Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Вследствие этого общего факта в квантовой физике изучение распределений в линейных пространствах заменяют изучением моментов второго порядка (рассматриваемых обычно в виде линейных операторов). Если бы мы хотели создать нелинейную квантовую теорию, было бы необходимо рассматривать сами распределения, или их характеристические функции, или, наконец, всю совокупность моментов Лд„. 20 мвя 1935 г. О ПОРЯДКЕ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА РЯДОВ ФУРЬЕ ДИФФЕРй НЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ е Первая постановка вопроса.
Рассмотрим класс всех периодических (с периодом 2я) функций / (х), непрерывных вместе с их производной порядка р (р ) 1), у которых производная Тдрд (х) по абсолютной величине меньше или равна 1. Абсолютное о 2пг Оговввпогдпппэ дев гевд31!вдов роппвгвсЬвп Кв1Ьеп 6111вгепгдегЬвгег рппЬддопеп.
— Апп. МадЬ., 1935, чай 36, р. 521 — 526. Перевод С. А. Твяяковского. 180 27. О норядне остаточного члена рядов Фурье значение остаточного члена 1 Лн(1 Х)=7(Х) 2 ао — (агсозйХ+ отз1П)сл) ряда Фурье имеет для этого класса функций конечную не зависящую от х верхнюю грань С~Р~. Для произвольной периодической р раз непрерывно дифференцируемой функции 7" (л) непосредственно получаем неравенство ! Л К л) ~ ~чч С1Р~ Мр (гв) (1) где Мр(7) — верхняя грань для )71р> (х) ~. Константа С1Ю в неравенстве (1), очевидно, не может быть понижена. Вторая постановка вопроса.
Можно рассматривать также более широкий класс всех периодических функций 7' (х), непрерывных вместе со своей производной порядка р — 1, у которых (р — 1)-я производная удовлетворяет условию Липшица ~ /1Р '> (х) — 11Р '> (у)) ~~ ( х — у (. (2) Верхняя грань С'„Р1 величин ) В„(7, х)~ для этого более широкого класса функций остается, однако, той же самой, как и при первой постановке задачи. А. Лебег (1) ' показал в 1910 г.,что Ссп имеет порядок (1ои п)7п. Наша задача — показать, что вообще 1р1 4 1оян + (1) (3) В случае нечетных р мы докажем также точную формулу (4) 11 Дальнейшее изложение основывается на второй из указанных выше постановок вопроса.
Так как производная 71Р Н (х) удовлетворяет условию Липшица (2), то почти всюду существует также производная порядка р и (71Р1 (х) ~ (1. Наоборот, произвольная измеримая определенная всюду, за исключением некоторого множества меры нуль, функция гс (л), для которой (<у(л)) (1, ~ <д(х)02=0, (5) о может быть выбрана в качестве 71Р> (х). г Здесь испраелеиа неточность в ссылке, имевшаяся в оригинале.— Примеч. нвр. г8г Яг.
О порядке остаточного чеена рядов Фурье После этих замечаний положим 2к + 4 (о] ып 2 х 2ягп(х(2) 2 + ~ у-г (6) и 2,7,! Р) х — и %1 егпкя Ч"1 Мпкя 2~ Ьее В=и+1 )7ю( ) ( 1)тг ~ч соева йи у=а+я е + (7) (8) (9) Очевидно, .ОР' (2я) — 1)~" (О) = я, В'ю (2я) — 1)Р (О) = О, (10) 0(х(2я, р) 1, (11) (12) Р~ )2. Из известной формулы Дирихле Я„(0) = — 1 7'(х) 77~" (х) г(х . о Следовательно, еа Л„ ((, 0) = У(0) — Я„ (0) = ' '„'" ~ У< (х) 1)Р (х) (х, о р п1. (13) Заметим еще, что Сгх~' является также верхней гранью для В„(р, О), так что С'„ю равняется верхней грани величин получаем, повторяя интегрирование по частям, в силу (10) — (12) ен ен Юи(0)=7(0) — — ~ 7'(х) В„'(х)их=7(0) + —,~ 7" (х)В„ю(х)ггх= о о „ял =1(0)+( — ') 1 7ю(,)1)~ю(~),1,.
о 182 2е. О иорядяе остаточного члена рядое Фурье (15» (16» 12 АСИМНТОТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ Сеоиг В СЛУЧАЕ р = 2г+ 1 О) О) Речь идет об асимптотической оценке интеграла (16). Положим 2»+ 1 2 о)в (я(2) ' » ( ) 4 (о)в х/2))е .г 1 Ь(х) = —— (»+1)Р ' б'(й) = А(й) — А(й+Ю. При этом Ф„ (х) — Ф», (х) = з1п 1сх, Ч"„ (х) — Ч'„ » (х) = Ф„ (х). Преобрааование Абеля приводит к соотношению Рсо (х) = ( — 1)'+» ~à — = ( — 1)м» ) — — Ф„(х) + »=н+» с + ч г»(Й) Ф»(х)~ =( — 1)гоы ~ — — Ф„(х)— (и+ г)р »=я+1 ° ъ — е»(л+ 1) Ч'„(х)+ ~~~~ Ьо(Й) Че»(х)~ .
