Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Положим ф (х) = +1 на интервалах ~ —, — ), Оя — 1 2я — 11 32о ' 62о /2й — 1 о[и (х) = — 1 на интервалах ~:, —,1, где л — произвольное ~ 6 2' ' 3.2'~' целое положительное число. 6'. Определение функций щгч1 Пусть 1~[(т, 1(д(3.2', 1(1(3 2'. Таким образом, общее число функций ~р,ж равно и = ~ (3 2')' = 12 (4 — 1). 1=1 И вЂ” 1 т') Положим ~р,х = ор, на интервале гя 3 2 3.2~/ ~ры,— — ~Ф„, сс=т+94 +32'.д+Уьа (1, г) Гг — 1 г на интервале ~ —,— 1), г~ ~у, где берется знак (+), если ~ 3 2' '32'~' ЕУ1о(Е, г)=1, и знак ( — ), если У1р(1, г)=Я1т(1, г).
7'. Определение коэффициентов аоб 1 а .=-+ = — ргт,3,2' где берется анак (+), если 1 ( 1 ( 2 2', и знак ( — ), если 2 2' < ' ( 1 ( 3 2'. 8'. Чтобы сумма (6) обладала свойствами, указанными в основной лемме, возьмем в качестве ее членов а,др,т,. (х), общее число которых уже было определено в п. б'.
Определим сумму квадратов 12. О сходнхостн ортовонояьннх рядов 80 коэффициентов: т з з~ з.з~ а~ов=1) ~~ ~~ —,=1. т.э 4 Итак, условие 11 основной леммы выполняется. 9'. Чтобы доказать, что функции вры, попарно ортогональны (условие 1), нам потребуется три леммы, в которых формулируются свойства.
функций зрв (х) (см. п. 5'). Лемма 1. з з з" $ ф(х)Их=О, з-1 когда г.:= и. з з" Лемма 11. 8 з 1 з]ч,(х)ф,(х)Их=О, когда взчивзв вз~>п. з — з Лемма 1П. з з з" $ (ф(х)]здх= — „. 3 2" з з" Во всех этих трех леммах й и и суть целые положительные числа. В дальнейшем нам понадобится еще Л е м м а 1У. Множество точек х интервала ( —,, —,), Сд — 4 Е (32' 32 где сумма о(х) = ~ аьфвз(х) Зча положительна, имеет меру, ровную мере множества точек того же интервала, где гта сумма отрицательна. Здесь предполагается, что у есть некоторое целое число и все вз больше или равны в (о и вз— целые положительные числа).
12. О сяодимости ортогоиояьиия рядов Докавательство леммы немедленно получается из очевидного соотношения о( д, — у)= — о( — '' ( у) которое заведомо выполняется для всех иррациональных у. 10'. Чтобы доказать, что две функции ф,оА, фцо,ь ортогональны, нужно отдельно рассмотреть следующие случаи. П е р в ы й с л уч а й: 1, ч~ 1г. Положим для определенности /Ь вЂ” 1 Ь) 1 ) Ц и рассмотрим интервал ~ —, — ). На этом интервале 1 о 326 326/ имеем фдоА = ф„що,~, = фг„где 1 и т„вообще говоря, зависят от 1с. Каково бы ни было й, из определения фон (см.
п. 6') следует, что 1 чь 1, 1г )~ 1,; поэтому из леммы 11 следует, что на каждом из рассматриваемых интервалов интеграл от произведения фг,о,;,, ф/ „, равен нулю, откуда получаем, что две функции ф..оА, фьо,г, ортогональны на (О, 1). Второй случай: 1г = 1, =1; дгчьдг. На интервале /с — 1 /г :,, —,) имеем ф/оА —— грг„ф/ гь = фг„где 1,,Э 1, 1, ~ 1, 1, ~ сг; следовательно, на этом интервале интеграл от произведения ф~,,„ф/вь/, также равен нулю и две функции ф/, А, ф4о,ь ортогональны на (О, 1).
ТРетий слУчай: 1,— (г=1, д,=до=у, 1,чьгг. Повторяя рассуждения двух предыдущих случаев, видно, что на каж- /Ь вЂ” 1 Ь) дом интервале~ —, — ), кроме двух исключительных интерва- 3 2г 3.2~/ лов, интеграл от произведения фаоАф/~,„ равен' нулю. Один из исключительных интервалов соответствует случаю /с = д, и на этом интервале имеем фыь — — ф/ть — — ф~ (см. п. 6'). Следовательно, в си- 1 лу леммы 111 интеграл от) произведения равен + —. 3 2 Второй исключительный интервал есть интервал, для которого согласно соотношению (8) У,,„(гм /с) = Ум (1, /с).
На этом интервале имеем фыь — — — ф,дг, — — ~ф/ (значение 1 определяется согласно п. 6'). Следовательно, в силу леммы 111 интеграл от произведе- 1 ния равен — —, . Итак, видно, что в третьем случае две функции фьо,я и ф~,„также ортогональны на (О, 1). 11'. Определим для каждой функции фюг фундаментальную точку х/г посредством условий: 2о — 1 х,о; —,, когда 1~2 2 > 6 2 вд. О сходимости ортогоияяоиих рядов хон — —, когда 1) 2 2. Я 3 2! Занумеруем функции ~рм~ в порядке убывания хсоо Функции имеющие одинаковые фундаментальные точки, могут быть занумерованы в произвольном порядке.
