Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ФОРМАЛЬНАЯ И ИНТУИТИВИСТСКАЯ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ $1. С формальной стороны математика является совокупностью формул (см. [1, с. 152)). Формулы — это комбинации определенного запаса элементарных символов. В основе математики лежат определенная группа формул, называемых аксиомами, и определенные правила построения новых формул, исходя из данных (формул); такими правилами являются внастоящее время вывод по схеме б, Ф -+. 3 ~ 3 и правила подстановки частных значений вместо символов переменных различного рода.
Определенная группа формул в противоположность аксиомам, заведомо «истинным», прианается заведомо «ложной». Система аксиом называется «непротиворечивой», если в результате вывода иэ них, совершаемого согласно правилам, не может получиться ни одной иэ формул, считаемых «ложными». $ 2. Формальная точка зрения на математику утверждает, что выбор аксиом, лежащих в основе ее; произволен и подчиняется лишь соображениям практического удобства, лежащим вне математики У. О лринчит<«<егкипь пел <[а<и» и, конечно, более или менее условным е. Единственное абсолютное требование, предъявляемое каждому математическому учению, это, с рассматриваемой точки зрения, требование непротиворечивости лежащих в его основе аксиом, Истинными называются формулы, доказуемые на основании аксиом, ложными — приводящие к противоречию.
Вопрос о истинности или ложности непротиворечивой, но и недокаауемой формулы с формальной точки зрения не имеет смысла. Существование таких формул указывает на неполноту системы аксиом. Неполная система аксиом может быть пополнена, если это почему-либо желательно, путем признания за аксиому одной из недоказуемых и непротиворечивых формул или, с таким же правом, ей противоположной.
Выбор формулы, принимаемой за новую аксиому, среди различных противоречащих друг другу подчинен таким образом лишь соображениям удобства. й 3. Интуитивистская точка зрения исходит из признания реального значения математических предложений. Аксиомы, лежащие в основе математики, признаются за выражение данных нам фактов. Эта точка зрения допускает формальный метод изучения математических построений как один из возможных, но противоречит формальному взгляду на математику в целом. Совершенно иначе, чем с чисто формальной, решается с интуитивистской точки зрения вопрос о природе недоказуемых, но и непротиворечивых предлох<ений. Пусть для некоторой области математики, например геометрии, дана система аксиом.
Аксиомы эти являются выражением свойств объекта научения, в частном случае — пространства. Пусть далее, некоторое предложение избранной области не может быть доказано на основании данных аксиом, но и не приводит к противоречию. С интуитивистской точки зрения может представиться два случая.
Во-первых, может случиться, что истинность или же ложность рассматриваемого предложения следует из непосРедственного усмотрения; в этом случае можно принять в качестве новой аксиомы данное предложение, если оно истинно, или, если оно ложно, ему противоположное.
Во-вторых, может случиться. что предло»кение неопределенна, т. е. истинность его или ложность не извлекаются из непосредственного усмотрения; в этом случае можно лишь попытаться вывести рассматриваемое предложение из других непосредственно очевидных; если же зто не удастся, то необходимо считать предложение неопределенным, так как возможно, что впоследствии нам придется принять как очевидно истинные аксиомы, из которых можно будет вывести его истинность или ложность, что же именно — неизвестно. ' См. [2, введенне). Влнеск к этой точке зрення н Гнльберт< для него абсс"ютнынн кстнкемн (аЬ«а1п<е ЖаЬ»Ье[<еп) являются лишь предложения «мета- Математики», т. е.
утверждения е непротиворечивости, нс, с другой стороны, " 'Формулы обычной математики (е[яеп<11«Ье Ма)ЬешаЖ), пс его мнению, все же являются выражением некоторых мыслей (0ебапйев) (см. [1, с. 152 — 153[). 9. О принципе «егиипь и«и ла!ит 4 4. Формальная точка зрения выдвигается и в математической логике. Мы в этой работе сталкиваемся с ней именно на почве логики. Тем не менее основанием для формальной точки зрения в математической логике является отрицание реального значения математических предложений. Ц самом деле, к реальности никто не предложил бы применять логические формулы, не имеющие реального значения. Таким образом, поскольку математическая логика признается только формальной системой, формулы которой не имеют реального значения, постольку отделяется от общей логики: формальная точка зрения может существовать только в математике и математической логике, но не в обыкновенной логике, претендующей на значимость в применении к действительности.
Мы же не отделяем от общей логики особой «математической логики», но признаем только, что своеобравие математики как науки создает для логики особые проблемы, которые исследуются специальной «логикой математики». Только в ней возникает сомнение в безусловной применимости принципа 1ег«[шп поп «[афпг.
