Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Это значит, что максимальная система гг, соответствующая новой производной, является болев обширной, чем система а". Вот пример примитивной Р (х) нашей системы, которая не является примитивной йг"": б. О границах обобщения интегРала ~~~ $+л2 Рвс. 2 ъу (х) =О, если ъуз' (х) ~ О длЯ некотоРого й ( и; гг р(х)= ~ ф„(х). неь Константы Ь„должны уменьшаться достаточно быстро и отношение Ый„,ь должно быть целым (см. рис.
2). 'ч1 Таким образом, любое обобщение интеграла Данжуа связано с обобщением асимптотической производной. Для поисков границы такого обобщения введем вместо свойства б системы Л' следующее свойство. 6. Если Г (х) имеет асимптотическую производную р' (х) на множестве Е, то она равна 1 (х). Мы обозначим через Х систему Л' обладающую ' свойством 6. Система аксиом 1 — 6 неполна (смотри конец $3), т. е.
в двух системах Лг и Лз оДной пРоиавоДной могУт соответствовать Две Различные примитивные. Но эта система аксиом достаточна для ограничения области упорядоченного интегрирования. Точнее, можно показать, что функция 1' (х), не суммируемая ни на каком интервале, содержагцемся в севмвнтв гь, не может быть проивводной в систвлгв Л'. г Если некоторая функция 1 входит в класс Ь системы Л' и совпадает иа явтеРвале А с функцией 1», принадлежащей классу йа (зто звачит, что оиа тоталвзуема), то првмвтяввая Р может отличаться па а от првмитиввой Ра только ва постоявкую.
Значат, каждый интеграл, удовлетворяющий аксиомам 1 — б, ~~впадает с ввтегрзлом давжуа,если оба существуют. ото яемедлевво вытекает вз пРимечания к разделу И1. 34 б. О грвннцог обобщеннн нненеер ло Д о к а з а т е л ь с т в о. Условимся говорить, что функция Р (х) растет на сегменте Ь = (а, Ь), если для произвольного х, лежащего между а и Ь, Г (а) ( Р (х) ( Р (Ь). (Это определение не соответствует обычному определению, но для нас оно пригодно).
Если функция Р (х) непрерывна и Р (а) ( Р (Ь) для сегмента Ь = (а, Ь), то найдется такой сегмент Ь' = (а', Ь'), содержащийся в Ь, что функция Р возрастает на атом сегменте и Р (а') = Г (а), Р (Ь') = Р (Ь). Допустим, что функция Р, растет на сегменте Ь, = (а„Ь,), а функция Р, растет на сегменте Ь, = (а„Ь,). В этом случае обозначим сегмент 6 = ([Г, (а,) + Р, (а,), Р, (Ь,) + Р, (Ь,)]) через В [ÄÄ܄ܻ].
Допустим, что существует система Я, = [Ь'„Ь„', ..., Ь»1 из конечного числа непересекающихся сегментов, которые расположены в порядке роста их индексов, и пусть функция Г, растет на каждом сегменте Ь,. Предположим еще, что для функции Р, сущест» вует система Я, = [Ь,', Ь'„..., Ьг] с таким же числом сегментов, имеющая аналогичные свойства. Тогда каждой паре сегментов Ь, и Ь, соответствует сегмент »» 6» (ы» 6») В [Г Гз Ь» Ь»] Предположим, наконец, что сегменты 6" расположены таким образом, что р»е') р», а»+] ( р». Тогда сумма сегментов 6» есть сегмент. Обозначим его через В [ЄÄ߄Я,] = 6.
Л е м м а Е Пусть сегмент В [Єû, Я», Я,] = 6' содержит. сегмент (а, Ь) и сегмент В [Гы Рг, Яг, Яг] = 6" содержит сегмент (Ь, с), причем а ( Ь ( с, и пусть системы Я" лежат целиком справа от соответствующих систем Я'. Тогда можно извлечь систему Я, из систем Я, и Я» и систему Яг из систем Я» и Я таким способом, что сегмент В [ЄÄ߄Я,] = 6 содержит сегмент (а, с). Л е м м а П. Если В [Гы Рг, Ь„Ь») = 6, где функции Г» и Р, непрерывны и каждом имеет неограниченную вариацию на любом интервале, содержащемся в соответствующем сегменте, то можно найти системы Яг и Яг произвольно малой меры, содержащиеся в сегментах Ь, и Ьг такие, что В [Єл, Я„Я,] = 6. Д о к а з а т в л ь с т в о. По условию функция Р, растет на Ь, = (а„Ь,) с Г, (а,) до Гг (Ь,).
