Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Колмогоров выступает одним из инициаторов создания школы-интерната при МГУ и в последующие годы отдает много сил и энергии этому учебному заведению. В 1965 г. А. Н. удостаивается (совместно с В. И. Арнольдом) звания лауреата Ленинской премии за работы по классической механике. В 1970 и 1971 — 1972 гг.
А. Н. Колмогоров участвует в двух четырехмесячных плаваниях на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев». С 1976 по 1980 г. А. Н. Колмогоров заведует вновь созданной кафедрой математической статистики на механико-математическом факультете МГУ, с 1980 г. по настоящее время он — заведующий кафедрой математической логики на том же факультете. На заседании 28 апреля 1953 г. А. Н. Колмогоров был избран почетным членом Московского математического общества, а в период с 1964 по 1967 и с 1973 г.
он является его президентом. С 1936 г. начинается работа А. Н. Колмогорова в качестве редактора математического отдела «Большой Советской Энциклопедии». В 1949 — 1960 гг. он член Главной редакции 2-го издания «Большой Советской Энциклопедии» и 3-го ивдания «Малой Советской Энциклопедиию В разные годы А. Н. Колмогоров был членом редакций «Математического сборника»,«Докладов АН СССР», «Успехов математических науке, в настоящее время он редактор этого журнала. А. Н. Колмогоров является также заместителем редактора журнала «Квант» и руководит математическим разделом журнала (с1970 г.).
Среди учеников А. Н. Колмогорова академики АН СССР И. М. Гельфанд, А. И. Мальцев, М. Д. Миллионщиков, В. С. Михалевич, С. М. Никольский, А. М. Обухов, Ю. В. Прохоров, члены-корреспонденты АН ССС1' В. И. Арнольд, Л. Н. Большев, А. А. Боровков, А. С. Монин, Б. А. Севастьянов, академики республиканских академий Б.
В. Гнеденко, С. Х. Сираждинов, лауреат Ленинской премии Ю. А. Розанов, около шестидесяти докторов и кандидатов наук. Многие университеты и академии мира удостоили А. Н. Колмогорова избранием в число своих членов. Он — почетный член Румынской академии наук (1965, чл.-кор. с 1957), иностранный член Поль- А. Н. Ко«маг«ров (Биа«рафиче«а«в «вра«кв) ской академии наук (1956), почетный член Лондонского королевского статистического общества (1956), Американской академии искусств и наук в Бостоне (1959), член Академии естествоиспытателей «Леопольдина» (1959), иностранный член Американского философского общества в Филадельфии (1961), иностранный член Королевской Нидерландской академии наук (1963), член Лондонского королевского общества (1964), почетный член Венгерской академии наук (1965), член Национальной академии наук США (1967), иностранный член Академии наук Франции (1968), член Академии наук ГДР, почетный член Индийского и Калькуттского математических обществ, почетный член Американского общества метеорологов, Международного статистического института, почетный доктор Парижского, Стокгольмского, Варшавского, Будапештского университетов, лауреат Международной премии фонда Бальзана, у; остоен золотой медали Американского метеорологического общества, медали Гельмгольца и др.
Заслуги А. Н. Колмогорова высоко оценены советским правительством. Он награжден семью орденами Ленина, орденами Октябрьской Революции и Трудового Красного Знамени. В 1963 г. А. Н. Колмогорову присвоено высокое звание Героя Социалистического Труда. В. М. Тихомиров РЯД ФУРЬŠ— ЛЕБЕГА, РАСХОДЯЩИЙСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ* Цель этой заметки — дать пример суммируемой функции «, ряд Фурье которой расходится почти всюду (т. е.
всюду, кроме точек множества меры нуль). Функция, построенная в этой заметке, не суммируема с квадратом, и я ничего не знаю о порядке величины коэффициентов ее ряда Фурье. Методы, использованные здесь, не позволяют построить ряд Фурье, расходящийся всюду. Е Я докажу ниже существование последовательности функций «р, (х),..., «р„(х),..., определенных для О ~( х ~( 2л и удовлетворяющих следующим условиям: 1'. «р„(х) «О, ~.
«у„(х)йх=2 (п=1,2,...). е 2'. Частные суммы ряда Фурье «р„(х) ограничены. 3'. Каждой функции «р„(х) можно поставить в соответствие положительное число М„, множество Е„и целое число д„такие, что: За) Вш М„= оо; ЗЬ) Пш шез Е„= 2я; Зс) для каждой точки множества Е„существует частная сумма ряда Фурье «р„(х) с номером, меньшим или равным д„, абсолютное значение которой больше, чем М„. Предполагая функции «р„(х) построенными, легко найти последовательность возрастающих целых чисел п„п„..., пю ...
таких, что: А) = ( — „и соответственно ~ с..1. 1 1 чт )/вг 2" х'. ),си ог г«г 1 В) Величина — у'«т«гьгбольше суммы максимумов модуля частных сумм рядов Фурье (й — 1) функций «р,„,..., «р„ С) о„«, — гфМ„„для всех 1(й. 2" Если п«известны для всех значений г, меньших «с, то можно определить и„, удовлетворяющее неравенствам А), В), С). Положим теперь Ф(х) = «««р„„(х). г=г ог ь кое еег«е йе Коопвг — «еЬееуое 4«гегяепге ргееяое раггоои — увод. ша«Ь., 4923, чо1.