(17) для всевоаможных измеримых функций гр (х), удовлетворяющих условиям (5). Отсюда непосредственно следует неравенство С'„Р~~( — ~ )Р~ог(х))сох. о В случае нечетных р в силу (7) и (9) Р~Р' (х) является нечетной функцией от х. Полагая в этом случае гр (х) = +1 во всех точках, в которых Р~Р') О, и <р (х) = — 1, если РР ~ О, получим функцию <р (х), удовлетворяющую условиям (5). Для атой функции гр (х» имеем еи ги — '~ р(х)Р2'(х) х= — „' ~ ~Р2'(х)((х.
о о Итак, мы видим, что в случае нечетных р С'„"= — „' ~ ~Рнз( )~1. о Таким образом, для нечетных р доказана формула (4). 37. О аорядие огтатоииого чяеиа рядов Фуроа Заметим теперь, что т ) Р'."'(х)(~( '~) ' — '=О ( — ') 1=а+1 н, следовательно, 1!п тл ~ (Р'."'(х))г(х+ ~ ) Р'„Р'(х)) (х=О( — '), о тл — 1/п а также, что тл — Пп ~ Ч'п (х) ( гех = 0 (п), 1/п Л (Ю) = О (1П) "), Л' (й) = О (И ""), поэтому нз (17) получаем оценку гл тл — Пп ~~ (Р'„р1(х)(дх — ' ~ )Ф„(х)()х[( о Пп 1(п тл < ~ ~Р1р1( ц (х+ ~ (Р„'р1(х)) Ь+ о вл-Пп ти — 1/п ти-1П + 11(п + 1) ~ (вх"„(х) ) ггх+ в) Ьт(х) ~ ! Ч"„(х) ) Ых= 1/п 1=а+1 111 О ( р ) + 0 ( р ) + 0 ( ~ 1 ) 0 ( и ) + е '( — -)'" ='(+) Г= +1 (18) С другой стороны, подобно тому как для констант Лебега 2и+ 1 вги 2 х ти — г(х= — ~ (Р„(х)(Их= — 11о9п+0(1), о о (29) Я При р = 1 оценка ( В~~1 (х) ( О (1) ввпекает ив (7) в силу равномерной % 1 г)н)вх ограниченности частных сумм ряда у †.
— Примеч. иер. д 184 2г. О иорядие остаточного чяена рядов Фурье доказывается, что ги — Ыи е" М' соз — х ~ 2и+ 1 — (Ф„(х) (с(х= — ~ 1, . ~ с(х= — 1оЕл+ О(1). и д " и д 1 2 ьш (х/2) ~ иг ,~н 1/и (20) Из (18) и (20) получаем окончательно ггс — (Рн (х)(с(х= — — +О ~ — ) . (' <р> 4 1оз и Р 1 и .) ир ир о (21'р 53 АСИЫПТОТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ С1Р1 В СЛУЧАЕ р = 2г (1) 1) Положим в этом случае г .
и+1 1 2 (гш — х ( о„(х)= — 1 . / и заметим, что о„(х) — аь „(х) = Ре11(х). Рг"~ (х) — Рь'~, (х) = соз гех, Тогда с помощью преобразования Абеля получаем о Р'."(х) =(- 1)'" ~ — -'," = у=и+с о =( — 1)ч" ~ — ', Ф'( )+ 1». А())Р~ю( )~= =( — 1)ьм ~ — — Р®(х) — А(я+ 1)пи(х) + (и+ 1)Р Ю г + () Аз()е) оа(х)~ = ( ) Р®(х)+ Д1Р1(х). (и+ 1)Р (22) Заметим теперь, что, как известно, $ ) о„(х) ~ = О (я). о Таким образом, в силу (21) и (16) соотношение (3) докааано для нечетных р.
183 27. О порядке оеньаточного чяена рядов Фурье Отсюда следует неравенство оп гп ее вп ~ )~Р(х)(с1х(Л(п+ 1) ~ )о„(х))с)х+ ~У Ао()с)~ )оо(х)(Ых= о о г н+1 о =0( р" )0(™))-,5„0( р„)0()с)=0( р ). (23) о=к+о Далее, из (15), (22), (19) и (23) следует оценка о о + ~ (02'(х))с(х= —, '8п -(-0( — ') . (24) о Пусть, наконец, гр (х) = О на отрезке О ( х < 2Ы(2п + 1) и гр (х) = = +1 или <р (х) = — 1 для х > 2я~(2и +1), смотря по тому, яв2п+ 1 ляется ли вш х положительным или отрицательным. Эта 2 4ункция удовлетворяет условиям (5).