Разобьем сегмент точкой с, на две 6. О границах обобщения интеграла Т ббкб: ~,Г*)= .) "~„„)„,д„„)) '~ ) ., мт, „~~ й'~'Г7,ИЗ~. Ц(ог) = х е ',~,~и).+ «;,'~~,» Мб.Ж = Х - 'й т~М + т;., (к) Ргае+ггиееоГ 4 ЛаблИА'бее ) г ~Х фн е)аие иа гаюиа биейл4еа Й Фа иегиаа ' /гам4егс еар. саиггяб рееалелльиобб госееабае ф~ ~ж),аТ гее ~х) .~МсфнХМги сеъейсеи„я. МВ~ЙЮВ . А ~ Х' Мй .~мб, г)ма 4~ „Фжн Г..Ъ1хд р' ГФ С"Ц, а ила еЫСг й": сЦбопаг)Й ГО) .гае М и '1 )~бак ~галГоич чепс й..
1Я бирс ~ь~чл, дуиилеегее, ф '.и.ае сеиХАле4~ейлае 6М. Г~~И) аХочХ иаа '"~ангес ие о~а г -й -6е)Е4тс, ейФЪЮХ аеоел. ~вц~рга )гааХииТ -$щ )~ -6» МЙИЧа фай Ег Р,б'Ь,~. б„.бфеОЕЕ РСу) =УККСх)Ы[т) ° 4ГМ;СицЫС! =д. ~а~~~~е,~й бр .фе Же ~а%~,. Я, Щ~лгуМ+ ~Мббча /~)-/7-Я$ Страница рукописи «О границах обобщении интеграла> б. О границах обобщения интеграла части (а„с,) и (с„, Ь,) так, что функция Р, растет на (а„с,). Зто можно сделать таким образом, что (а„с,) будет произвольно малым.
Разделим еще Ла = (а„Ьз) на два сегмента (нм с,) и (с„Ь,) таких, что Гг растет на (са, Ь,) и так, что этот сегмент является достаточно малым. Можно найти для сегмента (а„сг) систему Яп — — [Л„, Л'„,... ..., Л„[ сегментов гхп = (ап, Ьп), расположенных в порядке роста и и и и их индексов и удовлетворяющих следующим равенствам и неравенствам: г и ап = а„ Ьп = с„ Г (Ь,",) ) Р, (агг), Г (Ь,",) ) Г, (а,","), и=о ~ Гг (Ьгг) — Гг (агг) ) [ Гг (сг) + Р, (са) [ — [Гя (аг) — Га (аг) [. и=1 Это воаможно, так как Р, имеет неограниченную вариацию на (лм с,).
Можно предположить еще, что Гг растет на каждом сегменте й»,. Теперь можно найти на сегменте (а„сг) соответствующую систему Юга произвольно малой меры и такую, что В [Гг Га 8м. Юга[ = бг = ([Гг (аг) + Ра (аг)[, [Р, (с,) + +Р, (с,))) (см. рис. 3). Так же можно построить на сегментах (с„Ъ,) и (см Ь,) системы Ягг и Ягг такие, что В [Г, Р, В., В-) = Ь вЂ” ([Г, (,) + Г, (,)[, [Г, (Ь,) + Г, (Ь,))).
Построение системы Яаа аналогично построению системы 8, и построение Рог подобно построению Яга. Затем лемма 1 позволяет извлечь из систем Я„, Ягз, Вам Язз две искомые системы Яг и Яа. Возвращаясь к главной теме этого раздела, предположим, вопреки утверждению, которое мы хотим доказать, что в системе Л' существует производная ~ (х), не суммируемая ни на каком интервале, принадлежащем сегменту й. Соответствующая примитивная Р (х) не может быть функцией ограниченной вариации ни на каком интервале, принадлежащем Л.
Выберем в гг сегмент Л' = (а', Ь'), на котором функция Г растет с Г (а') до Г (Ь'). Применим лемму П к функциям Г, = Г, Г, = Р и сегментам Л, = гх' и Ль = гх'. Мы получим две системы Я, и Яз с проиавольно малыми мерами такие, что В [Р, Г, Я„Я = В [Р, Р, й', й] = б. Применяя к каждой паре соответствующих сегментов систем Я, и Я, ту же лемму, мы получим две новые системы Я, и Я„содержа- 1 1 б. О границах обобщения интеграга 1 х е лл ~ааее лл Ряс. 3 щиеся в системах Я, и Юо и такие, что В ~Р, Р, Я'„8',1 = 6. Повторяя эту операцию, можно получить последовательность пар систем 8,", Яо с мерами, стремящимися к нулю.
