Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Возможны два случая. 1) На некотором совершенном множестве меры нуль У функция Р (х) имеет ненулевую простую вариацию а. Обозначим через е' (Р, У, а, Ь) простую вариацию Р (х) на порции У, содержащейся между а и Ь. Предположим, что некоторая порция У расположена между точками А и В и для нее )е (Р, У, А, В) ) О (случай е'(Р, У, А, В) ( О аналогичен). Положим ф (х) = х + шах У (Р, У, А, а) для А < х ( В, А<а~а для х(А, ф(х)=х+ Р(А) ф(х)=х-)- шах е'(Р,У,А,а) для х)В.
я<а<в е Простая (з)шр)е) вариация введена А. Даижуа [4) и для совершеииогв множества .у равна е" (зпр яо) — р (1п1 у) —,~~ (р (Ьз) — р (аз)), гяе (аз Ы— з дополнительные интервалы множества яо (иа отрезке [!п1 Я, зпр яо)) и посзедиин ряд абсолютно сходится.— Примеч. нер. б. О границах обобщении иитагра*а Окончание этого доказательства аналогично предыдущему доказательству. Для обратной функции ф (х) справедливо свойство 5. Обозначим через )',) множество значений чр (х) на предложенной порции множества У.
Легко видеть, что Р (ф (х)) имеет положительную асимптотическую проиаводную на некотором подмножестве () положительноймеры. Сдругой стороны, (Р (чр (х)))' = / [~р (х)) чр' (х) = = О на (), за исключением, быть может, множества меры нуль. Противоречие получено. 2) Вариация Г (х) неприводима на некотором совершенном множестве меры нуль 'У. В этом случае можно найти функцию чр (х), удовлетворяющую условию 5 и такую, что функция Г ( р (х)) не имеет асимптотической производной на некотором множестве положительной меры. Конструкция функции <р (х). Множество () получается путем замены переменной из множества У,, являющегося частью У.
Мы определим множество с помощью правильной системы сегмгнгпов. Мы назовем так систему сегментов Я=— (Л;,;,;,г ), обладающую следующими свойствами: пусть („(„..., („, фиксированы, („ меняется от 1 до Л';,й.;,. Сегменты одного и того же ранга (с фиксированным числом п) не пересекаются и расположены в порядке возрастания индекса („. Каждый сегмент Лай„; содержится в соответствующем сегменте предыдущего ранга Л;,й л Сегменты первого ранга содержатся в сегменте й с концами а и Ь. У, есть множество всех точек, принадлежащих бесконечному числу сегментов Л.
Сегмент Л;,с, отображается в некоторый сегмент б;,й .; . Порция множества Ум содержащаяся в первом сегменте, отображается в порцию множества Ч, содержащуюся во втором сегменте. Обозначим меру этой порции через егА, е . Числа е должны удовлетворять следующему условию: и ний "' и Х ейд..л а=ейй л . ' '" и "'и Предположим еще, что и=к ,~~, е„=с=1. а=1 ' Понятие приводимости вариации также принадлежит А. Данжуа (4).
Вариация Е (х) приводима ва совершенном множестве Я, если для любой порции,У существует ее подпорция, для которой простая вариация Р (х) существует.— Примеч. игр. б. 0 границах обобгиеииа иитеграаа Если все числа е определены, то мера порции Ч, соответствующей какой-либо порции У„ определена единственным образом.
Обоана- чим через е (х) меру порции ге, соответствующую порции бз„содер- жащейся между а и х. Более точно: для точки х, лежащей между двумя сегментами ранга и, определим е (х) как сумму всех чисел е, соответствующих сегментам ранга п, лежащим левее х. Функция е (х), непрерывная и возрастающая, определена тем самым на всех смежных интервалах множества У,. Доопределим е (х) на 9о, по непрерывности. Функция, обратная к функции гр(х) = х + е (х), является иско- мой функцией ер (х); очевидно, что она удовлетворяет условию 5. Определим сегменты А~а; и числа егА; следующим способом аг ' " 'и по индукции. Предположим, что Ь„ь е и е;,„.; уже определены.
ОпРеДелим Целое числоЛ'„.„;, сегменты йлб,, е и и числа еа;,„,г а. Взяв Дг;,;, „,; достаточно большими выбрав сегменты"соответствующим образом, можно добиться, чтобы выполнялись следующие условия: 1. Каждый сегмент Ь;А„, и содержится в Ь„;,, г и содержит совершенную порцию множества У. 2. Длина Ьг,ь е а меньше 1/и. 3. Сегменты Ь|А л и не перекрываютсяирасположеныв порядке возрастания индекса й. 4. Обозначим через го„г,,; и и ю;А л а минимум !Р(х) — Р(у) ), где х принадлежит 4,~,„,о и, а у принадлежит Ла„.,л а г для ю' или ЬеА 1 ьы для в".
