Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Можно показать без труда, что 11ш шез Е„= 2и. а ю Москва, 2 июня 1922 г. Итак, для каждой точки х из о„интеграл (4) по абсолютной величине больше, чем 2. О лорадао огяинини ногу/11иционтоо ряда Фурье — Лгбгга О ПОРЯДКЕ ВЕЛИЧИНЫ КОЗФ!а)ИЦИЕНТОВ РЯДА ФУРЬŠ— ЛЕБЕГА * Известно, что коэффициенты Фурье суммируемой функции стремятся к нулю. В этой заметке я докажу следующее предложение относительно рядов по косинусам. 1. Для любой последовательности (а„)„— т, сходящейся к нулю, найдется такая последовательность (а„')~, что 1) ! а„((а„'; 2) ~~~~ а'„сов пх нси есгпь ряд Фурье суммируемой функции.
Рассмотрим ряд а /2 + а, соз х + ... + а„ соз пх + . (1) Обозначим гьгь = аа ан+тг л йа ~и+1 Применяя два раза преобразование Абеля, получим два ряда 60 1 Г1 А вш((2л+ 1) х/2) 2 г1 ! 2 гйн (х/2) 1 ~'1 й 1 / вш((и+1) х/2) )в 2,1 ! " 2 ( в!н(х/2) она Если выполнены условия вш((2л+1) х/2),, / в)н Ил + 1) х/2) )е 2 в!н (х/2) „1 ь!а (х/2) то ряд (1) сходится одновременно с рядом (3). Зти условия выполнены всюду, кроме точек х М О (шой 2н), если а„-ь. О и, следовательно, А„-и О.
Если ряд ~ (А„) сходится, то ряды (3) и (1) сходятся к некоторой ив Г функции 1 (х) всюду, кроме х ви О (шой 2п). Заметив, что ва ( (я' ~/ сйн((л+1)х/2 )в 1 ( + 1)~яь ( 2 ) " ~ в!н (х/2) о (2) (3) получаем утверждение: о 8нг 1'огйге йе атанйеиг йев соебйс1еа!и йе !а вепе йе Ранг!ег — ЬеЬев8ие.— ВнИ. Асай. ро!. век А,' 1923, р. 83 — 86. Представлено В. Серпинснин.
Перевод П. Л. ояьялооа. 2. О нарядив веяичими иовфб)ициентов ряда Фурье — Лебееа 13 П. Если ряд ,'Р~ (и + 1) ( й„( сходится и коэффициенты а„ я 1 стремятся к нулю, то ряд (3) сходится к суммируемой функции. Значит, ряд (1), сходяецийся к суммируемой функции / (х), исключая точки х ш О (шой 2п), есть ряд Фурье — Лебега. В частности, если все /ь„положительны, то ое ~~~~ (и+ 1)(А„(= Я (и+ 1)еь„=ао.
Следовательно, 1П. Если коэффициенты ряда по косинусам стремятся к нулю и их вторые разности положительны, то этот ряд есть ряд Фурье— Лебега. Так как для любой сходящейся к нулю последовательности (оя) найдется такая сходящаяся к нулю последовательность (а„), что а„) ( а„') и вторые разности положительны, то предложение 1 докааано.
Замечание 1. Пусть ряд ео ~ а„соз пх = / (х) иэ Г удовлетворяет условиям предложения 11. Положим х = ту + и/2. Тогда /(ту+ — ) = р ( — ае„гз(п(4п — 3)ту+а,„гзш(4п — 1)ту)+ нси ое + ~~1, ( — ае„-о соз (4п — 2) ту + ае„соз 4пту). я=1 Первая сумма есть ряд Фурье — Лебега для / (ту + п/2) — / ( — ту + я/2) 2 е в частности, если т = 1, видим, что ряд — а, з1п у + аг'з(п Зу — а,з(п 5у + ае зш 7у... есть ряд Фурье — Лебега.
