Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(9) Последнего свойства, кстати, можно добиться за счет абсолютной сходимости ряда (В1) (Р*Е), которая в формуле (7) предполагается. ИИ ло. еесследоеание понятия интеграла Сейчас положим к-г рс 17Е ж 17нЕ ьи Х Е' + ~ Екг г=1 Пусть П,Š— конечное продолжение 17Е. Разбиение и-е 17,*Еив ,'~~ бгЕ; + 2' Е*; ь=г г=и является продолжением для РаЕ, так что выполнено условие (7). С другой стороны, согласно (3) и (9) имеем ре )(Л7)(17яЕ) — (Е~)(17,Е)) <) Х 1(Ее ) (+ ~;~~~~ 7'(Е, ) ~(2е, что вместе с (7) показывает справедливость формулы (8) для беско- печного РаЕ. Бслий*Е конечно, то положим ЭЕ =.ОаЕ и (8) тогда непосредственно следует из (7). Наконец, в силу произвольности е получим 1 = (2) ~ 1 (сгЕ)= 1Я.
Аналогичные рассуждения приведут к цели и в случае бесконечного 1", чем полностью заканчивается докавательство. з 4 ПРИМЕРЫ 21. По аналогии с з 8 при исследовании понятия интеграла из гл. Н рассмотрим интеграл в нашем новом смысле для конкретных %-систем. В первую очередь обратимся к определенной в гл. Н (п.
45) системе Ф„состоящей из интервалов и отдельных точек вещественной числовой прямой. Как там, обозначим через с (Д) длину интервала Д. Тогда для (йй,) 1 1(х)) ()д) а получим определение, совпадающее с интегралом по Коши ~ 1(х) дх. 22. Если рассмотреть непрерывные функции х = гр (с), у = = гр (с) как параметрическое представление некоторой непрерывной кривой и через е (Д) обозначить расстояние (едлину хордыэ) между точками кривой, соответствующими концам интервала Д, то длина заданной этими точками дуги кривой определяется тзг 16. Иааяадааааае ааняагаа интеграла интегралом (йрг,)~ е(дА). 23.
Используя те же обозначения, что и в гл.!1 (п. 46), определим как там, (йй.) 1 )(х) дР(.) =(йй.) 1 )(х)(РР) (дА) Это определение совпадает с определением интеграла Стилтьеса, данным Смитом. Интеграл (1) существует (как в случае гл. П), когда Р (х) и ! (х) имеют ограниченную вариацию. В отличие от ситуации гл. 11 (1) существует даже тогда, когда от Е (х) требуется непрерывность, а от ! (х) по-прежнему ограниченность вариации.
Это как раз тот важный случай, когда наше определение шире определения из гл. П. 24. Интеграл (ааа) ~ !(х) шт(йЕ) Е аналогичен исследованному в гл. 11 (п. 47), он существует только для ограниченных функций и в этом случае совпадает с интегралом Лебега. Добавление 1. ИНТЕГРАЛ КАК МНОГОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ 1. До сих пор мы при изложении хотя и пользовались систематически многозначными функциями под знаком предела (соответственно интеграла), но в предположении, что значение предела (соответственно интеграла) определялось однозначно. Можно, однако, сделать рассмотрения одновременно более общими ипростыми, если отказаться от однозначности и в последнем случае.
Большое преимущество, получаемое при этом, состоит в том, что теперь каждая дифференциально определенная функция интегрируема, в то время как интегрируемые в прежнем смысле функции можно называть однозначно интегрируемыми. При этом верхняя и нижняя грани (многозначного) интеграла выступают в качестве верхнего и нижнего интегралов. В атом добавлении дается краткий очерк такой теории интегрирования.
Мы при этом придерживаемся понятий из гл. 11, т. е. используем бесконечные разбиения. Изменения, которые потребует случай конечных разбиений, мы оставляем читателю. 2. Пусть задана одно- или многозначная функция ! (РЕ) раабиений.0Е множества Е на подмножества из системы ай, причем ! может принимать конечные или бесконечные значения. Под пределом ! ()лЕ) при неограниченном продолжении ПЕ сейчас понимает- 1д. Иссяедоеание понятия интегрияи ся любое число 1 = Ь [г (ПЕ)1 со свойством, что для произвольно выбранного ПЕ и е ) 0 существует разбиение П'Е ) РЕ с [п1 ~ 1' (П'Е) — 1 1 ( е. При етом под знаком инфимума допускаются все значения, принимаемые 1 (при заданном П'Е).
