Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Ниже оси р С > О, при понижении вершины кривой от уровня оси р до — ос С уменьшается от +со до Ис. Теперь уже легко видеть, что интегральная кривая 1 (см. рис. 2) не может пересекать оси Ор ниже начала координат. Действительно, в этом случае кривая 1 должна была бы пересечь ось р. Так как сер/сер = — оо на верхней стороне этой оси и Ыр/с)р = +со на нижней ее стороне, то выпуклость интегральной кривой 1 в точке пересечения ее с осью р обращена к прямой и = 1. Поэтому, чтобы эта кривая попала в точку (1, 0), необходимо, чтобы Ыр/сер обращалась в со вьппе оси и, что невозможно. По этой же причине интегральная кривая 1 не может пересечь прямую р = 1 выше оси ш Докажем теперь, что интегральная кривая 1 не может пересекать оси р выше начала координат.
Для этого достаточно доказать, что 230 ЗВ. елеелеВование ддавненил диФ1зуеии существует такая полупрямая, проходящая через начало координат в первом координатном угле, которую не пересекает ни одна из интегральных кривых, пересекающих ось р в ее положительной части. Из уравнения (24) мы получаем'. Определим С так, чтобы (е)РЫп)„=о = С.
Для этого имеем уравнение Л вЂ” Сй или йСз — СХ+ а =О, откуда С Л~)Д*:йй 2й (25) Так как мы предполагаем, что Л' )~ 4ай, то оба значения С, даваемые равенством (25), действительны и положительны. Обозначим через С, одно из них и проведем прямую Р = Сои. (26) Легко видеть, что для всех тех точек полосы между прямыми и = 0 и и = 4, которые лежат выше прямой (26) или даже на самой этой прямой (за исключением начала координат)', — ) Со.
ЫР ди Поэтому ни одна интегральная кривая, проходящая через какую- нибудь точку оси Р, лежащую вьппе начала координат, никогда не пересекает ту часть прямой (26), которая расположена выше оси и. Тем самым доказано, что всякая интегральная кривая типа 1 (см. рис. 2) проходит через начало координат. Докажем, что существует только одна интегральная кривая типа 1. (Это доказательство необходимо, конечно, только в случае А = 0.) Действительно, мы доказали, что все кривые типа 1 проходят через начало координат. С другой стороны, из равенства (19) следует, что при р ) 0 и неизменном п производная ар/е2п увеличи- о Л означает производную функции р = р (и), определяемой уразнеВр Ые ннем (24').
т Здесь р есть функция от о, определяемая уравнением (18). 23е дд. ееееаедввание уравнении диеирувии а при малых значениях 1 — и р = 7е, (1 — и) + о (1 — и), (28) где 7е, и й, положительны. Вспомним теперь, что р = Ниеих. Поэтому ееиЫх = ед (и), или Зх = Зайед (и). Интегрируя последнее равенство, получаем ди х — ха= ~~ —, 0(ив(1. .) т(и) ' В силу соотношений (27) и (28) отсюда следует, что при и-и О, х -+ — оо и при и -и 1,х-+ оо, что и требовалось доказать. Вместо уравнения (7), о котором говорилось во введении, мы будем в этом параграфе рассматривать уравнение де дае (29) где функция Р (и) удовлетворяет следующим условиям".
Р (0) = Р(1) = 0; Р(и) ) О, 0(и(1; Р' (0) = 1; Р'(и)(1, 0(и(1; (30) (31) (32) (ЗЗ) Е' (и) ограничена и непрерывна на интервале (О, 1). Кроме того, мы будем предполагать, что Р (и) дифференцируема нужное число раз. Именно общее уравнение (7), данное во введении, можно всегда свести к виду (29) при помощи аамены переменных х = ~Гй~~х Я и е = 1/сс.
вается вместе с р. Отсюда следует, что две интегральные кривые, выходящие из начала координат, не могут пройти через точку (1, 0). Докажем теперь, что кривой 1 соответствует решение уравнения (18), удовлетворяющее поставленным вначале условиям. Заметим прежде всего, что всякий перпендикуляр к оси и пересекает интегральную кривую 1 уравнения (19) только в одной точке, иначе выше оси и Ыр/е)и обращалась бы в оо. Поэтому вдоль этой кривой р есть функция от и, р = ед (и). Вспомним еще, что кривая 1 пересекает ось и в точке (1, 0) под углом, тангенс которого отрицателен, а в начале координат — под углом, тангенс которого положителен.
