Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теперь рассмотрим в связи с моей заметкой «Группы Бетти локально бикомпактных пространств» (см. № 32 наст. изд.) локально бикомпактное пространство Е и систему В всех симплексов всевозможных размерностей с вершинами из В. Каждая определенная на Е функция ~" (р„р„..., р„) (в смысле цитированной заметки) соответствует вполне определенному алгебраическому комплексу 202 30. Кольцо вомоловий комплексов ~" (л") системы Л. При этом для двух функций 1", 1' определены произведения ~'1' = Г""" и [1",1'] = Гоев.
Легко убедиться, что эквивалентным функциям соответствуют эквивалентные произведения. Ясно, что определены первое и второе произведения алгебраических комплексов также в смысле цитированной выше заметки. Формулы (2) — (4), (6) — (11) нз 9 1 остаются в силе. Утверждения 9 1 переносятся без изменения на соответствующие группы Бетти Ве (Е) и это дает кольцо 0-гомологий пространства Е (см. [4]). 13 СЛУЧАЙ ДВУСТОРОННИХ МНОГООБРАЗЛЙ Мы возвратимся к обозначениям $1 и предположим что комплекс Л является двусторонним многообразием размерности п.
В атом случае группа Бетти В," (Л) при любом г ( и изоморфно отобразится на группу Во " (Л) вполне определенным способом, описанным в работе, цитированной выше (см. [1]). При этом в качестве коэффициентов также могут быть взяты рациональные числа. Мы обозначим через $„" х Ч„' = ~""" пзрэсэчзниз, элементов 9,", и Ч' групп Вс (Л) и В„(Л). Второе умножение элементов 9, и т)в групп В, (Л) и В,' (Л) определяется с помощью пересечений соответствующих элементов $"„" и т)"„' групп В„' " (Л) и В"„' (Л) таким образом, что ~о ' = [$,", Чо] есть элемент, соответствУющий элементУ (1 + В)! вк-с о — в Х т! Болшево — К«марокка, блна Москвы, 20 апреля 1936 г.
ПРИМЕЧАНИЯ 1. Содержание доклада, прочитанного автором на Московской конференции по топологии, лишь частично отражено в дальнейшем: не представленная здесь часть доклада была опубликована ранее (см. № 29 наст. изд.). Результаты 1 2 настоящей статьи были изложены в докладе только для компактов; обобщение на произвольные локально бикомпактные пространства были получены поаже (1936). 2. Смл А!вкалвгвг л. И'. О«!Ье г!п8 о1 а сошрас! ше!г!с ерасе.— Ргос.
Р)ам Асаб. 8с1. 08А, 1935, чо!. 21, р. 511 — 512. В атой работе Александер ошибочно допускает, что произведение двух 0-циклов может быть отлично от нуля. 3. Смл Кор) Н.— 1. геше «ш1 а«8ем. Ма!)ь., 1930, Вд. 163, 8. 23 — 88, особенно 1 1. 4. Первое умножение функции (Я' = !вовы) было определено Александером в цитированной (см.
(2)) работе для произвольных метрических пространств. На Московской топологической конференции (сентябрь, 1935) я уакал, что Александер нашел также второе умножение. 203 И. Конечные покрытии топологинескис пространств КОНЕЧНЫЕ ПОКРЫТИЯ ТОПОДОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ и Соемеслгно с 7). С. Алексаидрюеым 1.
Пусть г' — топологическое пространство. Конечная система (5 замкнутых (соответственно открытых) подмножеств пространства К называется замкнутым (соответственно открытым) мультипликае тивным покрытием "етого пространства, если, во-первых Р= () Ас 7=.-.1 и, во-вторых, каждое непустое пересечение АЬ ()... () А;„ элементов системы (б также является элементом этой системы. Примером замкнутого мультипликативного покрытия служит клеточное (в частности, симплициальное) разбиение конечного полиэдра.
Наибольшее среди всех таких целых )с, для которых существует убывающая последовательность Аь дАЬ л... дА; различных непустых элементов мультипликативного покрытия б, называется длиной этого покрытия. Если дано произвольное конечное покрытие П пространства Р (т. е. такая произвольная конечная система точечных множеств А;, что () А;=г'), то, дополняя это покрытие всевозможными пересечениями его элементов, получим мультипликативное покрытие (б ~ Ю. Далее, очевидно, что длина покрытия (б не превосходит порядка покрытия 0; однако она может оказаться и меньше: если г' — квадрат, Ю вЂ” покрытие этого квадрата, образованное его разбиением на меньшие квадраты '.
