О-циклом размерности г), если его граница равна нулю (т. е. равна комплексу 0"", содержащему нулевую функцию бе"). Комплексы, являющиесб границами (гвмологичные нулю), образуют подгруппу Н' группы Я" всех г-мерных циклов (поскольку у уо1" = = 0"'в). Группа вычетов Я" — Н" есть по определению группа Бетти В", (Н, .е'). 16 марта 1936 г. СВОЙСТВА ГРУПП БКТТИ ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ * 1. О- и и-группы произвольного локально бикомпактного пространства В находятся в следующем соотношении'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