(2) $ 5. Различие двух установленных точек зрения проявляется уже в области логики суждений. Мы понимаем в дальнейшем под общей логикой суждений науку, исследующую свойства произвольных суждений в отношении их истинности, ложности и процесса вывода независимо от их состава (каждое суждение считается неразложимым элементом исследования). Формальное выражение общей логики суждений осуществляется при помощи символов произвольного суждения А, В, С,..., символа следования А -~- В и символа отрицания А. Гильберт предложил следующую систему аксиом логики суждений (см. [(, с.
153)): Аксиомы следования А (В А). 2. (А-+(А- В)) — »(А- В). 3. (А -+ (В -+ С)) -+ (В -+ (А -» С)). 4. (В-» С)-+((А-+В)-»(А-»С)). Аксиомы отрицания 5. А- (Л-»В). 6. (А- В)- ((А-+В)-+В). Внутренняя непротиворечивость этих аксиом доказывается крайне элементарно (см. [3[). С формальной точки зрения этого достаточно, чтобы принять их за основу общей логики суждений. Кроме того, система Гильберта является полной: она не может быть пополнена без противоречия новой независимой аксиомой.
Точнее: всякая формула, написанная в символах логики суждений, 9. О принципе Геж1ию поп лазит хотя бы такая, как (Л -+ В) -+ (А -+ В), или может быть доказана на основании аксиом Гильберта или же из нее при помощи тех же аксиом можно извлечь следствие А, т. е. истинность произвольного суждения. 3 6. С интуитивистской точки зрения взаимная непротиворечивость аксиом Гильберта отнюдь не достаточна для их признания.
Б следующей главе мы проанализируем источники их значимости для суждений вообще и для частных видов суждений. Из двух гильбертовых аксиом отрицания аксиома 6 в несколько необычной форме выражает принцип гег1(пщ поп базпг. Необоснованность применения этого принципа к произвольным суждениям была показана Брауэромз. Аксиома 5 употребляется только в символическом изложении логики суждений, поэтому критика Брауэра не коснулась ее, тем не менее она также не имеет интуитивных оснований. Таким обравом, вместе с критикой аксиом Гильберта мы должны будем предложить новые аксиомы отрицания, приложимость которых к произвольным суждениям была бы удостоверена.
з См. (4, с. 252). Гильберт тоже считает принцип 1егг!шп поп дагпг в применении к бесконечным совокупностям объектов не очевидным интуитивно. Символически он выражает его в этом случае двумя формулами (а) А (а) ае.(Еи) А (а)е (Еа) А (а) йс. (а) Л (а) (см. [1, с. 153)). Что же касается принципа гегмпш поп ба1иг в общей логике суждений (аксиома 6), то Гильберт ничего не говорит о его интуитивной очевидности; по-видимому, ои считает ее несомненной. Эти вагляды Гильберта не связаны неразрывно с основной чисто формальной его задачей — исследованием непротиворечивости; они кажутся нам неверными.
Во-первых, аксиома 6 не является интуитивно очевидной. Отношение ее к фивитной логике (йвые Ьобря) только кажущееся: в то время как истинность аксиом следования 1 — 4 усматривается независимо от содержания суждений, истинность аксиомы 6, как будет выяснено в следующей главе, требует для своего оправдания привлечения содержания суждений, содержание же зто может быть и трансфивитным. Во-вторых, если аксиомы 1 — 6 призваны, то приведенные вылив две формулы могут быть доказаны при помощи нескольких аксиом, интуитивная очевидность которых не может подлежать сомнению. доказательства мы дадим в главе у, для оправдания же следующих ниже исследований достаточно и первого аргу. мента.
69 р. О принципе еепиига поп аогиг П. АКСИОМЫ ЛОГИКИ СУЖДЕНИЙ 9 1. Аксиомы общей логики суждений претендуют на значимость для всех суждений; следовательно, они должны вытекать из общих свойств суждений. Конечно, зсе дальнейшее является отнюдь не определением основных понятий и доказательством аксиом логики суждений, но разысканием об их интуитивных источниках, пользующимся уже всеми понятиями и приемами логики. Суждение в логике суждений рассматривается как последний элемент исследования. Когда рассматривают суждение независимо от ааключенного в нем синтеза субъекта и предиката, остается единственное характеристическое свойство суждения, отличающее его от других видов высказывания, данное Аристотелем '.
подлежать оценке с точки зрения истинности и ложности. Естественно попытаться вывести аксиомы общей логики суждений, не выходя аа ее собственные пределы, т. е. только из указанного свойства суждения. В какой мере это возможно, мы исследуем в следующих параграфах этой главы. 9 2. Значение символов А -ч-В исчерпывается тем, что убедившись в истинности А, мы обязаны признать истинным и В. Или в формальном освещении: если написана формула А, мы можем написать и формулу э В. Таким образом, отношение следования между двумя суждениями не устанавливает никакого соотношения между их содержанием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