и (л— отвечающее П мультипликативное покрытие, то порядок 8 равен четырем, тогда как длина (б — трем. Длина любого симплициального разбиения и-мерного полиздра равна и; порядок же покрытия, образованного основными ' симплексами такого разбиения, может быть сколь угодно велик. Цель настоящей заметки — уточнение соотношения между длиной и порядком покрытий и в особенности доказательство следующего утверждения, которое, по-видимому, само по себе ново даже о Епс(псЬе ПЬегдесйплхеп 1оро1оййесЬег Паите.— репе(.
шагЬ., 1936, чо). 26, р. 267 — 271. (П. 1 и 2 принадлежат П. С. Алепеапдрову, и. 3 л 4— А. Н. Колмогорову.) Перевод О. В. Локуциееского. г Терминология всюду та же, что в (П. с Разбиение осуществляется проведением отрезков, соедлпяющвх пары противоположных сторон квадрата.
е Симплекс комплекса К пааывается свободным, если он является гравию единственного основного, 'спмплекса; симплекс паеыкаетея основным, если оп пе является гранью никакого другого спыплекса. Прп огоы каждый симплекс считается своей (несобственной] гранью. 204 И. Конечные покрытии тонологичесниг пространств для и-мерного куба и является усилением теоремы Лебега — Браувра о мостовых. Т е о р е м а. При достаточно милом е ) О длина каждого замкнутого и каждого открытого мультипликативного е-покрытия и-мсрного компакта Р нв меньше чвм и + 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1б — данное мультипликативное покрытие компакта Р; Р можно рассматривать как ограниченное замкнутое подмножество пространства В". Через Лг обозначим нерв, а через Х вЂ” длину покрытия Я. Л е м м а. При г ~ )Х каждый свободный г-мгрный симплекс нерва )ч' содержит свободную (г — 1)-мерную грань. Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы.
Пусть х" = (а„.: ., а„)— свободный симплекс нерва Лс, являющийся свободной гранью основного симплекса х" =(ао ° ., а„, а„„,..., а„), и > г. Так как г ~) )о и, следовательно, г + 1 ) )о, то существует такое р(г, что Ао()... () .4р —— .Аа() . ().4р() Ары~ где А; — элемент покрытия 1б, отвечающий вершине а; нерва Лг. Тогда х" г=(аа,..., ар,ар„а,...,о„) — искомая грань симплекса х".
Действительно, пусть х' = (аа ° ., ар, ар,о,..., а„,..., а,) — основной симплекс нерва Лг, имеющий х" ' своей гранью. Из определения числа р следует, что х=(ао °,,а,ар„,ар,а,...,а„а„,...,а,) также является симплексом нерва Лс: так как он содержит х" в качестве грани, то х = х", т. е все а„', г -,. Ь о, содержится среди а„О (1 ( и. Следовательно, х' оказывается гранью симплекса х" и, будучи основным симплексом, совпадает с хо, Лемма доказана. Пусть Лг реализован в качестве евклидова комплекса в Л Тогда из леммы следует возможность деформировать Х путем последовательных вдавливаний е свободных симплексов в некоторый полиэдр размерности ()о, причем так, что в процессе деформации каждая точка остается в содержащем ее основном симплексе.
Если 1б есть е-покрытие, а Лг реализован а вблизи 1б, то из доказанного вытекает, что Г может быть посредством е-сдвига отображен в полиэдр размерности (Х. Тем самым наша теорема доказана. е См. (2, с. 150 — 151) или (1, с. 382 — 383). а. См. (1, с. 160 — 161 к га. 9, $3, с. 363 в ааааа). 81. Конечные понрытнл топологнчесннх пространств 205 2. Приведенное выше доказательство верно как для замкнутых, так и для открытых покрытий. В случае открытых покрытий можно поступить еще следующим образом. Пусть снова ю есть е-покрытие и Х вЂ” его нерв, реализованный в качестве евклидова комплекса вблизи ср. С помощью метода К.
Куратовского ' отобразим Р в У. Это отображение мы обозначим через х. Совокупность тех точек, которые отобразятся во внутренность симплекса х" = (а„..., а„), есть А,[-)... [) А„,[)'Ао где и ' означает, что суммирование распространено на все индексы, отличные от О, 1,..., г. Пусть теперь х" = (а„..., а„) есть и-мерный симплекс нерва Ас, причем п ' и )с.
Из равенства .4о [) () 4р=.4о () [) Ар П Ары следует, что Ао() [) Ар'~,Ары пусто. Значит, пусто и Ао [) [) -4 '~0'Ао Поэтому внутренность симплекса (а„..., ар) свободна от точек множества н (Р). Иначе говоря, каждый симплекс х" имеет грань, внутренность которой не содержит точек множества х (Р). А так как и (р) замкнуто, то каждый х" содержит открытое множество, не пересекающееся с к (Р). Так как сказанное верно при любом е, то с[1ш Р ~( Х вЂ” 1, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