Поэтому при малых значениях и р = йги + о (и), (27) 232 88. Исследование уравнения дивт)дугин Основной целью этого параграфа является доказательство того, что при 1- о участок кривой плотности и (х, е) (как функции от х), на который приходится основная часть падения от 1 до О, с течением времени перемещается влево со скоростью, которая приближается к 2 (снизу), а сама форма кривой плотности приближается при этом к форме графика того решения и (х) уравнения которое обращается в О при х -+ — оо и в 1 при х -еао; существование такого решения было доказано в 1 2. Прежде чем приступить к доказательству основных утверждений этого параграфа, рассмотрим уравнение до две — — — =р(х, 1, и), дт дхе частным случаем которого является уравнение (29).
Мы докажем существование решения, принимающего заданные значения при 1 = О, и изучим ряд его свойств. Т е о р ем а 1. Пусть дано уравнение — — —,— Р(х, 1, и), (35) где непрерывная и ограниченная функция Р (х, 1, и) удовлетворяетп условию Липшица по и и х, т. е. )Р (хг, 1, ог) — Р (хт, 1, о)) ( ()с! ог — от ) + й ) хг — хт ( (36) и принимающая значения 1 (х) при 1 = О. Подставляя эту функцию вместо и в правую часть уравнения (35), мы по формуле (х-Ые 0 Р о в 4!е — ч) Рт(х, т) = = ~ ит) ~ р(5, т), о~($, т))) <КО (36) (ес — постоянная, не зависящая от х, е, о). Пусть 1 (х) — некоторая ограниченная функция, определенн я для всех значений х. Для простоты будем предполагать, что 1 (х) имеет только конечное число точек разрыва.
Тогда существует одна и только одна ограниченная при ограниченных значениях е функция и (х, е), которая при 1) О удовлен)воряет уравнению (35) и при е = О принимает значение т' (х) во всех точках непрерывности этой функции. В дальнейшем, для краткости говоря, что и (х, е) обращается в 1 (х) при е = О, мы будем всегда иметь в виду только точки непрерывности функции 1 (х).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и, (х, т) — ограниченная функция, удовлетворяющая при 1) О уравнению до део — — — =О дт дхв 233 дд. Исследование ураенениа диффуеии Вообще по формуле (а-Н' +с е р(+,(х, ()=ос(х, ()+ ~([т) ~ ' Р($, ц, о()([$ (39) 2р;~ 1 р.=„ о находим функцию о(+, (х, г), удовлетворяющую при т ) 0 уравне- нию — — — =Р(х, с, о) д( дхе (40) и обращающуюся в р (х) при е = О. Докажем, что последовательность функций ))( (х, т) равномерно сходится. Действительно, принимая во внимание (Зб), мы находим из равенств (39) М(ет(()=акр[о(ет(х, т)) — о((х, ц)[< т)~( (."с — $)е +ее 1 с' а е е((-ч) < — „,— ~ [Ч ~ — [Р(Ь ц и(е Ч))— 2)(я [/( — т) о — Р(В ц* и*- (Ь ц))! [В <~йМ((Ч)[ц* о (41) (а<Не е о((-ч) так как ( ' (($=2 [с я.
Но, обозначая через Мо верхнюю е [/( — т) границу аначений [)' (х) [ и Р (х, (, 0), мы получаем [ ('о (х е) [ < Мо и при помощи равенства (38) м < 1 (й + 1) м ([( = я + 1) м,( = мт. о Отсюда, пользуясь неравенством (41), легко получаем М)е~ т( М( <— ц находим решение этого уравнения, принимающее значение 0 на оси' х (см.
[6[). Функция рт (х, С) = оо (х, т) + б) (х, е) принимает при т = 0 значения ~ (х) и удовлетворяет при т ) 0 уравнению дит доит — Р [х~ ге оо (х~ е)). д( ае дд. Иеееедоеание ураенениа ди(д4уеии из чего уже совсем просто получается равномерная сходимость оь Положим в (х, () = 11ш т)( (х, т). т Функция в (х, т) обращается в ~ (х) при 1 = О. Кроме того, как легко видеть, она удовлетворяет уравнению (а-Ыо -(-о о е М( — ч) т)(х, С)=во(х, 1)-[- — ~([ч ~ ' Р(ф, т[, ()($, т[))(15. (42) 2 у'д д ре7:~ о Отсюда ясно, что т) (х, () есть непрерывная функция х и 1 при 1) О.
В цитированном уже мемуаре Жеврея [6, с. 343 — 344) доказывается, что при любой ограниченной функции Р второе слагаемое правой части последнего равенства имеет ограниченную производную по х. В силу условия (36) отсюда следует, что функция г' (х, ~, т) (х, о)) при е ) О имеет ограниченные производные любого порядка по х и потому т) (х, ~) (см. [6, с. 351)) удовлетворяет уравнению (35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