Занумеруем, кроме того, коэффициенты а,о, и точки хая в том же порядке, что и соответствующие функции гры;. Рассмотрим сумму и ~ аьгрь (х), п = 12 (4"' — 1), (6') я=1 где ая и грт суть аы, и «рм,, занумерованные в указанном выше корядке. Докажем, что сумма (6') обладает всеми тремя свойствами, сформулированными в основной лемме. Свойства 1 и 11 уже были получены в п. 8' и 19'. Остается доказать, что сумма (6') обладает свойством П1.
12'. Пусть д — некоторое целое число. Обозначим через х„(1 ( ( )с ( п) точки х,о„занумерованные в том же порядке, что и члены Гд — 1 аггрд (х), т. е. справа налево. Рассмотрим на интервале А =~в 62 — ~ частную сумму 62 ) Рд ~', аьть(х), (9) состоящую из всех членов а„~ря (х), для которых соответствующие фундаментальные точки хя лежат правее Л. (Так как хя занумерованы справа налево, существует целое число рю не зависящее от точек интервала Л, и таков, что сумма (9) обладает указанным свойством.) Для каждого значения 1(1 (1 ( вг) существует одно и только одно целое число д, для которого интервал Л содержится в интервале (~ —, ~ 1, Для некоторых значений 1 интервал Л целиком ле- ~32 32') д 1 жит в левой половине интервала ~ —, — 11, тогда как для дру- 32' '32'/ тих значений 1 этот интервал Л содержится в правой половине ( —. —, — ~ .
Рассмотрим некоторое значение1, для которого Л содерт — 1 о 32~ 32'. жится в левой половине указанного интервала. В этом случае для всех значений 1(1 ( г ( 3 2') точки хм, расположены правее Л (см. п. 11'), и, следовательно, в сумме (9) содержатся все члены г вида а~оргтг. Среди этих членов 2.2 первых равны+,, тогда 1/ог 3 2в как другие 2' членов равны —, (см. и. 6' и 7'). 1/т 3 2' 13. О оходоггогти орогогонаяьних рядов 83 Следовательно, сумма всех рассматриваемых слагаемых равна 1/31/ т. Рассмотрим теперь такое значение 1, для которого А содержится 1Ч вЂ” 1 Ч~ в правой половине ~ —, — ~ . В этом случае правее А расположены 1321 32г/ только точки хы,,имеющие индекс 1 ) 2 2 .
Следовательно, в сум- 1 ме (9) содержится только 2' членов вида аы13гы1, и все эти члены положительны, так как алв и ~„, отрицательны. Сумма рассматриваемых членов равна '/а у'и. Таким образом, получается то же самое значение, что и в предыдущем случае. Обозначим через Х' сумму всех тех членов в (9), которые были до сих пор рассмотрены. Из предыдущих рассуждений следует, что Е' = '/я )/т для всех точек из А. Затем рассмотрим сумму 2' тех членов в (9), которые не вошли в Х'. На интервале А каждый член аягр, (х) из Х" равен некоторому выражению аД>в„(х), где гг ) т (см.
определение функций ~рап в п. 6'). Следовательно, в силу леммы 1У функция Х"неотрицательна на множестве, мера которого равна половине длины интервала А, и поэтому вся сумма (9) больше или равна Чз 1/ж по крайней мере на множестве меры, равной Ч ( А ). Таким образом, свойство 111 основной леммы доказано. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 11 1'. Обозначим для некоторого и через аг„и ~р„„(х) числа ах и функции ~Р„(х), удовлетворяющие условиям основной леммы.
Положим для произвольного интервала 6 = (а, Ь) рая( Ь вЂ” а) ' Сумма я ,~~ аа„гра„(хг 6) г=ь 1пп — = О. г1г (я) 1ов н (19) обладает теми же свойствами, что и сумма (6) основной леммы, нужно только заменить интервал (О, 1) на 6 и множество Е на множество Е(6), тезЕ(6)=Ч,!6(. 2'. Для доказательства теоремы 11 рассмотрим какую-нибудь положительную функцию И' (и), подчиненную единственному усло- вию го. О оходимооти ортогоиаяоиих рядов Очевидно, существует бесконечная последовательность целых положительных чисел и„(т = 1, 2, 3,...), которая обладает свойствами: и-г Х и;(и„ Иг(и) ! — <— !оа и тв (12) для п) ио. Положим (13) Согласно соотношению (11) имеем Л"„, ( 2ио.
(14) 3'. Определим числа аи и функции гр (х) следующим образом. а) Для п(и, аии, а„= ', гр„(х) = гртч (х). ~Г!оз и, Ь) Принимая, что аи и гр„(х) уже определены для и ( Л' и предполагая, что интервал (О, 1) разделен на конечное число ин- тервалов 6, на каждом из которых все функции гр (х) (и ~ Л'„,) сохраняют постоянные значения, положим для Л~о, <' п ( Л'и: аао а„ = .
~ , гр (х) = грь (х, 6) !оа и на каждом из интервалов 6, где га = и — Лг„,. Свойство функций гр„(х) быть постоянными на некоторых интервалах 6, полученных разбиением (О, 1) на конечное число частей, сохраняется на каждом шаге; поэтому можно последовательно определить функции гр„(х) и коэффициенты а„для всех значений и. 4'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
