Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для ответа на этот вопрос мы используем следующее определение '. О п р е д е л е н и е. Множество А ~ Е называется ограниченным, если для любой последовательности (а„) действительных чисел и любой последовательности элементов (х„), принадлежащих А, из а„-н О вытекает а„х„-н О (где О во втором соотношении обозначает нулевой элемент пространства Е). Это определение позволяет нам сформулировать следующую теорему. Т е о р е м а. Для нормируемости пространства Е необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала по крайней мере одна ограниченная выпуклая окрестность нуля.
Прн этом множество А С Е называется выпуклым, если из х 5= А уч= А, Х )~ О, р - О следует е А. (4) Х+р Доказательству этой теоремы посвящен 9 2. г См.: Наигбог)1 Г. 6гппбгйуе бег Мепдеп1еЬге. Вег1!п, 1927, Я. 227 — 229„ г Магие 8., Ог11ег И'. ОЬег оо19еп 11пеагег Орога$1опеп.— 91пг1. ша1Ь., 1933, чо1. 4, р. 152 — 157. особенно с.
152. 170 еб. 0 иормируемости общего лииебиого тоиологичесиого иростраистоа В этом параграфе Е может быть произвольной топологической зруппой, т. е. произвольным топологическим пространством, вкотором определено сложение, удовлетворяющее всем аксиомам группы, и сложение н вычитание непрерывны. Мы докажем, что тогда Е регулярно, иными словами, что для любой окрестности У (х,) элемента х, е= Е найдется окрестность У (х ), которая принадлежит У (х,) вместе со своим замыканием. Прн помощи преобразования х' = х — х, эта задача сводится к случаю х, = О. Итак, пусть задана окрестность нуля У. Так как О + О = О, то в силу непрерывности сложения можно найти такую окрестность гг нуля, что из х' ~= У, х" е= 'е' следует х' + х" ч= У.
Пусть теперь х е= р. Так как х — х = О и вычитание непрерывно, то существует такая окрестность И' (х) точки х, что нз х Е:— И~ (х), х й— : И' (х) следует х' — х' е:— е'. Найдем теперь точку хи, которая принадлежит как И' (х), так и У (хи существует, так как х е= Г). Так как х и х* принадлежат окрестности Иг (х), то х — х* Е= Р. Так как, далее, х — хи и х* принадлежат окрестности у, то х = (х — хи) + х* принадлежит окрестности бг, откуда следует р й= сг', и т.
д. Необходимость условий нашей теоремы очевидна, так как состоящий из всех точек с ~ х ~ (1 шар образует выпуклую ограниченную окрестность нуля. Остается доказать, что условия достаточны. Пусть У вЂ” выпуклая ограниченная окрестность нуля. Обозначим через аУ множество точек х = ах', для которых х' ~=- У. Для любого а чь О множество аУ есть ограниченная выпуклая окрестность нуля.
Положим по определению )х(=зпр )а), хЕ=Е" абг, (6) где знак зпр распространяется на все а, для которых выполняется условие х е Е ~ аУ. Сразу видно, что определенная формулой (6) норма удовлетворяет условию (1). Покажем теперь, что выполняется также и условие (2). Для этого заметим прежде всего, что из х е аУ и у е= аУ при Х > О, р ) >О вытекает асс+ рр П Х+р и, следовательно, из ~ х ( ( гз и 1 у ( ( сс имеем 2е. О точках раерыеа 4ункций двух переменных 171 и, а у ) = )ь, Л+ р = а, х'= л х, у'= — у Полагая ! х ) = Л, получаем )х'(= — )х)=а, )у'(= — )у)=а, 1*+И=1 '","" ~(.=Л+.=) ~+~~~. Остается показать, что расстояние р (х, у) = ) х — у 1 определяет те же предельные отношения, что и в пространстве Е.
Рассмотрим точку О и докажем, что множества аП, а ) О, образуют полную систему окрестностей нуля. Пусть )4е — произвольная окрестность нуля; надо найти такое а ) О, чтобы аП содержалось в И'. Если бы это было невозможно, то можно было бы найти такие последовательности а„- О и х„е=' Я, что для всех и точки оах„лежат вне Н' и, аначит, последовательность аах„не стремится к нулю, что противоречит ограниченности П.
Множества аП обраауют, следовательно, полную систему окрестности нуля. Сразу видно, что шар ) х ) (а содержится во множестве аП. Поэтому если будет доказано, что О является внутренней точкой каждого шара ! х ) ( а, а ) О, то этим будет установлено, что система шаров ) х ! ( а', а ) О, эквивалентна полной системе окрестностей нуля аП. Но каждый шар ) х ) (а, а) О, содержит окрестность нуля, равную пересечению е Чейз и — Чейз. Действительно, если одновременно х е '/еаП и х е — '/еа7У, то х будет лежать в каждой окрестности ЬП с ) Ь ) ~ )а!2, откуда следует ! х ! ( Чеа (,а. При помощи преобрааования х' = х — хе мы убеждаемся, что шары с центром в хо эквивалентны полной системе окрестностей этой точки.
