Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Таким образом, необходимое и достаточное условие диффе» ренциальной эквивалентности двух функций состоит в обращении в нуль интеграла для их разности на любом С, взятом иэ ИЕ. Полагая Ь = ~ — у, сведем наше утверждение к следующему. 19. Для любой функции Ь (Е) ие справедливости условия гд. егееледоеание понятия интеграла для всех 6 иэ %Е вытекает соотношение ~ (Ь (йЕ) (= О или, нто то же самое, Ь (сгЕ) = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу интегрируемости Ь на К суще- ствует е-регулярное разбиение РЕ, для произвольного продолжения которого имеем впр )(Вй)(Р'Е) ) ( е. Я утверждаю, что тогда для каждого 0' ) Р справедливо впр (В ) Ь () (Р'Е) ( 4е, что докажет наше предложение.
Допустим противное, т. е. что существует такое продолжение 0'Е, для которого выполнено вор (В ! Ь !)(Р'Е) = вор ~ ( Ь (Е„) ( ~ )4в. Тогда из совокупности Лг всех индексов и можно выбрать подсистему ЛХ с впр~~ч~й(Е„)):» 2в. Для каждого индекса и из )е" — М = 0 выберем такое 0(н>Е„, чтобы имело место впр ) (Вй) (РоеЕ„) ) ~ з/2", и положим 0"Е = — ,'Р~ Е„+ ~ 0'"~Е„.
м ь Как легко видеть, справедливо впр1(ВЬ)(РЕ) (> впр ~ Х Ь (Е„) ~ — ~вор(ВЬ)(РооЕ„) () в, т Ъ что является противоречием, поскольку 0"Е есть продолжение для РЕ. 20. Интегрируемая на К функция ~ (6) дифференциально экви- валентна своему неопределенному интегралу на %Е р(а)= ~/Фа). о Действительно, ~ Р (дб) = Е (С) = ~ ~ (с)0) с с 16. Исследование занятии интеграла и благодаря п. 18 имеем 1 (дЕ) = Р (дЕ). Верно также обращение этого предложения: если на ййЕ функция 1 (С) дифференциально эквивалентна некоторой аддитивной функции Р (Р), то иа п.
18 вытекает, что Г)(дЕ)= (р(йЕ)=р(Е). 21. Таким образом, получаем Второе определение интеграла. Интегралом для 1" на Е назыеаетея аддитиеная функция на ЕЕЕ, яеляюгцаяся дифференциально эквивалентной функции Г. Из только-что доказанного следует, что такая функция, если она вообще существует, однозначно определена и что второе определев ние интеграла эквивалентно первому.
ЗАМЕЧАНИЯ О БЕСКОНЕЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛА 22. В п. 10 был оговорен смысл выражения «функция разбиения РЕ сходится при неограниченном продолжении разбиений к ~ос». Чтобы получить определение бесконечных значений интеграла, однако, вряд ли будет целесообразно ограничиться заменой в определении в п. 12 понятия предела из п. 8 на определение из п. 10. Более естественный путь состоит в таком обобщении определения абсолютной сходимостн, которое позволяет учесть и бесконечные значения римановых сумм (его (РЕ). Кроме того, уместно также отбросить требование конечности интегрируемой функции и, следовательно, рассмотреть -Ьоо в качестве допустимых значений функций. Итак, введем следующее определение: Ряд Хи.
назовем абсолютно сходящимся в расширенном смысле в следующих случаях: а) если он сходится абсолютно в обычном смысле; Ь) если сумма его положительных членов равна + оо, в то время как ряд из отрицательных членов абсолютно сходится в обычном смысле. В этом случае ряд по определению сходится к + оо. Меняя ролями оба знака, получим абсолютно сходящиеся к — оо ряды; с) если некоторые члены равны + оо, в то время как остальные сходятся в смысле а)или Ь) к конечному вначению или к + оо.
