Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 35
Текст из файла (страница 35)
4. Будет доказано, что в случае Рр ,О„(Р„) = +со, п = 1, 2,..., р — 1, Ю„(Г„)=, п=р, р+1, р+2,..., о — р«1 где Х1. — собственные числа, определяемые в п. 4. Прн этом асимов птотически (при фиксированном р) ' Предположения о едкнстаенностн наилучших функций, высказанные а этой работе, не оправдались, см. комментарнй к этой статье.— Примеч. псу. 188 88. О наилучшем нриблихсснна Яункзна оаданного класса В случае Гр наилучшие функции (у„(р„..., (р„при и > р определяются с точностью до линейного преобразования однозначно, ими являются первые и функций С~ „, 1( = 1, 2,..., и.
При р = 1 этот результат согласуется со сказанным выше, так как У„=1, 01„=) 2соея(п — 1)х, и=2,3,... 4. Определение и свойства функций У . Для и = 1, 2,..., р положим (>' „равными многочленам Лежандра степени и — 1, нормированйым условием 1 ~ Г(~,х дх = 1. о Для и = р + >с, )() О, определим Г(р„как таким же образом нормированное решение системы ( 1)гу(оо> [(у = О, (А) (р> (рс1> (Ор-1> Ух=од = Ух=од = = Ух=о,1 = О соответствующее Й-му отличному от нуля собственному числу Л1"> системы (А) (при этом мы, само собой разумеется, считаем, что ХК> упорядочены в порядке их возрастания).
Это определение предполагает, что все отличные от нуля собственные числа задачи (А) положительны и просты, что действительно имеет место '. Из свойств системы (с(, ) (при фиксированном р) мы хотим отметить следующие: 1. Эта система ортонормирована и полна. 2. Производные порядка р Н" и = — (> рн р рх образуют ортогональную (хотя и не нормированную) систему функций 3.
Для каждой р раз дифференцнруемой функции /, для которой 1 ') ([(р>)1 дх (+ ос, о из следует справедливость разложения 1(Р> ~х~~ а„и о См. работу М. Г. Крейна [Ц (паходпзшуюсн тогда з печати.— Примеч. кср.). Я благодарю М. Г. Крейна аа соответствующее письменное сообщение. 23. О наилучшем криблихгекии функций лодочного класса 189 Отметим, что свойствами 1 — 3 система ((г ) опреде яется однозначно с точностью до гамены многочленов Лежандра какими-либо другими р ортвнормированнмми многочленами степени <'р. Наконец, упомянем еще, что при и ( р функции и „тождественно равны нулю, а прн и = р + к, к ) О, и, является тем решением системы ( — 1)РУ1"> — Лу = О, (В) (р-и о Ух=оп = Ух=о, г = ° ° ° = Ух=о, г = ' которое соответствует к-му отличному от нуля собственному числу ЛУ' (собственные числа задач (А) и (В), очевидно, совпадают).
Вместо обычных условий нормировки здесь принимается условие г и „с) х = Л~кг~. о 5. Геометрический смысл доказательства. Сначала сделаем несколько замечаний к общей постановке вопроса. Множество функций гр = сдг + счгро +... + с„гр„при фиксированных функциях образует и-мерное линейное надпространство Ф„ пространства Е всех рассматриваемых функций. Е„Ц) является расстоянием точки г от множества Ф„. Величина Е„(Р) является, таким образом, естественной мерой уклонения множества Р от линейного пространства Ф„. Следовательно, нижнюю грань Р„(Р) величин Е (Р) можно назвать,п-м поперечником множества г". Наши специальные рассмотрения относятся к гильбертову пространству Н всех интегрируемых с квадратом функций.
Множества г"р и г'ор можно понимать как эллиптические цилиндры этого пространства. Геометрически почти очевидно, что в этом случае минимум Р„(Р) величин Е„(Р) достигается, если рассмотреть и-мерное линейное пространство Ф„, натянутое на и наибольших главных осей цилиндра р. Эти главные оси легко находятся с помощью классических приемов вариационного исчисления. В частности, в случае рр направления главных осей совпадают с определенными выше функциями Р„„.
Длины соответствующих полуосей при )с ч, р бесконечны, а при к = р + 1, 1 ) О, равны величинам 1~УЛ1Ю- 1 мая 1935 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Крейн М. Г. Об одном спецвальвом классе дифференциальных операторов.— ДАН СССР, 1935, т. 2, с. 345 — 349. 190 29. О гаконак двоаственности в комбинаторноа топологии 29 О ЗАКОНАХ ДВОЙСТВЕННОСТИ В КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ* 1. Граница г-мерного алгебраического комплекса является (г — 1)-мерным алгебраическим комплексом [2). Одновременно с операцией перехода к границе мы рассмотрим двойственную операцию, которая каждому г-мерному алгебраическому комплексу сопоставляет (г + 1)-мерный.
