Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Мы предполагаем теперь, что р дифференцируемо по х, у и вре.мени г (считая1 последнее в поколениях) и что а и р весьма малы, а третий момент рэ = ~ [ ге [ р (г) в1г мал по сравнению с р'. В этом случае, разлагая в (12) р (э, т)) в ряд Тейлора по $ — х и т[ — у и ограничиваясь членами второго порядка (члены первого порядка исчезают), получаем' приближенно дифференциальное уравнение для р: 'де (1З) К атому уравнению применимы все рассмотрения, относящиеся к общему уравнению (2).
Подчеркнем еще раз сделанные допущения. Мы предположили, что концентрация р плавно меняется в зависимости от места и време- е По поводу перехода от (12) к (13) см. екалогкчкые рассмотрения, вакркмер, у А. Я. Хкпчквэ в его книге [2[. 88. Исследование уравнения диувфувии ни (дифференцируемость по х, у, з), что изменения эти вызваны отбором в отношении (1 + а): 1 в пользу доминантного признака А и беспорядочными перемещениями отдельных особей со среднеквадратичным перемещением одной особи за время от рождения до размноженияя р и, наконец, что а и р малы (р — по сравнению с расстояниями, на которых происходят значительные изменения концентрации р). В этом случае, принимая одно поколение за единицу времени, мы и получаем уравнение (13). Обратимся теперь к тому случаю, когда обширная территория уже занята геном А с концентрацией р, близкой к единице.
Вдоль границы этой области, естественно, должна лежать переходная полоса промежуточных концентраций. За пределами этой полосы будем предполагать р близкими к нулю. В силу положительного отбора область, занятая геном А, будет расширяться, иначе говоря, ее граница будет перемещаться в сторону территорий, еще не занятых геном А, вдоль же этой границы будет все время сохраняться полоса промежуточных концентраций. Нашей первой задачей является определение скорости наступления гека А, т. е.
скорости перемещения границы области, заселенной геном А,.в направлении нормали к этой границе. Формула (8) дает готовый ответ на этот вопрос: так как й в нашем случае равно ра/4, то искомая скорость равна Х=ру/а, В качестве второй задачи естественно возникает задача опреде- ления ширины переходной области. В силу формулы (9) в направ- лении нормали к границе концентрация р удовлетворяет уравнению Х вЂ” „= — — „+ ар(1 — р)', ар Рв двр е или после деления на а и замены )с с помощью формулы (14) р др 1 рв дар — — = — — —,+ р(1 — р) ° 1/а дн 4 а ,'дне Вводя новое переменное т с помощью соотношения и =(р/)/а) и, (15) получаем уравнение — -4- —,. + р(1 — р) (16) уже не содержащее ни а, ни р.
Граничные условия для этого уравнения таковы же, как и для (9): р( — со)=0, р(+со)=1. Из соотношения (15) заключаем, что ширина переходной полосы пропорциональна Л = р/)/а. (17) дд. Исследование уравнение диффузии Пусть, например, р = 1, а = 0,0001, тогда Х = 0,01, Ь = 100. 12 В атом параграфе мы будем рассматривать уравнение Х вЂ” = й — „+Р(э), (18) где )о и й будем считать положительными, а относительно функции Р (р) предполагать, что она удовлетворяет условиям, перечисленным во введении. Мы ставим сейчас целью установить те соотношения между Х, й и са = Р' (0), при которых это уравнение имеет решение, удовлетворяющее следующим требованиям: 0 ( и (х) ( 1, и(х)-е-1, л-~ +со и и(х)-~-0, х-» — оо.
Положим ЫЫсЬ = р, Тогда део едр Ыо др — — — — — л. дхе дс дх Й> Подставляя это в уравнение (18), найдем др Лр — Р( ) до йр (19) Нас интересуют те интегральные кривые этого уравнения, которые на плоскости (р, о) проходят между прямыми о = 0 и и = 1. Вообще говоря, среди этих кривых могут быть кривые следующих типов: 1. Интегральные кривые, которые не подходят к одной иэ прямых и = О, о = 1 ближе чем на некоторое е ) О. 2.
Интегральные кривые, которые бесконечно удаляются от оси о, приближаясь асимптотически к одной из прямых р = О, и = 1. 3. Интегральные кривые, которые пересекают одну из этих прямых в некоторой конечной точке, не принадлежащей оси и. 4. Интегральные кривые, которые приблюкаются к точкам и = О, р = 0 н и = 1, р = 0 и не принадлежат нн к одному яз предыдущих типов. Но легко видеть, что интегральным кривым первого а не мо соответствовать решения уравнения (18), удовлетворяющие поставленным условиям, потому что для них и не может быть как угодно близко к 0 и 1. Интегральных кривых второго типа вообще не существует, так как у кривых этого типа обявательно должны быть точки, для которых при очень больших ~ р ) величина ~ Ыр/сЬ ~ очень велика.
