Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В самом деле, допустим, что В ложно, тогда А не может быть истинным, так как из А следовало бы В, но из ложности А следовала бы истинность В. 66 и. О иииициие еегйит иеи аа$иг но область применения уже. Все дальнейшее посвящено выяснению области применимости частной логики суждений. Эта область, мо- жет быть, и несколько уже, чем область применимости принципа 1ег$1пш поп йа1пг в гильбертовой форме. А-+А (А-В)-ЦА В) Я) (27) Акс. 5 (28) (Я А) ((Я Я) Л) А (В А) А (Я А) Ае (А-гА) (Я А) ЦЯ Я) А) Акс.
1 (29) (29) (28) (30) А ЦЯ Я) Л) (А (В С)) (В (А СВ Акс. 3 (31) [А ЦЯ Я)-Я))-ЦЯ-Я)--(А-А)) [А-+((А -+ А) — и ЛН вЂ” +((А -+ А)-г(А-эА)) А ((Я Я) А) (Я ~ Я) — » (А — ~ Х) А А Я Я (31) (30) (32) (27) (33) (А — э Л) -э (А -э А) Я Я А г[ (32) (33) (34) (А В) — (В Я) (10) (35) (А А) (А А) (А-гА)-+(А-г А) (35) й 2. Введем символы А', В', С",..., обозначающие произвольное суждение, для которого из двойного отрицания его следует само суждение. Таковы финитные суждения. Таковы же все истинные суждения; это, впрочем, не найдет применения в дальнейшем. Браузр показал, что таковы все отрицательные суждения (см.
[8)). Доказательство, приводимое ниже, опирается только на аксиомы системы 9. На основании аксиом следования легко доказать формулу 9, 0 припчипе 1еекит поп аа1иг Последняя формула доказывает, что все отрицательные суждения суть суждения типа А'. Система аксиом р отличается от системы й), имеющей универсальную применимость, только аксиомой двойного отрицания. Для суждений типа А она выражается следующей формулой: (37) А' е- А'. Только эту формулу мы рассматриваем как истинную, формулу же (4) считаем необоснованной. Но из сказанного еще не следует, что все формулы частной логики суждений верны для суждений типа А'; в самом деле, при их выводе аксиома двойного отрицания (4) применяется не только к элементарным суждениям, что для нашего случая суждений типа А' узаконено формулой (37), но и к сложным формулам; между тем иеиэвестно, является ли, например, формула типа А'-+.
В' формулой типа А'. (38) Акс. 3 (40) ((О) (40) (42) (43) (44) $3. Мы докажем теперь, что всякая формула, выраженная в символах А', В', С',..., следования и отрицания, является формулой типа А'. Для этого достаточно разобрать два простейших случая. Во-первых, всякое отрицательное суждение есть суждение типа А' в силу брауэровской формулы (36). Во-вторых, мы сейчас докажем, что суждение типа А' — и В' является также суждением типа А'. (А В) (А е В) (27) (39) (А (В С)) (В (А С)) ЦА В)-(А ВП (А ((А В)-ВП ((А- В) — (А- В))- [А- ((А — В)- В)] (39) (А В) (А В) 38 х ее е) чу~ ( ) (41) (А В) -е(В А) (В А) -~ Д-~ В) (А В) (В' А) (В А) (А З) (41) (А В) (ее З) (А В) (А В) (42) ((А В) В) -е((М З) 3) А — ~ ((А -+ В) -+ В) (40) ЦА В) — » В) ((Х 3) 3) (43) А (~Л .Ь) е З) 9.
