Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 20
Текст из файла (страница 20)
9. Для 1 (РЕ) существует предел тогда и только тогда, когда вы- полнен критерий сходимости Коши, а именно: для каждого е ) О ге. Исследование понятия интеграла существует «е-регулярное разбиение РЕ», т. е. такое разбиение, для которого из Р' ) Р всегда следует э епр! 1 (РЕ) — 1 (Р'Е) ~ ( е. »О. Данное вьппе определение легко обобщается на случай 1 = ~ оо. Положим г У (РЕ)1 = + если для любого Н + оо существует такое РЕ, что при Р' ) Р выполнено,' $пт [Г (Р'Е)] ) Н. Аналогично определяется отрицательно бесконечный предел.
т 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОИСТВА ИНТЕГРАЛА т». Пусть функция ) (Е) определена для всех элементов разбиения РЕ. Введем обозначение (В~)(РЕ) = Х1 (Е.), в случае многозначной функции Г многозначным будет и (ВГ) (различные значения для (В)) получаются, если при суммировании для каждого Е„берутся все различные значения ~ (Е„)). Чтобы приведенное выше обозначение имело смысл, предполагается «,что ряд справа является абсолютно сходящимся при любом выборе значений функции ~ (Е„). Выражение (ВГ) (РЕ) можно назвать суммой Римана для Г, отвечающей разбиению РЕ. 12. Интеграл для Г' на множгппве Е по отношению к данной системе й)с положим по определению равным (%) )Г(аЕ)=г((Ю(РЕ)), Е где предел понимается в смысле п.
8. Букву (йл) перед знаком интеграла чаще всего можно опустить, поскольку все рассмотрения, в которых одновременно участвуют несколько интегралов, относятся всегда к одной и той же ал-системе. »3. Ясно, что интеграл не может существовать, если функция (В/) не определена для любых продолжений хотя бы одного разбие- г При этом разиость двух миогоаиачиых выражений принимает все зиачеиия, являющиеся разностью двух значений данных выражений. е Следует при этом оговорить, что для пустого миожестаа есе рассматриваемые функции принимают только нулевое зиачеиие. Это соглашение необходимо з любой алдитиаиой теории функций множества, ииаче, в частности, ие существовала бы ии одна интегрируемая Функция.
лд. Исследоеание игнатие интеграла ния РЕ. Что касается функции 1, то в определении интеграла исполь зуются лишь ее значения для элементов системы икЕ, достаточно даже ограничиться значениями, которые она принимает на всех элементах любых продолжений некоторого разбиения РЕ. Совокупность этих последних множеств обоаначим через ЖРЕ.
Ясно, что ЗЮЕ является подсистемой для %Е и в свою очередь лк-системой. Функцию мно- жеств, определенную для всех элементов некоторой системы ййРЕ, назовем определенной на йкЕ дифференциальным образом — илн короче дифференциально определенной функцией. Тогда необходимое условие, при котором интеграл для 1 на Е существует, состоит в свойстве ~ быть определенной на ВЕ дифференциальным образом. 14.
Свойства интеграла. 1. Если существует интеграл для ~ на Е, то существует также интеграл для ~ на любом множестве иг йЕ. Доказательство этого свойства проводится вместе с доказатель- ством следующего свойства. П. Интеграл является аддитивной функцией множества, т. е. для каждого рогбиенил РЕ имеем ~д((ЫЕ) =,'~', ~ ) (ЙЕ„), (1) Ь' п Е при этом иэ существования интегра а в левой части этого равенства вытекает существование всех интегралов в правой части (последнее утверждение совпадает с утверждением в 1), а также абсолютная сходимость ряда иэ этих интегралов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, допустим, что сущест- вует интеграл для 1 на Е, т. е. что (В1) (РЕ) сходится к определенному пределу при неограниченномпродолженииРЕ. Тогда в силу и. 9 для каждого е ) О существует е-регулярное разбиение РЕ, для каждого продолжения Р'Е которого имеем зпр ~(В1) (Р"Е) — (В1) (Р'Е) ~ ( е. Я утверждаю, что разбиение Р'Е„также е-регулярно. В самом деле, пусть РтЕ„представляет собой продолжение для .Р'Е„, тогда, как легко видеть, впр)(В1)(Р Е„) — (В3)(Р'Е„) ) с' <вп ~(В~)(Р Еп+ Х Р'Е„) — (В1)Хг(Р'Е )~ тип т = зпр ~(В))(Р™Е) — (В))(РЕ) ) (е, где Р™Е, очевидно, есть продолжение для Р'Е.
Так как для каждого е ) О существует в-регулярное разбиение Р'Е„, то при каждом и также существует предел для (В() (РЕ„), т. е. интеграл 1„для г на Е„. Выберем для каждого и такое разбие- ние Р„Е„, что для любого продолжения Р„Е„справедливо апр ) (В)) (Р„Е„) — 1„) ( ~/2".