3 а м е ч а н и е 2. Остаток ряда (1) равен 1 ~ч й / з(и((я+1) я/2) )г 1 / г(а((и+ 1)яД) )е 2 ~„1 " ( Ми (я(2) / 2 " ~ ыв (я/2) э=и+1 эш ((2и + 1) х/2) БЬ('72) 14 2. О иорядке величина когвгвгициенпое ряда Фурье — Лебега Если выполнено условие предложения 11, то имеем 2Л гг Ъ 1пп ~ ~ ~) Ав( . ) ~г2х =1пп 1) и()с+ 1))Аг)=О, О В= +1 в и+1 11ш ~ ~Ь„( . ) ~дх =11ш я(и+1))А„)= о г =11ш я(и+1)~ ~ Ав~ ~(1(ш я ~ (Й+1))йв)=О. 2=» о=п В этом случае ~ (Х„~ с(х стремится к нулю вместе с о 2Л ~ ~ яп((2»+ 1)х/2) ~ о и, следовательног вместе с (а„~ 1оби. 12г.
Если Я п ) гя„) сходится, то условие п=1 11ш а„1оя п = О и г необходимо и достаточно для сходимости ряда (1) в среднем [ио метрике И. Таким образом, иэ двух рядов Фурье — Дебета г гг Е Е... сов нх ~ч сов пх Тои и ' ~ г ~(1 н)1»о п=в и 2 второй сходится в среднем, а первый нет (см.
111). 3 декабря 1922 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Ванаеа Я., Ягеонааиг Н. Япг 1о сопгеглепсе вп гпоуоппе.— Впй. Асад. вс1. Стасов)в, 1918. 8. Замечания и исследованию сходимости рядов Фурье 15 ЗАМЕЧАНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ* Положим, как обычно, о„= 9 + ~ь (а„соз Ьх + Ьг з(н Ьх), Гча Зо+ Зь + .. + З -г о„= 1. Т е о р е м а. Если последовательность целых чисел п,„(т = = 1, 2, ...) удовлетворяет условию и гlп ) )ь) 1, чь, ~ (Е„т — а„)гах.
т=г о Рассмотрим частную сумму ряда (1) с номером р. Имвом р он нт — ~ (Š— о„)г йх = ~' —, ~~, Ьа (аг + Ьгг) = тча О т=г т г=г н> = э Йв(аг + Ьг) ~ — + 2 а г 1 1 1 + ° ° ° + ~ ° ~ нв ня ня Вся г а+г (2) где и определяется неравенством птг — г Ск «(птг в 11во совгг1Ьэ11оа а 1'огайо йе1а соатогэоаса йез айьйев йа Роэг!ег.
Уивй. нга1Ь., 1924, чо1. 6, р. 96 — 97. Перевод П. А. Виноградовой. то для ряда Фурье всякой функции, интегрируемой с квадратом, последовательность Е„,н сходится почти всюду к данной функции. Д о к а з а т э л ь с т в о. Известно, что последовательность (о„) сходится почти всюду к данной функции, поэтому достаточно доказать, что последовательность (Е„ — о„ ) сходится почти всюду к нулю. Но легко видать,что это — результат сходимости следующего ряда: 4.
0 сввдилвсюи рвавв Фурье (3) то видно, что равность (3) стремится к нулю при т -ь- со. ? октября 1922 г. О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ е Совместно с Г. А. Селиверстовым Харди И) доказал следующую теорему: Если ряд С ,'~~ (а'„+ Ь'„) (1оу и)' в Вот 1а совчегзевсе бев гег1ев бе Рош1ег.— С. г. Асао. вод Рапв, 1924, че1. 1?8, р. 303 — 306. Представлено А. Лебесем. Перевод, и. А. Вииогразввоа. Очевидно, что 1 1 г 1 1 ?,ь 1 ьь < — — < —— ье Хь — 1 1сь Х' — 1 ' "жг и, следовательно, сумма (2) не превосходит г=ь ~г, (аг+ Ьг). н г Это влечет сходимость ряда (1) и наше доказательство завершено.
П. Т е о р е м а. Если в ряде Фурье — Лебега отличны от нуля только члены с номерами пм (последовательность и удовлетворяет неравенству в условии теоремы 1), то ряд почти всюду сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если рассматривать только функции, интегрируемые с квадратом, то теорема 11 немедленно следует из теоремы 1; но утверждение верно для всех интегрируемых функций. Последовательность о„почти всюду сходится, следовательно, нуж- но только рассмотреть разность м — 1 )Ю „,— о„)~(~ — „' ()а„„)+ )Ь „)). г=г Так как ) а„„) + ) Ь„„) стремится к нулю при Й ~- оо и, с дру- гой стороны, ~в — г тв-г 17 4.