Положим Ь [~ (РЕ)1 = +со, если для каждого ПЕ и произвольного Н (+со существует такое П'Е ) ) РЕ, что зпр [ (П'Е) ) Н. Аналогичное определение имеет место для П [1(.РЕ)1 = — оо. 3. Легко убедиться в том, что произвольно определенная на всех РЕ функция 1'(ПЕ) имеет по крайней мере один предел и что все пределы для [ (ПЕ) образуют замкнутое множество. Позтому и числа зпр Ь [1 (РЕ)1 и [пЕ Ь [1 (РЕ)1 вполне определены, причем они сами являются значениями Ь [1 (ПЕ)1.
Если зпр Е [1 (ПЕ)1 = [п1 Е [~ (РЕ)) (т. е. если 1 [1 (РЕ)1 однозначен), то имеем Х, [1 (.РЕ)1 = 1 [1 (.0Е)1, и получим понятие предела, указанного в гл. П (п. 8). 4. Данное в гл. П (п. 22) определение суммы ряда сейчас следует дополнить. В случае неабсолютно сходящегося ряда допускается всякое значение от — оо до +ос в качестве значения суммы ряда. После етого символ (Н/)(РЕ) определяется дословно, как в гл.
П (п. 11), и понятие интеграла вводится с помощью формулы (бр) ~ [(пе) = ц(н[) (пе)1. 5. Далее, положим ~ 1(с[Е)=вар~ 1ФЕ), в в Если~=), то просто пишеи~=~ и получим тогда интеграл в смысле гл. 11. 6. Что касается сформулированных в гл. П (п. 14) свойств интеграла, то сейчас они имеют место со следующими изменениями. Свойство 1 теряет свое значение, ибо теперь каждая дифференциально определенная функция интегрируема.
Из однозначности и конечности интеграла вытекает его однозначность на любом множестве из %Е. 134 ее. еессаедоеаиие ноиатин интеграла Свойство 11 остается справедливым, если учесть данное в гл. 11 (п. 11) правило сложения многоаначных функций. Свойство 111 теряется, в то время как 1Ч, Ч, Ч1, Ч11 остаются верными. 7. Что касается верхнего и нижнего интегралов, то на подробном рассмотрении их свойств мы здесь не останавливаемся.
Отметим лишь, что при любом разбиении РЕ имеют место соотношения ) !(с)Е)=зпр~~' ~ |(йЕ„), ~ Р(с)Е)=1п1,)~ Р~ )(дЕ„). Е о Е Е и Е Если соответствующие ряды сходятся абсолютно, то анаки зпр и |н1 можно опустить. Если же абсолютная сходимость не имеет места, то интегралы в левых частях равны положительной (соответственно отрицательной) бесконечности. Таким образом, конесний верхний или нижний интеграл обязательно является аддитивной функцией множества. Добавление 1!.
К ОБОСНОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ 1. Мы здесь хотим показать, что определение производной одной аддитивной функции множества по отношению к другой можно ввести независимо от всяких геометрических свойств соответствующих областей их задания. Так как мы не собираемся развивать общую теорию, то для ясности изложения сделаем предварительно несколько ограничительных предположений. Пусть Р— аддитивная система множеств, ср (Е) — определенная там конечная неотрицательная и аддитивная функция и ! (х)— измеримая относительно Р функция точки (ср. гл. 11, п.
42), не превышающая по абсолютной величине некоторой константы, скаже.и 1. Тогда для каждого Е из Р существует интеграл ф(Е) =(Р) ~ у(х) с!ср(дЕ), причем, как легко видеть, ) ф (Е) ( < ср (Е). (2) Измеримая относительно Р функция 1(х) называется производной от ер по отношению к ср, 1 (х) = ф (аЕ разор (с|Е) если она удовлетворяет (1) при всех Е из Р. 2. Сперва докажем, что (если пренебречь множествами Е с ср (Е) = О) производная единственна.
Другими словами, если 1д. Исследование нонлтил интеграла 1г (х) и /е (х) обе удовлетворяют (1) и 6 обозначает то множество, где 1г (х) т- 1е (х), то гр (6) = О. Действительно, имеем ~ ((,— (,)(*) рО(Е)=О Е для всех Е из Е и согласно п. 19 нз гл. 11 также ~ ))г — ре) (х) гр(с)Е) = О. Е Отсюда легко следует, что при каждом е ) О множество б„где !1, — 1е( > е, удовлетворяет условию гу (6,) = О. Следовательно, имеем также гр (6) = О, что и требовалось доказать.
