Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть 7' (С) = Р— непрерывное отображение из канторовского совершенного множества (см. [41) на Р. Мы рассматриваем непрерывное отображение |',) = ~[о (С) = ф7 (С). Прообраз ф " (х') точки х' ~() является замкнутым подмножеством з С; обозначим через у = «о (х') нижнюю грань у = |пг о[о ' (х') множества ф ' (х'). Функция у = ео (х') определена на (е и полу- непрерывна, следовательно, ее множество значений Ас является А-множеством. Отображение ф (Ас) = ее, очевидно, взаимно однозначно. Пусть теперь А = | (Ас). А есть тоже А-множество и отображение ~| = ф (А) взаимно однозначно, что и требовалось. Наконец, заметим,что по нашей теореме об интеграле обе функции множества рз (Е) и )гз (Е) совпадают для квадрируемых поЛе- бегу поверхностей с их поверхностной мерой (см.
[6, с. 3151) (мы рассматриваем только двумерные элементы, т. е. поверхности, которые взаимно однозначно и непрерывно отображаются на плоский квадрат); для этого класса поверхностей Т. Радо доказал (см. [7, с. 4451), что классическое интегральное выражение 1" (Е) действительно задает поверхностную меру Лебега. Поверхностная мера множеств, лежащих на квадрируемых по Лебегу поверхностях, определенная Радемахером (см. [8, с.
54 и особенно 2 47, с. 641), также совпадает с 1" (Е) = рз (Е) = р" (Е). Дополввиие НОВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ ЛННЕИНЪ|Х МНОЖЕСТВ Понятие' нерастягивающего отображения, которое мыиспользовали в этой работе для обоснования естественного понятия меры для множеств возможно болев общей природы, дает в применении к ли нейным множествам следующее очень простое определение. Рас. 166 21. К теории меры смотрим все нерастягивающие отображения данного линейного множества Е на замкнутый отрезок: я (Е) = Х и положим Х, (Е) = зпр (Е (Х)), где Е (Х) обозначает длину отрезка Х.
Т е о р е м а. Для множеств Е, измеримых по Лебезр, число Е (Е) совпадает с мерой Лебезя тг (Е). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Š— ограниченное замкнутое подмножество в Е. Определим функцию я (х) с помощью равенства и (х) = тг (Е (х)), где через Е (х) обозначается множество всех точек нз )г, лежащих левее х. Как легко видеть, зта функция отображает всю прямую, множество Е, а также множество Е на один и тот же интервал длины т' (Е). Поскольку зто отображение, кроме того, и нерастягивающее, то Е (Е) в тг (Е). Так как Е было произвольным ограниченным подмножеством Е выполнено далее л, (Е) =' впр т' (Г) = т' (Е).
С другой стороны, по теорем~ 1 3 1 Е (Е) ~( тг (Е), что завершает доказательство нашей теоремы. 1 января 1932 г. ЛИТЕРАТУРА 1. НаиайагЦ Р. ОгппйхйЯе йег МепЯеп!еЬгв. 2 Апй. Вег1!и; Ье!рг!Ьп %. йе Огяу!ег Оо, 1927. Рус. пер.: Хаусдорф Ф. Теория множеств.
М.; Лл ОНТИ, 1937. 2. ЯсйгаЫг К. ОЬаг й!о Ва1гя!Моп йоа Ввзг!На йог 1 ипво Ьгипггпег гап!еп.— Ма!Ь. Апп., 1901, Вй. 55 Я. 163 — 176. 3. Сагагааойагу К. ОЬег йае (!пеаге Мазе гоп РппЬ!юепЯеп.— !ЧасЬг. Оса. %!ав. Ооышяеп, 1914, ОЬ!. 24. 4. НаигйогН Р. В!шепмоп ппй аТззегез Мазе.— Ма!Ь. Апп., 1918, Вй.
79, Я. 157 — 172. 5. Найагаагьгг Н. ОЬег раг11е!!е ппй !о!а!е О!НегепмегЬагЬе!! гоп РппЬ!!опоп пгеЬгегег Чаг!аЬе!и ппй 6Ьег й1е Тгапе1огта!!опеп йег Оорре!!и!е8га!е.— Ма!Ь. Апп., 1918, Вй. 79, Я. 340 — 359. 6. 7еоезгиг Н. ТЬезе.— Апп.
гпаг. рига ей арр!. 3, 1902, го!. 7, р. 315. 7. Найс Т. ОЬег йаз Р1асЬепшазз геЬ1И!с!егЬагег Р!асЬеп.— Ма!Ь. Апп., 1928, Вй. 100, Я. 445-479. 8. Найегаагаег Н. ОЬег раг!!е!!е ппй 1о!а1е В!Негепг!егЬагЬе!! гоп РппЬ!!опеп теЬгегег ЧапаЬе1п. 11.— Ма!Ь. Апп., 1920, Вй. 81, Я. 52 — 63. 167 22. О точках разрыва функций двух переменных 22 О ТОЧКАХ РАЗРЫВА ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ * Совместно с Н.Я. Верченко Пусть 7 (Р) есть ограниченная (~ 7' (Р)~ ( М) однозначная дейст вительная функция, определенная во всех точках Р плоской области В.
Рассмотрим точку Р, области 6 и полупрямую Ь, начинающуюся в точке Р, и образующую угол а с положительным направлением оси Х. Обозначим через Ф (Ро, а) верхнюю грань верхних пределов 7 (Р) при приближении Р к Р, по всевозможным касательным к Ь путям. Ф (Р„а) называется верхним пределом 7' (Р) в точке Ро по направлению а. Аналогично определяется нижний предел ер (Р, а) функции 1 (Р) в точке Ро по направлению а.