Но дробь (Хр — Р (и))йр при больших значениях ! р ~ приблизительно равна ХИ (в силу ограниченности Р (р) на интервале (О, 1)). 227 ВВ. Исследование уравненил диффузии Интегральным кривым третьего типа соответствуют решения уравнения (18), не остающиеся всегда между 0 и 1. Действительно, допустим, например, что какая-нибудь кривая этого типа приближается к точке и = 1, р = р, Ф О. Вблизи прямой и = 1 др Л вЂ” = — ~О ! ь ! следовательно, здесь можно рассматривать р как функцию от и.
Пусть р = ср (и). Так как ф (1) = р„~ О, то и на некотором малом интервале (1 — з, 1 + з) ( ср (и) ) остается больше некоторой положительной постоянной С. Обозначим через хз значение х, при котором и = 1 — е. Тогда, интегрируя уравнение ссМЬ = !р (и), находим х о Ыо сЬ = х — хо = <р (о) х„ ь-е Отсюда видно, что, когда и меняется от 1 — з до 1 + е, изменение х по абсолютной величине не превосходит 2з/С. Поэтому р при изменении х от хз до хе + 2з/С обязательно переходит через единицу. Остается рассмотреть интегральные кривые четвертого типа. Каждая из точек р = О, р = 0 и и = 1, р = 0 есть особая точка дифференциального уравнения (19). Интегральная кривая четвертого типа должна приближаться к каждой из этих точек, не пересекая прямых э = 0 и и = 1, следовательно, не закручиваясь. Поэтому, чтобы такие кривые существовали, характеристическое уравнение для каждой из этих точек должно иметь действительные корни.
Напишем Г (и) в форме р() = + т,(и). Тогда, очевидно, !рг(и) = о (и). Поэтому характеристическое уравнение для точки и = О, р = 0 имеет вид или р — )р+Ы = О. Это уравнение будет иметь действительные корни, если )Р ~ ~4ссвс. Чтобы получить характеристическое уравнение для точки р = 1, р = О, сделаем замену переменных, положив и = 1 — и. Получаем Вр Хр+ Ф(и) ии Ьр где ср (и) = Р (1 — и). 88. Исследование уравнение диффувии Очевидно, Р' (1) ~( 0 и Ф' (0) = — Р' (1) = А =н О. Следователь но, Ф (и) = Аи + о (и) и характеристическое уравнение для точки о = 1, р = 0 примет вид нли р' + )чр — Ай = О.
(21) Это уравнение будет иметь действительныв корни, если )а ~ — 4Ай. Так как а ) О, то уравнение (20) имеет действительные корни одного анака. Следовательно, точка (О, 0) есть узел. Все интегральные кривые, попавшие в некоторую достаточно малую окрестность этой точки, проходят через эту точку. Уравнение же (21) имеет корни разных знаков, если А ) О. Поэтому если А ) О, то через точку (1, 0) проходят только две интегральные кривые по строго определенным направлениям. Пусть эти направления даются уравнениями тги + игр = О, т,и + п,р = О, (22) Известно а, что коэффициенты тю пг, т„л, определяются иэ уравнений Ьпа — ргпг = О, Ьпа — рана = О, (23) где р, и р, — корни характеристического уравнения (21).
Так как корни разных знаков, то и угловые коэффициенты прямых (22) будут разных знаков в. Поэтому в каждом из углов, образованных пересечением прямых о = 1 и р = О, находится только одна интегральная кривая уравнения (19), проходящая черве точку о = 1, р = О. На рис. 2 изображено примерное расположение этих кривых. Кривая лл' пересекает ось р ниже начала координат, потому что уравнение (19) показывает, что с[рЫо ) 0 в той части полосы, заключенной между прямыми о = 0 и о = 1, которая лежит ниже оси о.
Поэтому кривую 11 надо исключить из рассмотрения. Остается исследовать а кривую 1. ' См., например, Бендннсон [3[ (нли В. В. Степанов [4).— Примеч. ред.). в Совершенно так же можно попааать, что оба угловых коэффициента касательных е начале координат н интегральным кривым уравнения ((9) положительны. в Кслн А = О, то можно только утверждать, что существует по крайней мере одна интегральная кривая типа 1, приближающаяся к точке (1, О) по некоторому определенному направленвю, угловой коэффициент которого отрнцателен (см. [5[). 88. Исследование уравнения диедедувии Мы хотим докааать, что всякая кривая типа 1 пересекает ось р в начале координат.
Докажем прежде всего, что эта кривая не может пересекать оси р ниже начала координат. Рассмотрим для этого изоклины уравнения (19). Уравнение семейства этих линий имеет вид 'Р-,Р(") =С. ( ) 24 Здесь С есть значение ИрЯр в точке и, р. Отсюда р (о) А — С/е ' (24') Уравнение (24) представляет семейство кривых, проходящих через точки (О, 0) и (1, 0). На рис. 3 схематически показано это семейство. Рядом с каждой кривой показано соответствующее ей значение С.
Жирной линией начерчена кривая, соответствующая С = О. По мере повышения вершин кривых соответственно увеличивается С, приближаясь к величине Х//с, которая соответствует прямым р = 0 и и = 1. В области, заключенной между кривой С = 0 и осью и (заштрихованной на рис. 3), С ( О, причем в точках, близких к оси р, С очень велико по абсолютной величине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