Таким обравом, наша теорема полностью доказана. 2В ыая 1934 г. 24 ПРОДОЛЖЕНИЕ И( СЛЕДОВАНИЩ О ТОЧКАХ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ* Совместно с 11.Я. Верченко В предыдущей нашей ааметке ' было доказано, что за исключением точек, лежащих на счетном множестве спрямляемых кривых, все точки области существования 6 произвольной ограниченной е Было бы нетрудно убедиться, что шары ( х ) < а совпадают с пересечением аСП ( — ап). " ДАН СССР, 1934, т.
4,№7, с. 361 — 362. Представлено Н. Н. Лузиным. т ДАН СССР, 1934, т. 1, № 3, с. 104 — 10В (сы. № 22 наст. нвд.). 112 2о. О точках роврыва вдрнкчыт двух переменных функции двух переменных являются нормальными точками, т. е. для них имеют место соотношения Ф (Ро. а) = Ф (Ро) )~ / (Ро) ~ вр (Ро) = «р (Ро, а). Из не нормальных точек может быть выделен класс линейных точек. Именно будем называть точку Р, линейной точкой функции 1 (Р), если существует такая проходящая через Р, прямая В, что как Ф (Р„а), так и вр (Р„а) принимают по обоим направлениям вдоль В равные значения, а по обе стороны от В постоянны.
Обозначая через $ положительное направление прямой В, мы можем ааписать условия линейности точки Р, следующим образом: Ф(Ров 5) =Ф(Ро~ 5+я) =ФоРо) вр (Р, $) = вр (Р, $ + ) = вро (Р ), Ф(Ро, а) =Фг(ро) ) ( )= ( ) 1' '(а('+"' Ф(Ро, а) Фо (Ро) ) 5+ я(а($+ 2я. Легко видеть, что при этом неизбежно Ф, (Р,) > Ф„(Р,) > вр, (Р,) =р вр, (Р,), Фо (Ро) ~ >Фв (Ро) ~ )«рв (Ро) > вро (Ро) Линейные ненормальные точки могут как показывают элементарные примеры, заполнять целиком спрямляемые кривые. В противоположность этому имеет место следующая Т е о р е и а. Множеетео нелинейных точек проигеольной ограниченной функции 1 (Р) имеет линейную меру нуль. Так.
как нелинейные точки в то же время и не нормальны и, следовательно, все лежат на счетном числе спрямляемых кривых, то для доказательства этой теоремы достаточно установить, что множество нелинейных точек имеет лебеговскую меру, равную нулю на любой спрямляемой кривой. В заключение укажем на применения полученных результатов к изучению плоских множеств в направлении, начатом Булнганом. Пусть теперь 1 (Р) есть характеристическая функция плоского точечного множества Е, т. е.
функция, равная единице на Е и нулю вне Е. В этом случае Ф (Р„а) может принимать только два значения — нуль и единица. Множество С (Р,), являющееся суммой всех полупрямых, выходящих из Р„для которых Ф (Ро, а) = 1, названо Булиганом контингенцией множества Е в точке Р . Понятие контингенции является естественным обобщением понятия касательной. Из полунепрерывностн (сверху) функции Ф (Р„а) непосредственно вытекает замкнутость контингенции С (Р,). эг. О точках разрыва узункцый деух переменных 173 В изолированных точках множества Е контингенция его пуста, так же как во всех точках, лежащих на положительном расстоянии от Е (последние точки мы будем называть внешними точками для Е). Напротив, во всех предельных точках множества Е контингенция содержит хотя бы одну полупрямую. Если предельная точка множества Е является нормальной точкой функции г' (Р), то, очевидно контингенция множества Е в ней содержит всю плоскость.
В линейных ненормальных точках функции ~(Р), помимо случая контингенции, заполняющей всю плоскость, могут встретиться еще два существенно различных случая: или Фо(ро) = 1. Фз (Ро) = Фз(Ро) = О. или Ф (Р ) = Ф, (Р,) = 1, Ф, (Р ) = О. В первом иа них контингенция состоит из одной прямой (случай, существования касательной), во втором — из полуплоскости. В соответствии с этими рааличиями мы введем следующие определения. О п р е д е л е н и е 1. Множество Е имеет в точке Р, касательную, если контингенция С (Ра) этого множества состоит из одной прямой. О п р е д е л е ни е 2. Точка Р, принадлежит правильному краю множества Е, если С (Р,) состоит иэ полуплоскости. О п р е д е л е н и е 3. Точка Р, есть недостижимая точка множества Е, если С (Ра) состоит иа полной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