При этом — ~ гр(х)Р~,'~(х)с)х= — ~ ~Р~~~(х))с(х= —,1ояп+0(1) о опдон-~-Н и в силу (22) и (23) ' ~~,(х)Р)Р(х) (х~= " ~~,(х)РР(.) (х~+О( — ')= о о = — — +о( — ). 4 1озп 1 1 (25) и' пр п~ Из (25) следует в силу определения С1Р', что С<р1 4 1озп +О( 1 ) (26) Вместе оценки (26) и (24) приводят к доказательству соотношения (3) также и в случае четных р.
Клязьма, блпо Москвы, 30 ноября 1934 г. ЛИТЕРАТУРА 1. 1еьееуие Н. 8пг 1а горговепаа11оп 1г18опогоегг19по арргосЬее йов 1опс11опв вонв1агвоп1 о ппе сопд1поп до Ь1рвсЬ11в.— Вп11. Яос. шасЬ. Ггопсе, 1910, оо1. 38, р. 184 — 210. 166 2В. 0 наилучшем нридликсснии функций оаданносо класса 28 О НАИЛУЧШЕМ ПРИЬЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ЗАДАННОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО КЛАССА а 1. Общая постановка вопроса. Мы предполагаем, что для рассматриваемых функций введено некоторое определение расстояния. Если рассмотреть задачу о приближении функции 7" линейными формами ф =с,ф, +софе+...
+с„фн с фиксированными функциями ф„ф„..., ф„, то возникнет задача (задача Чебышева): с помощью подходящего выбора коэффициентов с„с„..., с„сделать возможно малым расстояние р (7", ф). Не обсуждая вопросов существования и единственности, обозначим через Е„(() нижнюю грань расстояний р (7, ф). Для класса Р функций 7 обозначим, далее, через Е„(Р) верхнюю грань величин Е„(7) для всех 7" из Р.
Величина Е„(Р) определяется классом Р и функциями ф, ф„..., ф„. Мы ставим теперь новую задачу: для заданных Р и п доставить минимум для Е„(Р) за счет выбора функций фш ф„... ..., ф„. Независимо от существования этого минимума обозначим через й„(Р) нижнюю грань Е„(Р). Таким образом, каждому функциональному классу Р соответствует последовательность вполне определенных неотрицательных (возможно, бесконечных) величин Рг (Р) > йя (Р) >~...
~) В„(Р) ~ Если минимум Р„(Р) действительно достигается на Е„(Р), то можно поставить также вопрос о единственности, именно в следующем смысле: определяются ли функции ф„ф„..., ф„, которые доставляют минимум 17„(Р), с точностью до некоторого линейного преобразовании однозначно или нет? 2. Специализация. Далее мы рассматриваем только функции одного действительного переменного, определенные на отрезке (О, 1). В качестве расстояния р (/, ф) вводим 1! р(7, ф) = ~~() — ф)гдх| о При этих предположениях нам удалось получить простые резуль таты для следующих классов функций: о 17еЬег 61е Ьееге АппаЬегипу гоп рипЬ11епеп е1пег ВезеЬепеп рппЬ1шпепЫаеее.— Апп.
Ме1Ь., 1936, че1. 37, р, 107 — 110. Перевод С. А. тслякооскосо. 22. 0 наилучшсм приближении У1ункций»аданного класса 187 Р (р > 1) состоит из всех р раз дифференцнруемых функций ~, для которых ~О )Чх<1, о Р~р (р ~ 1) состоит из всех функций иа Рр, которые удовлетворяют условиям периодичности ~(0) = ~ (1), ~' (О) = ~' (1),...
. „., /<э-11 (О) = /«~ 11 (1). 3. Реаультаты. В случае Р» имеем тле«п-1(Рр) = ~ап«(Рр) =( 2 ), п»=1,2, 3,..., при этом минимум В„(рея) всегда достигается; наилучшие функции «р„«р„..., «р„в случае й = 2т + 1 определяются с точностью до линейного преобразования однозначно ', а именно ими являются 1, у'2з(п 2яйх, )/2 соз 2яйх, й = 1, 2,..., т.
В случае р„имеем '~~п (Р1)— 1 п=1,2,'3,...; причем наилучшие функции «р„«у„..., «у„при каждом и определяются с точностью до линейного преобрааования однозначно, ими являются 1, )Г2созЫх, й=1,2,...,п — 1. Результаты в случае р„при произвольном р нельзя выразить так просто: они зависят от некоторой специальной, своей для каждого р ортонормированной системы функций которая будет определена в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
