Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Последняя функция считается равной нулю при ср' (х) = О даже тогда, когда 1 (ср (х)) не определена. Класс К является Х-интегрируемым, если на этом классе можно определить функционал (Х-интеграл) х ') 1(ш) сЪ о со следующими свойствами. в Ьа йе1(п(1(оп ах(ошаг(цпе 1'(пге3га(е.— О. г. Асад.
зо). Раг1в, 1925, чо1. 180, р. 110 — 111. Перевод В. А. Скворцова. 20 д. Акеиаиаваичеекае анределение интеграла о С в о й с т в а и н т е г р а л а. 1) ~У (а) «[«о = О; о х 2) ~~ (а) дев является непрерывной функцией относительно х; о 3) его Х-производная по х почти всюду равна /; и«х) х 4) ~ 1(св)в[со=~~[«р(а)[«р'(а)«[св, где функция «р(а) удовлетвоо о ряет указанному вьппе условию. Мы предполагаем, что Х-производная является функционалом со следующими свойствами.
Свойства производной. 1) [Р,(х) — Рв(х)[' = = Р, (х) — Р, (х); 2) Множество значений Р для тех точек, где Р' (х) = О имеет меру нуль. Т е о р е м а 1. Некоторой функции г' (х) и процессу дифферен- цирования Х, даже для равных интегрируемых классов К и К„ кажет соответствовать только единственная функция х Р(х) = ) 1(а) с[а. о С х е м а д о к а за т е л ь с т в а. Предположим противное: для интегрируемых классов К, и,К, существуют две различные функции Р, (х) и Р, (х). Х-производная от Ф (х) = Р, (х) — Р, (х) почти всюду равна нулю.
Предположим, что Ф (хо) ) О, хо ) О (другие случаи рассматриваются аналогично). Положим Ч" (х) =х+шахФ(св), если х >О, Оях их Ч' (х) = х, если х ~( О; «р (х) — обратная функция («р [Чв (х)) = х) — удовлетворяет усло- виям, указанным в начале статьи.
Функция Ф [«р (х)[ = Р, [«р (х)1 — Р, [«р (х)) имеет ненулевую производную на множестве положительной меры, что невозможно. Т е о р е м а 11. Д"ля процесса дифференцирования Х су«цествует Х-интегрируемый класс К, который содержит все другие. Т е о р е и а 111. Для асимптотического дифференцирования ин- тпегрируемый класс К совпадает с классом всех функций, тотали- гуемых в смысле Данжуа. 3 а м е ч а н и е.
Мы не даем в этой заметке полного аксиоматн- ческого определения дифференцирования. В результате становится возможным, что различным процессам дифференцирования могут соответствовать различные интегралы. б. О границах обобщения инюевраяа О ГРАНИЦАХ ОБОБЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛА* 1. ВВЕДЕНИЕ 5 1. Рассмотрим ' определение классического интеграла Рнмана: интервал интегрирования (а, Ь) разбиваем на частные интервалы г1ю 1»„..., оз„. Найдем на каждом интервале г1» нижнюю и верхнюю грани функции 1(х): т» и М».
Назовем » =о г= Х Ь»т» »=1 нижней суммой Римана и »=н ~= Х й»М» »гт верхней суммой Римана '. Если верхняя грань величин г, соответствующих всевозможным разбиениям, совпадает с нижней гранью величин Е, эту общую грань называют интегралом от функции 1 (х) по интервалу (а, Ь). Интеграк Лебезя от ограниченной функции можно получить аналогичным образом: интервал (а, Ь) разбиваем на множества .Е„Е„..., Е„. Определим, как раньше, »=н » —.-и г= ~ К»т», о'= ~~~~ К»М». »-1 »» Если верхняя грань величин г, соответствующих всевозможным разбиениям интервала (а, Ь) на измеримые множества, совпадает с нижней гранью величин Я, мы назовем эту общую величину интегралом б ~1(х) дх. а В случае интеграла Римана всякое разбиение с достаточно маленькими интервалами е1 имеет суммы г и Е, отличающиеся лишь на малую величину.
В противоположность этому в случае интеграла Лебега выбор множеств Е» определяется поведением функции. Например, пспользуя обозначения Лебега (3), можно взять Е» = а (1»-г (1 (х) ~ 1») * Зиг 1зз Ьогпзз Йз 1а йбпегз1!зз!!оп йз Г!и!еяга1з. 1925.Псчатззтся впервые. Перевод Т.' П. Лукаюенко. ' Здесь изложзва подробно и полностью моя заметка 111 (см.