3. Докажем теперь, что ~ (х) = г)г (г1Е)~гр (г(Е) суи)ествует, как только гр (Е) аддитивна и выполнено неравенство (2). Для етого мы укажем способ ее построения, который между про- чим может служить для определения производной в более общих ситуациях. Функция 1 (х) будет построена для конкретного множества Е, однако построение легко распространяется на все остальные мно- жества из Е. Построим сначала функцию ~ (РЕ, х), зависящую от точки х и от разбиения РЕ=~Ееи Для етого положим н ( (РЕ, х) = е)г (Ен)(г(г (Е„), . х ~ Е„, причем если г)г (Е„) = О, то ~ (РЕ, х) = О.
Для любого з ) О най- дется разбиение РЕ такое, что для каждого его продолжения Р'Е выполняется неравенство У = ') И(РЕ х) — 1(Р'Е ))а р()Е) ( . (3) Действительно, пусть Р'Е = ,'~~ Р Е, = ~ч';~~~ Е„. и н т Тогда имеем )(Е ),е гр (Е„) ) т т 17. Об определении среднего Функция дрг (6))ф (6) на Е интегрируема, ибо в силу (2) она совпадает с функцией дрв (6)(шах (ф (6), др (6)), которая удовлетворяет условиям предложения из гл. !! (п. 36). Поэтому разность в конце выражения (4) может быть сделана меньше е за счет подходящего выбора ВЕ, что и доказывает наше утверждение.
Так же как в обычной теории сходимости в среднем, легко установить, что иэ (3) вытекает существование функции ! (х), для которой имеет место 1 ~ (((х) — ~(ВЕ, х))в ф(г(Е) = 0 (предел понимается, как и выше, в смысле предела по Муру для функции разбиения ЙЕ). Эта функция ! (х) удовлетворяет требованиям принеденного в п. 1 формального определения производной, 6 февраль 193п г. ЛИТЕРАТУРА 1. Еедевбие Н. Ьедопв впг !'ш!езтамоп е! 1а гесЬегсЬв йев 1опсд!опв рпш!Ичев.
2ей. Рагы, 1928. Рус. перл Лебег А. Интегрнрованне н отыскание прнмнтнвных функций. М.; Лл ГТТИ, 1934. 2. Егесйег М. Япг Г(пдв3га1е й'ппе (опсд!оппеПе едвпйпе а пп епвешЫе аЬвдгам.— ВпИ. Яос. пдадЬ. Ргапсе, 1915, чо1. 43, р. 248. 3. Вигдп! Х. Е. ТЬе йег!ча!1чево1 1ппсддопв о1 ш!егча1в.— Рппй. пдадЬ., 1924, чо1. 5, р. 321. 4. Мввге Е. Н., Егапа Н.
Е. А Еепега1 дЬеогу о1 1пп!ду.— Ашег. 1. МадЬ., 1922, чо1. 44, р. 102; ср. также: Е(алвунввсний С. О. Введение в аналнв. Одесса, 1923. 5. Еввддй Н. Е. Оп дЬе ех!епв1оп о1 Яд!е!!)ев шдейта1.— Тгапв. Ашег. МадЬ. Яос., 1925, чо!. 27, р. 491 — 515. 6. Не!!днбег Е. !тепе Веатйпйпп8 йег ТЬеог1е дпайгад(всЬег Роппеп чоп ппепй!!сЬч1в!еп Чегапйег!(сйеп.— Х. ге!пе ппй ап3едч. МадЬ., 1909, Вй. 136, Я. 234. 17 ОБ ОПРЕДЕд!ЕНИИ СРЕДНЕГО" Все, известныо типы средних, такие, как, например, средние арифметическое, квадратическое, геометрическое, гармоническое и т.п., имеют вид / ф(хд)+ ф(хв)+... + ф(х„) М(хд, хв,...в х„) = др !1 и где ф — непрерывная строго монотонная функция, а ф — обратная к ней.
" яш 1а по!!оп йе !а шоуеппе.— АИ1 Ассай. пав. Ь!псе!. Кепй., 1930, чо1. 12, Х 9, р. 388-391. Представлено Г. Кастельвуово. Перевод В. дд. Тихолвирвва. 17. Оз определении среднего В этой заметке будет показано, что каждый тип среднего, если только он удовлетворяет нескольким естественным условиям (аксио.мам среднего), необходимо имеет вид (1). Далее будем предполагать, что функция М„(х„х„..., х„) или просто М (х„..., х„) определена для любого и ~~ 1 и любых значений х„х„..., х„, лежащих в интервале а ( х ( Ь.
Полученный далее результат распространяется также и на средние, определенные на бесконечном интервале — оо ( х ( оо, а - . х ( оо, — оо ( х ( Ь (к таковым относятся средние арифметические и геометрические). Доказательство в этих случаяхдолжно быть лишь слегка изменено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