Обозначим далее через ю;,„.,гиа наибольшее из чи- ,сел и', ги". В этих обоаначениях потребуем, чтобы а=и, ю„., л „=И,„., -.ле,„, л. а=1 '"и "'" ' "'и' Определим еще иаь..ааа е;;, ге= "е;,;, При и = 1 берем единственный сегмент Л, = Ь и е, = 1. Так определенные числа е удовлетворяют предшествующим условиям. Определив таким образом функцию гр (х), покажем, что в каждой точке плотности множествачфункция Р (ер (х)) не имеет асимптотической производной.
В самом деле, такая точка х содержится в последовательности сегментов б;,„. „г с возрастающим индексом л. Мера е;,„г порции множества Ч, содержащейся в сегменте беА, г, отличается от длины етого сегмента на величину, которая является бесконечно малой более высокого порядка, чем зта длина (в силу того что х — точка 6. 0 границах обобщения интеграла 3'й плотности Ч). Предположим, что соответствующее число пйй й й больше или йй. 'а равно гей й; (противоположный слуйй и чай аналогичен). В этом случае игй,г, г = цч1, й (йрй,г,,, й,й,а значит, по построению чисел е: е,,; ( й й..'и ( ей й , й „. Значит, длина сегмента йй.
а 6,,;„может превосходить длину сегмента 6 ; ; „ только на величину, й й ° йа+ которая является бесконечно малой более высокого порядка, чем их длины. Расстояние между этими сегментами также является величиной бесконечно малой по отношению к этим длинам. С другой стороны, ввиду свойства 4 сегментов Л и определения чисел е и иг имеем а' а' ... ' о а',.у "й 'Ч Итак, для получения дальнейших обобщений упорядоченного интеграла необходимо иметь более общее определение производной, чем асимптотическая производная. Я приведу здесь определение производной, приемлемое для этой цели.
Это определение лишь демонстрирует возможности обобщения интеграла Данжуа с сохранением всех свойств упорядоченного интеграла. Глубокое изучение определений такого рода еще предстоит осуществить. Вначале следует обобщить понятие плотности множеств. Вез потери общности можно ограничиться изучением плотности справа от начала координат. Пусть р = ф (х) — функция, имеющая такие две первые производные, что ф(0)=0; ф'(0)=0; ф (х))0 для х)0. В этом случае каждому множеству Е„на оси у соответствует множество Е на оси х и наоборот.
Можно доказать следующие утверждения: (ф(х)) Е(ф(уН ~ » «Жгйг..ля«» Ряе. й «ейй,„л (л — 1) для каждого у, принадлежащего сегменту 6;,, й „. Отсюда легко следует, что функция Е!ф (х)) не имеет асимптотической производной в точке х (см. рис. й). Заменяя свойство 6' свойством 6', которое требует, чтобы ~ (х) совпадала с обычной производной Р'(х) всюду,за исключением, быть может, множества меры нуль, получаем определение интеграла, эквивалентное первому определению Данжуа. ,32 Е. О границах обобщения инагеграла 1) если Еа имеет определенную правую плотность в точке О, то множество Е„также имеет определенную плотность, которая равна плотности множества Еи', 2) Е„может иметь определенную плотность, в то время как Еа таковой не имеет. В связи с этим становится естественным ввести такое определение обобщенной плотности: в качестве обобщенной плотности Еэ в точке О брать обычную плотность Е, если она существует.
Однако такое определение зависит от выбора функции гр (х). Эта ситуация подобна возникающей в суммировании расходящихся рядов: может случиться, что для двух различных функций гр плотности множества не совпадают. Мы должны, таким образом, выбрать определенную функцию гр(х). Чтобы исключить неопределенность, ограничимся функцией у=гр(х)=епн если О(х(Ь; /д (х) = х//д, /д (х) = 1, /д (х) = 1 — (х — '/г)//д, /д (х) = О, /д (х + 1) = /д (х); грд (х) = Л/д (х/Ь), ( ) = грд„(х), если гд ( х г/а.' если г/г ( х ( г/г + г/г если Ч, + /д ( х ( 1; ф1 (х) = О для всех /г ( и; если удовлетворяющей приведенным условиям при х (1. Это выавано тем, что данная функция обладает таким свойством: если Еэ с помощью функции у=е и" отображается в множество Е„определенной плотности, то с помощью другой произвольной функции оно отображается либо в множество, плотность которого равна предыдущей, либо в множество неопределенной плотности.
Это показывает, что данный метод определения обобщенной плотности приводит нас к таким же результатам, как и все другие методы. Чтобы продвинуться дальше, нужно будет, по-видимому, ввести новые аксиомы для плотности. При помощи введенного определения обобщенной плотности 'легко получить определение производной более общее, чем определение асимптотической производной. Можно показать, что такое обобщение производной приводит с помощью метода з 3 к определению интеграла, более общему, чем у Данжуа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