статью № 5 паст изд.]. См. также введение в мой мемуар 121 (стагья № 16 наст. изд.). з Здесь й» обозначает длину ивтервзла й». Далее Е» обозначает меру миожсства Е». 22 6. О границах обобщения интеграла Общий интеграл Лебега можно определить методом, подобным двум предыдущим: интервал (а, Ь) разобьем на бесконечную последовательность множеств Е„Е„..., Е» ... Обозначим через г и Я суммы рядов ~~ Е»т», „"~~ Е»М» »=1 »=1 в случае, когда они сходятся абсолютно.
А если эти ряды не сходятся абсолютно, будем считать, что г и 8 не определены, что естественно, так как при различном порядке множеств Е» сумма ряда является совершенно произвольной величиной. Как и раньше, назовем интегралом от / (х) по интервалу (а, Ь) общую грань величин в и Я по всем разбиениям, для которых в и Я определены.
В случае, когда функция измерима, но несуммируема, интеграл от нее порой удается получить методом, аналогичным предыдущему. Как и' предыдущее изложение„непосредственно последующее служит только для пояснения смысла аксиоматического построения, рассматриваемого в данном мемуаре; тут мы только дадим определение интеграла, эквивалентное интегралу, определенному дирихле.
Разобъем интервал (а, Ь) на бесконечную последовательность интервалов А„, Л„..., Л»,..., расположенных произвольно. Множество их концов есть приводимое множество. Определим величины т» и М» для каждого интервала. Назовем выражения т»г» и М»А» элементами нижней или верхней суммы Римана, соответствующими интервалу . г»». При суммировании элементы берутся в порядке следования. Предположим, что среди интервалов А» существует последовательность интервалов Л»а й»,,..., А» ..., таких, что сумма интервалов г»» — также интервал (при этом пренебрегаем счетным множеством точек). Дополнительно предположим, что ряды элементов, соответствующих интервалам Л» сходятся абсолютно к г' и Я'.
Назовем г' и Я' элемента»»и, соответствующими сумме интервалов Л» . Мы определим величину сумм Римана, повторяя трансфинитно изложенный процесс (если это возможно). Потом, отправляясь от сумм Римана, определим интеграл, как и прежде. Предыдущее изложение приводит к заключению, что идея, содержащаяся в понятии обычного интеграла ) / (х) ггх,' сохраняет свой смысл также в случае более общего определения.
Выражение / (х) бх — запись, обозначающая бесконечно малый элемент в сумме Римана, стремящейся к величине интеграла. При предварительном изложении последующих утверждений будем называть / (х) е(х элементом функции. 6. О границах обобтевол интеграла А. Н. КОЛМОГОРОВ. 30-е годы $2. Изложенный здесь конструктивный метод недостаточен для наших целей, которые состоят в исследовании границ возможного обобщения интеграла. Следует применить аксиоматический метод.
В предыдущем параграфе уже намечены два раздела теории интегрирования: 1) теория абсолютного интегрирования, где порядок суммирования элементов функции не важен, 2) теория упорядочен- кого (огйпа)е) интегрирования, где результат суммирования элементов определяется полностью порядком элементов.
Область абсолютного интегрирования может быть определена более точно при помощи следующей аксиомы: величина интеграла не меняется при гаменах переменных, сохраняющ х меру. Можно доказать, что если рассматривать только измеримые функции, то суммирование Лебега является наиболее оба~им процессом абсолютного интегрирования. С определенной точки зрения, которая далее развивается в $4 введения, теория абсолютного интегрирования Лебега не может быть обобщена даже в области, содержащей неизмеримые функции.
24 б. О гриииуих обобщения иитггроли Теория упорядоченного интегрирования может быть определена при помощи следующей аксиомы: если преобразование переменных у = р (х) не меняет порядка и не переводит множества меры нуль оси х в множества ненулевой меры оси у, то тх) х ~г) (а) с)а = ~)'(гр(и)) гр'(а) гга.
Далее используется лишь класс более специальных преобразований, которые представляют собой растяжение интервала действительной оси. Интеграл Данжуа удовлетворяет укааанной аксиоме. Этот мемуар мы посвятим нахождению границ области упорядоченного интегрирования. Сначала можно показать, что упорядоченное интегрирование дает непрерывные примитивные. Рассмотрение разрывных примитивных может оказаться важным для некоторых разделов математики. Но в таком случае придется отказаться от приведенной выше аксиомы замены переменных или же ограничиться некоторым видом симметрической деформации в окрестности каждой точки. В такой теории интегрирования величина интеграла будет зависеть не только от порядка элементов функции, но также от их взаимных расстояний. Для полного объяснения метода последующих исследований осталось сделать несколько замечаний о принципе, который мы назовем принципом единственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