Аналогичным образом получается случай — оо. 23. Кроме модификации определения абсолютной сходимости, определение для (с«1) (РЕ) остается прежним, в то время как опре- ед. Иеееедоеание поиитип ииоееграеа деление интеграла с использованием данного в п. 10 определения бесконечного предела в остальном проводится, как в п. 12. 24. Что касается свойств интеграла 1 — Ч11, то только Ч, Ч1 и Ч11 сохраняются в точности, причем в формулировке для Ч1 понятие аддитивной функции следует понимать в естественно расширенном смысле: функция ~ (С), принимающая для каждого С ив%Е однозначно определенное, но возможно бесконечное значение, называется аддитивной в расширенном смысле, если для каждого разбиения .СС выполнено равенство в смысле обобщенной абсолютной сходимости согласно определению из п. 22.~ 25.
Свойство 1, вообще говоря, отпадает, как видно из следующего примера. Предположим, что %Е состоит из двух непересекающихся множеств Ее и Ез, Еъ + Ез = Е причем 1 (Ег) = ~ 1, Г' (Еа) = + оо. Очевидно, что интеграл для Г на Е равен + оо, в то время как интеграл на Ее не существует вообще. Свойство 11 сохраняется с тем ограничением, что из существования левой части вовсе не вытекает существование правой. Свойство 111 сохраняется, за исключением того случая, когда правая часть принимает вид (+ оо) + ( — оо). Свойство 1Ч верно, если )о отлично от 0 и ~ со. 26. Второе определение интеграла, основанное на понятии дифференциальной эквивалентности, нельзя расширить на тот случай, когда допускаются бесконечные значения интеграла.
Все же сохраняется предложение: Если имеет место г; (о(Е) = (з (аЕ), то функции или обе ннтегрируемы, или обе неинтегрируемы, причем в первом случае выполнено ~~~(йЕ) = ~~,(ЙЕ). Е Е 15 НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМООТИ. ПОЛУАДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 27. Однозначная функция, принимающая, возможно, и бесконечные значения, называется лолуаддитивной вверх, если для любого разбиения 1)С множества С из а)1Е выполняется неравенство ((С) ~ Х1(С„), ' причем ряд в правой части должен абсолютно сходиться в расширенном смысле (разбираемом в п. 22). Если при тех же условиях имеет И2 1Е. ееееледоеание понятия интеграла место неравенство Па) (ХЛа.), то т' называется полуаддитивной вниз.
Когда ~ (С) полуаддитивна вверх, то — ~ (6) полуадднтивна вниз и наоборот, отсюда вытекает возможность в большинстве случаев ограничиться изучением одного иэ этих двух классов функций. 28. Для функции ~, полуаддитивной вверх, имеем для всех Р' ) Р (Е1) (Ра) ) (Ф ) (Р'а).
В самом деле, пусть Р~=3~„, Р'Р = — Х~„„, тогда (ЕФРа)=Х~(а,) ~ ~ХХДа ) = (ЛД(Р'а). Для полуаддитивной вниз функции очевидно справедливо обрат- ное соотношение. 29. Каждая полуаддитивная на йкЕ функция интегрируема на Е. Действительно, пусть ~ полуаддитивна вверх. Как легко видеть, число Р = 1п[ [(ЕД (РЕ)1 удовлетворяет определению интеграла ~ ~ (йЕ). Для полуаддитив- ной вниз функции имеем соответственно ~ ~ (йЕ) = зар [(Е~)(РЕ)1. Эти факты являются частными случаями следующего утверждения: Если однозначная функция ~ (РЕ) является невозрастающей, т.