Полученная при этом теория, двойственная к обычной теории гомологий, дает новое понимание классических теорем двойственности Пуанкаре и Александера. Она верна не только для обычных комплексов, но и для более общих структур, которые мы вместе с А. В. Таккером [3) назовем клеточными пространствами. При атом мы ограничимся рассмотрением только конечных клеточных пространств. Такое пространство является по определению конечной системой элементов (клеток); каждой клетке соответствует целое число — ее размерность; выделены некоторые пары клеток, размерности которых отличаются на 1 и которые будут называться взаимно инцидвнтныгки. Инцидент- ность клеток х" и х" ' размерностей г и г — 1 будет обозначаться х -+х 2. Клеточное пространство В называется ориентирремым [4), если каждой г-мерной клетке х" из В соответствует другая г-мерная клетка этого пространства, обозначаемая — х', при этом: 1) — ( — х') = х"; 2) из х"- х ' следует — х"- — х ', 3) обозначения х"- х ' и х" — — х" ' несовместны.
3. г-мерный алгебраический комплекс есть функция~(ж"), которая каждой клетке х" ориентированного клеточного пространства В ставит в соответствие элемент фиксированной абелевой группы г, называемой областью коэффициентов, причем должно выполняться условие ! ( — х") = — ! (х"). Читатель сам заметит, что эта точка зрения идентична обычному пониманию алгебраического комплекса как линейной формы с клетками в качестве переменных и с коэффициентами из данной области [5].
Однако у нее есть преимущество большей логической простоты, которое является удобным, особенно в случае бесконечных клеточных пространств. Эти преимущества выявляются и в дальнейшем при написании индексов размерности н знаков функции; таким образом, г-мерный алгебраический комплекс (на данном ориентируемом клеточном пространстве) можно обозначить /" (х"). Совокупность г-мерных алгебраических комплексов над данной областью коэффициентов образует абелеву группу, которую мы обозначим Р" (В, У). е ПеЬег дде Впа1!!ал !га Ап1Ьап дог ЬогпЬ!па!сг!асЬеп Торо1о9!е.— Ыат.
сб., 1936, т. 1, с. 97 — 102. Перевод О. В. Локуциевекого. См. (1). 20. 0 коконах двойственности е кохбннаторной тонок«сии е91 4. Определим теперь для произвольной ~' = 1" (х"): а Г=1" '(л" ')= Х 7" (")' х х' у (г ееес (веет) ~~~~~ ее (хе). хе«« х сумма в обоих случаях распространяется ва те г-мерные клетки, которые инцидентны х' г пли х""1. ясно, что дн(" является не чем иныв, как границей алгебраического комплекса в обычном понимании этих слов (6]. 5. Для дальнейшего построения теории введем следующие аксиомы: АШ. Для всех г и всех ~": анонсе" = О. АОе.
Для всех г и всех /": Ыо~" = О. Зквивалентность этих двух аксиом можно проверить простым подсчетом. Верно даже большее: если одна из этих аксиом выполняется для целочисленной области коэффициентов, то обе аксиомы верны для любой области коэффициентов. 6. Дадим обычные определения: если у4" = О, то ~" называется и-циклом; если йо~' = О, то ~' называется О-циклом.
Совокупность г-мерных и-циклов, соответственно О-циклов, образует подгруппу 2„" (Н, Х), соответственно 7, (В,.Х), группы Р' (В, У). Мы говорим, что ~г и Д и-гомологичнм или О-гомологичны между собой, если существуют 1'+' или ~" г такив, что д„~"+« = /с — ~«или бо~" ' = = Д вЂ” ~о". Гомологичность будет обозначаться Д вЂ” Д„соответственно /," о /о". Когда Г"" гомологичен О, мы говоРим, что ~' «огРаничивает», точнее «и-ограничиваето, соответственно «О-ограничиваете.
Из АШ или АОе следует, что каждый и-ограничивающий комплекс является и-циклом, а каждый О-ограничивающий комплекс— О-циклом. Ограничивающие циклы назовем также границами (и-граница, О-граница). 7. В группах Лес =- Я~с (В, .е') или Ео = 2« (Л, Х) г-мерных и-циклов, соответственно О-циклов, содержатся подгруппы Н", соответственно Н; границ. Фактор-группы В" = 7.,", — Н„"и Во = ло"— — Н, "суть по определению г-мерные группы Бетти данного клеточного пространства по области коэффициентов Х; точнее, В„" есть и-группа Бетти, а Во — О-группа Бетти; и-группы являются, конечно, теми самыми группами, которые до сих пор обычно понимались под группами Бетти в комбинаторной топологии. Когда есть необходимость указать клеточное пространство или область коэффициентов, то пишем подробно В„" (Н, Х), соответственно В", (В, У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