О принципе еепиипе поп йа«ие (А е (В С)) [В е (А СЦ [А ((ЛГ 3) В)] [(А -е В) (А 3)) [А -н ((А -и'В) -+ В)] - ((Л Б) -+ (А -+ В)) (44) Эта формула верна для произвольных суждений А и В. Заменяя А и В через А' и В и пользуясь формулой (37), легко вывести фор- мулу (45) (46) (Х В')-+(А'- В'), (47) которая н показывает, что суждения типа А' -»- В принадлежат к типу А'. Восходя постепенно к более сложным формулам, можно доказать утверждение начала параграфа. $4. Теперь можно утверждать, что все формулы частной логики суждений верны для суждений типа А', в том числе для всех финитных и для всех отрицательных суждений. В самом деле, символы А', В, С,..., А' — 1- В' и А' допускают все те операции, что и символы общей логики суждений: подстановку вместо символов А', В', С', ...
любой формулы, написанной в рассматриваемых символах, и вывод по схеме «5-»- Й, еэ ] Ж; кроме того, для них верны все шесть аксиом 9. Этим найдена точная граница области применимости частной логики суждений: область эта совпадает с областью применимости формулы двойного отрицания (4). Ъ й. МАТЕМАТИКА ПСЕВДОИСТИННОСТИ й 2. Мы построим рядом с обычной математикой новую «псевдо- математику» так, что каждой формуле первой соответствует формула второй, и при этом так, чтобы каждая формула псевдоматематики была формулой типа А . Пока мы не касаемся вопроса об истинности формул псевдоматематики; к нему мы вернемся в 3 5 этой главы.
$ $. В предыдущей главе мы установили, что все формулы традиционной логики суждений могут быть действительно доказаны, как формулы частной логики суждений. Следует только признать, что они имеют отношение лишь к суждениям типа А . При этом сами эти формулы оказываются формулами типа А'. Теперь ставится вопрос: можно ли аналогично, наложив некоторые ограничения на их реальное толкование, восстановить значимость всех тех формул математики, которые доказываются при помощи незаконного применения формул частной логики суждений, в частности принципа «ег«1пш воп «]а«пг, вне области их применимости? Эта задача оказывается выполнимой. В.
О ирилчиое гегиит яоя еотиг 59 Формулой называется символ простой или сложный, выражающий суждение. Элементарными формулами, или формулами первого порядка, будем называть формулы, никакая часть которых не является формулой; такова формула а = а. Формулой п-го порядка будем называть формулу, части которой являются формулами порядка не выше п — 1.
Например, формула а = Ь е- (А (а) -~- В (аИ есть формула третьего порядка, так как ее составная часть А (а) -е- -~ В (а) является формулой второго порядка. Элементарной формуле ю соответствует в псевдоматематике формула (48) яе — ф выражающая двойное отрицание ю. В дальнейшем для удобства мы двойное отрицание б будем обозначать через пю. Формуле п-го порядка Р (юп бт,..., юг), где юг (вг Ьг — формулы не выше (и — т)-го порядка, соответствует в псевдоматематике формула (49) Р (Ьм 8т,..., 6т)е ви пр (Ь~', 8т,..., Зг~), .причем ю",, бте,..., б' считаются уже определенными. Например, формуле а = Ь -+ (А (а) -~ В (а)) соответствует в псевдоматематике формула .
и (п (а = Ь) -ь п (пА (а) -ь пВ (а))). Каждому символу, не являющемуся формулой, также соответствует определенный символ псевдоматематики. Символу простому или сложному, никакая часть которого не является формулой, в псевдоматематике соответствует тождественный ему символ. Сложному символу, в состав которого входят формулы, соответствует символ, в котором все формулы Ь заменены формулами Фе.
$ 3. Все формулы математики выводятся из аксиом '4, которые мы обоаначим Оп 'мт,..., Юг, при помощи операций подстановки частных значений вместо переменных и вывода по схеме то, 8-1. -+ ю ) и,. Аксиомам в псевдоматематике соответствуют формулы е е е (тг, Ют,..., Цт Мы докажем, что всякая формула псевдоматематики, соответствующая формуле, доказуемой на основанииаксиомО, является следствием формул Ое.