Ф (Р„а) как функция а полунепрерывна сверху, а ер (Р„а) полунепрерывна снизу; зти две функции а в значительной мере характеризуют поведение функции 7 (Р) в окрестности точки Р,. 1. Для того чтобы 7'(Р) была непрерывна в точке Р„, необходимо и достаточно, чтобы для всех а Ф (Ро, а) = ф (Рв а) = 1 (Ро) 2.
Ро есть точка разрыва первого рода функции 1' (Р), если 1' (Р) не непрерывна в точке Р, и для всех а Ф (Р„ел) = ер (Ро, а). Множество точек разрыва первого рода произвольной функции 1 (Р) не более чем счетно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через ю (Р,) колебание 1 (Р) в точке Р,. Пусть Е„есть множество тех точек разрыва первого рода, для которых колебание функции / (Р) превышает 1/и. Легко показать, что Е„не содержит ни одной своей предельной точки и поэтому не более чем счетно.
Следовательно, и множество всех точек разрыва первого рода Е = ~ч~ Е„ не более чем счетно. 3. Р есть нормальная точка функции 1' (Р), если для всех а Ф (Рс, а) = Ф (Рз) а 1' (Рз) в 'Р (Ро) = 'Р (Ро а), т. е. если Ф (Рз, а) и <р (Ро, а) не',зависят ота и1 (Ро) лежит между ними. Каждая точка непрерывности функции 1 (Р) есть нормальная точка. Нормальная точка, не являюи1аяся точкой непрерывности, называется точкой нормального разрыва. а ДАН СССР,1934, т. 1, ет 3, с. 105 — 106. Представлено С. Н. Бернштейном, 16823. О нернируеноети общего линейного топоеогического кространетеа Т е о р е и а. Множество не нормальных точек произвольной функции )' (Р) может быть расположено на счетном множестве спрямляемых кривых.
Отсюда следует, в частности, что множество не нормальных точек имеет плоскую меру нуль. Доказательство теоремы основано на следующем вспомогательном предложении, справедливом в случае ограниченной области 6. Рассмотрим сектор круга с радиусом р и центром Р„лежащий между направлениями а — 6 и а + 6, н обозначим через М (Р„ а, 6, р) верхнюю грань значений 1(Р) во внутренних точках етого сектора. Для любых а, 6 ) О, р ) О, а ) Ь множество тех точек Р„ в которых ~(Ро))а, М(Ро а, 6, р)~(Ь, может быть расположено на конечном числе спрямляемых кривых ' Москва, 21 декабря 1933 г. 23 О НОРМИРУЕМОСТИ ОБЩЕГО ЛИНЕЙНОГО ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВАв Мы исходим иа следующего определения линейного топологического йространства: множество Е является линейным тополозическим пространством, если: 1) для элементов из Е определены операции сложения и умножежения на действительное число, которые удовлетворяют аксиомам линейного пространства ', 2) для любого подмножества А множества Е определено его замыкание А С Е, которое удовлетворяет трем аксиомам топологнческого пространства ', 3) операции сложения и умножения непрерывны.
Открытые множества топологического пространства в смысле примечания ', рассматриваемые как окрестности содержащихся в г 7(рг) обозначает вдесь верхккй предел ! (Р) в точке Р„т. е. максимум г' (Р,) н Ф (Р,) = впр Ф (Р„а). Аналогично через ! (Р,) обозначаем нижний предел ) (Р) в точке Р,. Тогда ю (Р,) = ! (Р,) — г(Р,). г 2ог )Чогю!егЬаг1се!! е1пев а11дете!пеп !оро1овбвсЬеп 1!пеагеп Ваптее.— Э!пб.
та!Ь., 1934, то1. 5, р. 29 — 33. Берегов С. Б. Стечкина. " См.: Вакаеь Я. ТЬеопе г)ев орега!!опг 1!пса!гез. %агввана, 1931. СЬар. 2. ' См., например: А!еканбео11 Р. ()Ьег з!е!!Ее АЬЫ16апяеп Ьожрай!ег Вапше.— Ма!Ь. Апп., 1926, Вд. 96, Я. 555. Этн аксиомы звучат следующим образом: 1. Каждое подмножество А ~ Е, состоящее не более чем нз одного элемента, совпадает со своим замыканием. 2. А = Я для всякого множества А С Е. 3.
МЦАг = М () Аг. гб. О нормируемоети общего линейного тонологичееного ироетраненгео 169 них точек, удовлетворяют, вообще говоря ', трем первым аксиомам Хаусдорфа и первой аксиоме отделимости. Однако в нашем случае линейных топологических пространств, как вообще в случаетопологнческих групп, автоматически выполняются также вторая и третья аксиомы отделимости, т.
е. пространство является регулярным. Этот факт будет доказан в 3 4. В связи с этим представляется совершенно естественным раавивать общую теорию линейных функционалов н операторов именно в линейных топологических пространствах. Однако значительная часть этой теории развита в настоящее время только для случая нормированн х пространств, т. е. таких пространств, в которых каждому элементу х сопоставлено в качестве нормы неотрицательное число ~ х ~, удовлетворяющее следующим условиям: )ах(= (а Йх), (1) (2) !х+У | ((х1+ (У 1; причем топологическне свойства пространства определяются расстоя нием между двумя элементами, которое определяется формулой р(х, у)= ~х — у!. (3) Возникает вопрос: какие линейные топологические пространства можно нормировать7 Иными словами, при каких условиях можно ввести в линейном топологическом пространстве норму, удовлетворяющую условиям (1), (2), чтобы яри помощи (3) она определяла а рг)ог1 заданные топологические отношения пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