(об 1б. Исследование нонятил интеврела Сейчас положим Р'Е = ~ 1)„Еее Для произвольного" продолжения 1)"Е аи г.Р„Е„этого разбиения оче- видным образом выполнено неравенство внр )(Е1)(Р"Е) — Я е'„( (лепр )(Щ)(Р„Е„) — Хн) (е, иа которого следует, что интеграл для 1 на Е совпадает с величиной Хгн, что и требовалось доказать. 111. ~ [~~(ЫЕ) + ~~ (ЕЕ)) = ~ ~~(йЕ) + ~ ~~(ЕЕ), и и Е при етом из существования правой части следует существование ле- вой. 1У. ~ Ц(ЮЕ) = й ~ г (ЕЕ). Е Е У.
Если справедливо 1г (Е) ~ )1г (Е) для всех множестпа, на которых одновременно определены обе функции г, то имеем таклсе ~6(йЕ) > ~6(ЕЕ). У1. Интеграл для аддитивной на %Е функции совпадает с ней. Чц. Пусть заданы функция 1 и последоватяельность функций 1гв 1г, ° ., 1н...
тиакие, Что ' ° р ((Е ) ~ — ~„)) (РЕ))-О тогда ~ 1„(с(Е) Г)1(ЕЕ) (и- ), Е Ь причем из существования интегралов в левой части последнего соот- ношения вытекает существование интеграла в правой части. Все эти свойства вряд ли нуждаются в доказательстве. 13 ПОНЯТИЕ ДИФбвЕРЕНЦИАЛЬНОИ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 15. Мы увидели, что, если 1 на Е интегрируема и, следовательно, определена на некотором ПРЕ, то ее интеграл РФ) = (д1(йо) о в Неравенство 1 (Е) ) 1 (Е) означает, что каждое значение Р (Е) бильжо любого значения 1 (Е)б в Знак гкр здесь обозначает точную верхнюю грань значений (И (1 — гн () для всех ВЕ и фиксированного и.
16. Исследование яонятия интеграла $07 является аддитивной функцией, определенной для всех множеств О системы нкЕ. Естественно возникает вопрос: каковы связи между функциями Х и г"7 Ответ на этот вопрос получается с помощью следующего О п р е д е л е н и я. Дифференциально определенные на ИИ" функции 1 (6) и д (С) называются дифференциально эквивалентными, если для каждого е ) О существует такое разбиение РЕ, что для всех Р' ) Р имеет место вп р ~х ! Х (Ен) у (Е ) ! е ' е. Свойство дифференциальной эквивалентности может быть выражено короче в следующих двух формах: г ((Л ! Х вЂ” у !) (РЕ)! = О или ~ Р(дЕ) д(дЕ) ! = О.
Наконец, введем еще следующее обозначение для дифференциаль- ной эквивалентности на икЕ двух функций Х и йт 1 (РЕ) = у (ЫЕ) (ФЕ), где (вйЕ) опускается в тех случаях, когда исключено недоразумение. 16. Дифференциальная эквивалентность удовлетворяет условию транзитивности, т. е. ив Х(с(Е) = у(ЙЕ) и д(сХЕ) = Й(с(Е) следует, что Х (дЕ) = Ь (ЫЕ). Действительно, существуют такие Р,Е и РэЕ, что для их продол- жений Р,Е и Р,Е справедливы неравенства эпр (В ! У вЂ” д !) (Р,Е) ( е/2, впр (В ! у — й !) (Р,Е) < е/2.
Теперь без труда можно убедиться, что для произвольного продолже- ния РзЕ разбиения РаЕ = (РгРя)Е имеет место неравенство зпр (Е ! Х вЂ” й !) (РгЕ) < е, что и требовалось доказать. $7е Чтобы более полно охарактеризовать понятие дифференциальной эквивалентности, докажем еще следующее П р е д л о ж е н и е. пусть функция ср (хы хт..., х„) от п вещественных переменных удовлетворяет условию 'Лиишица ! ~э(хи хе,..., х„) — ср(ум уг,..., у„) ((К,~~! хь — уь!. еб..йееледоеание понлтил интеграла Если функции ~м ~2,..., ~„и ~;, )2,..., ~„' на чкЕ дифференциально определены и удовлетворяют условиям ~2 (НЕ) = [2 (НЕ), то Ф (НЕ) = <р ф (ЫЕ), ~2 (дЕ), ..., Г'„(с[Е)1 = = Ф' (дЕ) = т М ( Е), й (дЕ), .
1' (с[Е)) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного е ) О существуют разбиения В2Е со свойством, что при всех ее1 Рь зпрХ[[2(Е2 ) — )2(Е2 )[< е(пК. Каждое продолжение еО'Е разбиения Рм л)2~ ° .~ .~~п) Е является также продолжением любого разбиения из 02Е, откуда следует неравенство зпр,у~[Ф'(Е ) — Ф(Е ) [(з т и из него непосредственно наше предложение. 18. Из соотношения (1) для дифференциально эквивалентных функций ~ и у вытекает, что для каждого С из'УйЕ справедливо ~ [Цда) — у (И) [=- О с и согласно свойству Ч интеграла (п.
14) 1 [1(да) — у(да)) < О, 1 [у(да) — 1(да)1 (О, о о ~ [~ (аб) — д (аье)[ = О. с (2) Если одна из двух функций ~ и у интегрируема, то очевидно ~1И6) = ~у(д~). 1Ь(да)=О Мы хотим сейчас показать, что и, наоборот, из справедливости (2) для каждого 6 следует дифференциальная эквивалентностьфункций ~ и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