4, р. 324 — 328. Перевод П..у. Удьяеова. 1 Т. е. ввтегрврувмой в смысле Лебега. 1. Ряд Фурье — Побега, расходящийся яочгяи есюду В силу 1' и А) этот ряд сходится'почти всюду к суммируемой функции и коэффициенты ряда Фурье Ф (х) равны сумме коэффициентов Фурье функций = ф„» (х) (/г = 1, 2,...), 1 -)/ и„ Отсюда мы получаем заключение, что ряд Фурье Ф (х) расходится в каждой точке множества Е = 1»ш Е„», шез Е = 2я.
» се 11. Конструкция функции ср„(х). Пусть 2,, =1, Л„..., 2.,~ — конечная последовательность нечетных возрастающих чисел такая, что условия, данные позднее, будут выполнены. Определим последовательность т„пг„..., пг„: т,=п, 2гп»+1 =Х»(2п+1). (1) Положим 4я=2я 2 +1 ' (2) Положим, наконец, ф„(х) = пгк»/и на сегменте 1 1 Л»= [А» — —, А» -(- —" ог» (3) ' См., например: рэнд. ша1п., 1923, чо1. 4, р. 211, теорема Фубиии (речь идет о следующей теореме: всюду сходящвйся ряд не неубывающих фунипий можно диффорендировать почлонио.— Примеч. пер.). Рассмотрим частную сумму ряда Фурье Ф (х), которая в силу 3' для ф„»(х) больше, чем Мя в точках множества Е„».
а) Для члена ряда ф,» (х)/)/М,» она больше, чем р/М„». Ъ) Для суммы всех членов с номерами, меньшими /с, по условию В) она меньше, чвм г/г)/М, с) Для членов с номерами д) й она меньше, чем 6/2'. В самом деле, частная сумма с номером, меньшим или равным 1 д„»~( —,)/М„, в силу С) меньше, чем (2д, + 1), умноженное на 2' интеграл от абсолютного значения функции, который в этом случае равен 2/)/ М„. Из а), в), с) вытекает, что соответствующая сумма Ф (х) по абсолютной величине больше или равна 1 6 — )/М 2» 1О 1.
Ряд Фурье — Ледеги, рисходяиви ся иочти всюду Для каждой точки, не принадлежащей сегментам Ьк, мы положим ео„(х) = О. Очевидно, что гр„(х) )~ О, ~ ври (х) Ых = 2 (условие 1') о и ер„(х) имеет ограниченное изменение, поэтому условие 2' также выполнено. Рассмотрим частную сумму ряда Фурье гр„(х) с номером т 2тк+1 ма 2 (сс — х) — ~ ср~ (а) 1 с(а. о 2о1а 2 (а — х) Допустим, что точка х лежит в сегменте 2 2 З ох= ~Ак-1+ — в, Ан — — в"!.
ив ' иг ~' Если )ь, для 1 ( гс будут определены и соответственно функция вр„(х) определена на сегментах Ь„то можно взять )чк таким большим, что интеграл (4), вычисленный по всем сегментам Л; (1 ( й), будет для каждой точки х, принадлежащей о„, как угодно мал. Я предполагаю, что он меньше, чем 1, по абсолютной величине. Рассмотрим теперь интеграл (4) по сегменту а, (д ) й) 2т. +1 2т, +1 о( игв з(а 2 (и х) 1 )о то з(г' 2 (Ав х) ч(а = — 1 — ', с(а+ и,) и2 ока г/е (а — х) и,) и 2 иш Чг (А, — х) Ь, Ь, 2т +1 2тк -)-1 то ~о(а 2 (и — ) та 2 (А,— х) ) + ~ 1 и,) и 1 2 о(а г(в (и — х) 2 в)а ИА, — х)/2) На.
(6) яв Принимая во внимание, что ~ а — А, ) (1/т,', можно увидеть, что разность в квадратной скобке меньшг, чем 2т,+1 1 яш 2 а Ате — шах— те да 2и)а(а/ ) - е ( —" (4. в в И, поскольку длина 6, равна 2!тт второй член в (6) меньше, чем 4)п. Вынося постоянную в первом интеграле, мы получаем, что выражение (6) равно 2т +1 2 з1а 2 (А, — х) яи 2зшг1е(А — х) и ' (т((4. 1. Ряд Фурье — Лебега, расходящийся лочтв всюду Сумма членов с т для г = й, й + 1,..., и меньше по абсолютной величине 4. Замечая, что 2си„+ 1 (А, — Аа) =(г — й) Ха2я, 2ту+1 2т„+1 з)п " (А, — х) = зш " (А„— х), А,— х(А,— Аа-,=(г — й+ 1) 2 1 ((г — й+1) —, 4я 2и 1 а вша/в (А, — х) ~ я(в — й+ 1) мы видим, что сумма первых членов (7) для г = й, й + 1,..., и равна по абсолютной величине — з1в 2 (Ав — х)~ 7 ) а)аг) (А — х) ) в а 1 ) .
2тв+1 )" "1 ) — ~зш " (А„— х)~ ~~ — — 5. 2 Т =1 (8) а-и — ~-~зш (Аа — х)~ г) — — 5. 2та+ 1 1 с=1 Пусть Е„есть множество всех точек х, расположенных в сегментах оа длЯ и — й ) ')г и таких, что в них выполнаетсЯ следУющее условие: 2та+ 1 1 1 — 2 (Ак — х)~~ = Л яг ~ 1Ус1 а .Г ев а Можно увидеть, что для каждой точки Е„, принадлежащей сга, частная сумма ряда Фурье ф„(х) с номером виа болыпе, чем г"в"„— 5 = М„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