Обозначим черев Вот совершенное множество, являющееся пределом систем я~, и через,Уо — такое же множество для систем Яо. Эти множества меры нуль. По их определению они находятся во взаимно однозначном соответствии с сохранением порядка и непрерывности. Про- б. О граяаеах обобщения иятеграяа должим зто соответствие на дополнительные интервалы. Пусть $г (х) — функция, которая осуществляет наложение У, на У„ а за (х) — такая, которая осуществляет наложение У, на У,. Легко видеть, что выражение Р (х) + Р ]9„(х)] возрастает на У„а выра- жение Р (х) + Р [за (х)] таким же образом возрастает на У,.
Положим, 9г(х) = шах (Р(сг) + Р [5г(сг)]], амаяк, пью~ Ьг(х) = шах (Г(а) + г"' [за (а)]]. а~а<я, аяая, Функции гр! (х) = х + 9! (х) + !„(х) !Р, (х) = х + 9а (х) + ~, (х) преобразуют множества У, и У, в одно и то же множество () положительной меры б. Обратные функции !р! (х) и !9, (х) удовлетворяют условию 5.
Можно показать, что функция Ф (х) = Г [~р (х)] + Р [!уа (х)] имеет асимптотическую производную, равную 1 почти всюду на (). Таким образом, мы получили противоречие, так как примитивная системы У обязана иметь почти всюду на (г производную, равную нулю. В самом деле, Ф (х) = 7' [ф! (х)] го! (х) + 7' [!Р, (х)] !Ра (х) = О. Вероятно, верна следующая более сильная теорема: е системе Л' не может суи!естзоеать производной, не суммируемой на каждой порции некоторого совершенного множестза.
Но наши методы недостаточны для ее доказательства. Москва, 14 февраля 1925 г. ЛИТКРАТУРА 1. Ка!таеагаЦ А. Ьа 44йп!Ыоп ах!осааняпе бв 1'шыага1е.— С. г. Асаб. гс!. Раг1а, 1925, го!. 180, р. 110 †1. 2. Ка!гяабагоО А. Бп!егапсЬпп9еп 9Ьег беп 1п!е9га1Ьеат!11.— Ма!Ь. Апп., 1930, Вб. 103, 8.
659 — 696. 3. ЕеЬегбае 77. Ьесопз зпг 1'!визга!!оп е! 1а гесЬегсЬе без 1опснопе рг!ш!!!гез. Раг1а, 1904. 4. 1!еп(ог А. 8пг 1а бег!та!!оп а! аоп са1сп1 !птегзе.— С. г. Асаб. ас!. Раг!з, 1916, . то1. 162, р. 377 — 380. 39 г. 0 всзяеягиясти общего определения производной О ВОЗМОЖНОСТИ ОБЩЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ, ИНТЕГРАЛА И СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ* Е Всякий способ обобщенного дифференцирования, приемлемый для приложений, должен удовлетворять следующим условиям. 1'. Обобщенная производная совпадает с обычной производной, если эта производная существует. 2'. Если ф (х) = а/ (х), то функция ф (х) дифференцирувма в тех же точках, что / (х) и <р' (х) = а/' (х). 3'.
Если ф (х) = / (ах) и функция р'(х) дифференцируема в точке ах„то ф' (хс) = а/' (ахс). 4'. Если ф (х) = / (х + Ь) и функция у дифференцируема в точке х, + Ь, то ф' (хо) = р" (хс + Ь). 5'. Если р'„~я обе дифференцируемы в точке х„то функция ф (х) = Гз (х) + 7г (х) также дифференцирувма в точке хс н ф' (хе) = 6 (хо) + з'г (хг) Если хотим ввести бесконечную производную, то должны выполняться следующие условия: если а ) О, то а (+со) = +оо, а. ( — со) = — оо, если а (О, то а (+со) = — со, а.( — со) = +со, + со+ + а = +ос, — со+ а = — оо. Пусть всв предыдугцие условия выполнены, тогда если функция ( гг=з имеет производную, конечную или бесконечную на множестве положительной меры, то эта производная есть функция неизмеримая.
П. Если есть метод суммирования расходящихся рядов, который удовлетворяет условиям: О 0 (1) Х он=от+ ~з рига яен (2) Д ао„=а Д о„, я=з нгп и если при помощи его можно определить сумму, конечную или бесконечную для каждого ряда вида' л,з1п 3"х, то можно построить эффективный пример функции, неизмеримой по Лебегу. * Бш 1а роее1Ь11пе йе 1а йе11в11!ов 84абга1с йе 1а йсгггбс, йе Г1вгбата1е ег йе 1а=встшаг1оа йвв еенев й1гвгнеаьев.— С. г. Асад. вс1. Раг1в, 1925, то1. 180, Р. 382 — 364. Представлено Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