е. если из Р'Е ) РЕ вытекает неравенстпво у (Р'Е) ( ~ (РЕ), то [ [1 (РЕ)1 = [п[ [1 (РЕ)1, в то время как для неубывающей функции имеет место равенство [ [~ (РЕ)1 = зпр [1 (РЕ)1. 30. В предположении, что ~, ~м ~з,..., (н являются аддитивнымн, функции [1(6)[ н + у Л(Р)+Л(б)+ +Й(С) полуаддитивны вниз. Достаточны несложные выкладки (с особым учетом случая, когда появляются бесконечные значения), чтобы убедиться в этом. ге. ггееяедоеаяпе понятия интеграла Следовательно, для аддитивных на гяЛЕ функций 1, 1Ы 1»,..., )„ существуют интегралы ~ [ [(аЕ) [, ~ 'г' фйЕ) +... + ~'„(дЕ).
к Е Первый из этих интегралов есть полная вариация для 1' (6) на множестве Е. Представление полной вариации аддитивной функции в виде интеграла восходит к Радону, однако без указания точного смысла, в котором берется интеграл. Второй из наших интегралов назовем совместной полной ваРиаЦией фУнкЦий 1и )г,..., 1п. 31. Если ИЕ является аддитивной системой множеств (т. е.
системой множеств, содержащей все разности и конечные или счетные суммы своих элементов), на которой определена конечная и аддитивная функция 1 (6), то, как известно, также конечна полная вариация для ~ на Е. Напротив, как видно иэ простого примера, для общих систем множеств бйЕ из конечности и аддитивности 1 (6) на »кЕ вовсе не следует конечность ее полной вариации. Пусть Š— полуоткрытый отрезок О ( х(1, а система цйЕ состоит из всех отрезков а ( х( Ь с О ( а ( Ь ( 1. Рассмотрим какую-нибудь непрерывную функцию 1 (х), имеющую в точке О бесконечную вариацию (к примеру, положим ~ (х) = х з)п (1/х)), и определим функцию интервала ~ [а, Ь) через приращение ~ (х) на [а, Ъ): 1 [а, Ь) = 1 (Ь) — 1 (а).
Легко убедиться, что ~ [а, Ь) аддитивна на %Е (единственное сомнение, которое здесь могло возникнуть, касается разбиений интервала [О, Ь): оно сразу устраняется тем, что любое разбиение указанного отрезка содержит непременно элемент вида [О, а[,и так как все остальные элементы отдалены от опасной точки О, то аддитивность и здесь сохраняется). Так как очевидно (ййЕ) ) У (йЕ) '[=+ то наша цель достигнута. 32. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы каждая иг аддитивных функций ~» (6), 1» (6),..., 1п (6) имела ограниченную вариацию, является конечность интеграла 1 = ') У ['(йЕ) + Й (йЕ) + + Й(йЕ).
Для доказательства достаточно заметить, что, с одной стороны, и силу [ у» [ ( 1 1л» +... + д имеем ~ [6(аЕ) [(У, сд. Исследование нонннсин иннссгрола а с другой— Т =зир[(Е 151, '+... + у'„)(РЕ)) ~(ч~~зир[(Л(1н() (РЕ)) = =Х~ )УнЦИЕ). и е 33. Если положить 2 ~~[1( )(+1( )1' ф( ) 2 1К(~( )[ ( )1' то для аддитивной функции р (6) ограниченной вариации получим обычное представление в виде разности двух неотрицательных функций: 1(6) = ц (6) - ф (6). 34. Из дифференциальной эквивалентности двух функций 1 (6) и 1" (6) вытекает непосредственно дифференциальная эквивалентность их абсолютных величин ) 1' (6) ! и (р" (6) !.
Из этого замечания следует, что если ~ (6) на множествах из ВЕ обладает конечным интегралом г" (6) (который согласно п. 20 дифференциально эквивалентен 1 (6)), то имеет место соотношение ~~П Н=~(Р(йЕН Ю Е Полная вариация, таким образом, может быть определена для каж- дой функции, имеющей конечный интеграл. 16 НЕКОТОРЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ОБ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЯХ 35. 1. Пусть 1г (6) ~г (6) ° ° 1„(6) — определенные на лсЕ конечные аддитиеные функции ограниченной вариации и ср (хм хю...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