О сходимоети рлдов Фурье сходится, то ряд ~ (а„сов пх+ Ь„в(п пх) (1) сходится почти всюду (исключая множество меры нуль). Из работы Д. Е. Меньшова [2) нам известно, что для общих ортогональных рядов множитель (1он и)' нельзя заменить на функцию ю (и), удовлетворяющую условию ю (и) = о [(1од п)й). В настоящей заметке мы докажем, что в случае тригонометрических рядов множитель (1оа и)' может быть заменен на (1од п)й+е.
Л е м и а. Пусть дана тригонометрическая сумма Я(х) = ,'~~~ (айсов[сх+Ьйв[в[сх) (и) 1), у=1 тогда имеем 1 е„„с*) с* < )се с.с 2 (4-> с)). о в=.й В этом выражении сг (х) есть произвольная целочисленная функция, принимающая значения от 1 до и: сс(х) ой(„) (х) = ,"~~ (а„сов рх + Ь„вш рх), й а С вЂ” абсолютная постоянная. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь неравенством Шварца, получаем, что йл йл йл )с(х) $ ой(х)(х)с[х= — ~ $ о(а) '5 совр(х — а)(1а([х = о о в р 1 йл йл й(х) 1 с" = — ~ Я(а) ~ (~) совр(х — а)([х([а ~ о о в=) / йл йл йл й (х) -.
~)с 1 ~ 5й(а)ла ~ ~~ [)( совр(х — а)([х~ с[а. й г с й Далее, йл йл сс(х) ') [~ ~,~ ~совр(х — а) с[х~ ([а = й о р=й йл йл йл й (х) й (у) = ~ ~ ~,'~~~ совр(х — а),'5~~ сов р(у — а)([у([хна =. О Ойр=й д. О еходимоео)п рядов Фурье оп оа )П)П~В(Х), 1(р)] ох ,Я ~ совр(х — а) совр(у — а)с]ао]хь]у= ОО Р=1 О ох оп Пап12<х), Ь Ю] сов р (х — у) Нхс]у. О О Р=1 Можно без труда доказать, что последнее выражение не превосходит С 1од и, где С вЂ” абсолютная постоянная.
Т е о р е м а. Если сходятся ряди оь Х т(и)(а'„+Ьо„)=А, (2) и 1 и т (л) <, т (и + 1), то ряд (1) сходится почти всюду. Докажем сначала, что частные суммы ряда (1) почти всюду ограничены. Положим 5р,)= ~ (отсевках+ Ьовшдх), 2=23Р р = О, 1, 2,..., 2'Р (1( 2'Р", 22 — 1 Ар —— ,'«~ (ао + Ь'). о 22р В силу леммы имеем хх ~ Яр ц„)(х))]х( У С1оя 22""Ар(С' )Г2"Ар, о где 1 (х) — произвольная целочисленная функция, удовлетворяю)цая неравенству для 1.
Пусть Ф (х) — верхняя грань частных сумм ряда (1), тогда отсюда следует, что 2Л С ~ Ф(х) Их ~С',У~ 'у'Ар2" + 2я() а1]+ ]Ь1!). (4) р=о Ряд справа сходится. Действительно, ;«~~ А т (22Р) ( ~ (аи + Ь'„) т (и) = А, р=о и 1 д. А ксивкатическсе определение интеграла а в силу теоремы Коши в г Ф р=1 е г Кдм и, следовательно, имеем ~/ Арт (2а") — ~ 2 )ГАЛ. с (2в ) Опуская первые члены ряда (4), можно сделать интеграл (4) сколь угодно малым. Это доказывает сходимость ряда (4). 14 января 1924 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Нагйр 6. Н. Оп 1Ьв зпшшаЫ)(гу о1 Роппег'в замов.— Ргос. 1,опйоп МагЬ.
Яоо., 1913, чо). 12, р. 365 — 372. 2. МексьаД В. 8пг )еа веьйеа йе 1опсмопв оггЬо3опа)ев.— Рппй. шагЬ., 1923, чо). 4, р. 82 — 105. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА * Класс функций, определенных почти всюду на действительной оси, назовем классом К, если выполнено следующее условие: 'У с л о в и е К. Если ~ — функция класса К и гр (х) — монотонная функция, возрастающая от — оо до + оо, с ограниченным отношением ср (хв) — и (хг) хв — хг 1 то функция ~ (ср (х)1 ~р' (х) также является функцией класса К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