для доказательства достаточно установить следующие два факта. Во-первых, если при подстановке в формулу то вместо переменных частных значений получается формула Й, то при подстановке ы В число аксиом математики здесь включаются и все аксиомы логики. 60 д. 0 эриициэе манит пт йа1иг в формулу Ь* на соответствующие места соответствующих формул и символов получается формула л,э. Во-вторых, аналогично схеме Ь, б-» ь 1 а. верна схема (5О) Яэ (Я ф)э 1 фВ В самом деле, (51) так как Ь* и э.* являются формулами типа А', то по формуле (47) имеем (Ь*-~йэ)-~(Ь* -» З"), ея (б Юэ -~.
(Же Т") (52) (53) й 4. Пяти аксиомам общей логики суждений соответствуют в псевдоматематике следующие формулы: (. п (пА -э и(пВ-» иА)). 2. и (п (пА — и (лА — лВ)) -» п (лА — » пВ)1. (54) 3. и (п (пА — » п (пВ -» лС)) — » п (пВ -» п (пА -» пС))1. 4. и 1п (п — » лС) — » п (и (пА — » пВ) — » п (пА »- пС))1. 5. п 1и (лА -»- пВ) -»- п (и (пА -» п (пВ))-» л (пА))). Формулы эти могут быть получены посредством подстановки пА, лВ, вС вместо А', В', С' из следующих: $.
п (А'-~- п (В -»А )). (55) 5. п (п (А — » В') — » п (п (А -» пВ ) » п.4 )1. Формулы (55), как формулы частной логики суждений, мы имеем право доказывать, пользуясь всеми аксиомами 9 или всеми аксиомами Гильберта. Доказательство их не представляет затруднений. Таким образом, все формулы (54) оказываются истинными. Из этого следует, что все формулы псевдоматематики, соответствующие истинным формулам общей логики суждений, истинны. $ 5. Все известные нам аксиомы математики обладают тем же свойством, как и аксиомы общей логики суждений: формулы, соответствующие им в области псевдоматематики, истинны. Например, Таким образом, мы видим, что всякому правильному доказательству в области обычной математики соответствует правильное доказательство в области псевдоматематики.
Отсюда вытекает истинность выставленного в начале параграфа предложения. 9. О припиипе Гегмип поп ое«иг аксиоме (а) А (а) — А (а) соответствует истинная формула и (и (а) иА (а) — ~- пА (а)). Будем называть аксиомы, обладающие формулированным выше свойством, аксиомами типа И.
Назовем далее формулами типа И формулы, доказуемые на основе аксиом типа И. Все известные нам аксиомы и формулы математики м принадлежат к типу И. В силу сказанного выше та часть псевдоматематики, формулы которой соответствуют формулам типа И, приобретают реальное значение: все формулы ее истинны, так как они являются следствиями истинных формул, соответствующих в псевдоматематике аксиомам типа И. Название «псевдоматематикая для этой ее части, только пока и существующей, становится неподходящим: она как собрание истинных формул является частью настоящей математики. Будем называть суждение псевдоистинным, если истинно его двойное' отрицание.
Суждение типа и6 утверждает таким образом псевдоистинность суждения 6. Формулы псевдоматематики выражают всегда только суждения о псевдоистинности. Мы имеем право назвать поэтому ту часть псевдоматематики, которая имеет реальное вначение, математикой псевдоистинности. 6 6. В обычном изложении математики ряд выводов получается посредством незаконного употребления формул частной логики суждений, например принципа тета)пш поп йагпг. Все зти случаи, как было показано, могут быть сведены к употреблению принципа двойного отрицания 6.
А -яА. (4) Рассмотрим те из этих выводов, которые, кроме незаконной формулы (4), опираются только на аксиомы типа И. Формулы, их выражающие, будем называть формулами типа И'. Построим формулы псевдоматематики, соответствующие формулам И'. Все они будут следовать из формул Це, соответствующих аксиомам типа И, и из формулы (56) и (и (пА) — ~- иА), соответствующей формуле (4). Формула (56) является истинной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
