Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 5
Текст из файла (страница 5)
4 3. В принятых опрзделениях интеграла интегрируемая функция является всюду, исключая, быть может, множество меры нуль, производной своей примитивной при соответствующем выборе определения производной. Однако при нахождении наиболее общего определения интеграла не следует вводить аксиому существования производной. Действительно, данному определению интеграла может соответствовать определение производной, не введенное ране)).
Но любое определение интеграла должно удовлетворять аксиоме единственности: Примитивная функция не может соответствовать двум функциям, различающимся на множестве ненулевой меры. В самом деле, теория, допускающая, что ненулевая функция имеет нулевую примитивную, не может быть применена ни для определения коэффициентов Фурье, ни для решения других существующих задач. $ 4.
Мы укажем здесь два приложения принципа единственности: в теории абсолютного интегрирования и в теории обобщенного интегрирования. 1. Можно показать, что абсолютное интегрирование дает абсолютно непрерывные примитивные. Но все абсолютно непрерывные О. О границах обобгценин интеграла функции являются примитивными суммируемых функций. Отсюда получаем, что при принятии принципа единственности в число аксиом несуммируемые функции, в том числе и неизмеримые, не могут быть абсолютно интегрируемыми. 2. Какова бы ни была теория интегрирования, следует допустить, что неравенство ]1(х) ] (К непременно влечет неравенство ~~1(х)г[х~ < К]д — а]. а 'Теперь видно, что ограниченные функции имеют примитивные, производные числа Дини которых ограничены.
Но производные этих примитивных измеримы. Ст ло быть ограниченная и неиамеримоя функция не может быть интегрируемой ни в каком смысле. 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ Л' Два класса функций К ии (Р (х)) и й ии (~ (х)) образуют систему Ю, если они удовлетворяют следующим условиям. 1. Функции класса К непрерывны и равны нулю, когда х = О. 2. Функции класса к определены и конечны всюду, за исключением, быть может, множества меры нуль. (Две функции, различаюхциеся только на множестве меры нуль, считаем равными.) 3. Между классами к и К установлено взаимно однозначное соответствие. Назовем примитивной / (х) соответствующую ей функцию Р (х); наоборот, ~ (х) назовем производной Р (х). Таким образом, рассматриваемая система Л' является системой пар функций [Р (х), г (х)1.
4. Если пары [Р, (х), 1, (х)1 и [Р, (х), 1г (х)1 входят в Л', то пара [],Р, (х) + [,Р, (х), г',~, (х) + ]ггг (х)] входит также (1, и 1,— произвольные действительные числа). 5. Если пара [Р (х), ~ (х)1 входит в Л', то пара [Р [ф (х)], 1!ф (х)1 ф' (х)1 входит также, где ф (х) является монотонной функцией, возрастающей от — оо до + оо, с ограниченным отношением При этом если ф' (х) = О, то 1 [ф (х)1 ф' (х) — также нуль, даже если функция /1ф (х)] не определена. Пять свойств систем Л' недостаточны для полного аксиоматического определения производной и интеграла. Действительно, в различных системах Л' одной производной / (х) могут соответствовать различные примитивные Р, (х) и Р, (х) и, наоборот, одной примитивной Р (х) могут соответствовать различные производные. б. О границах обобщения интеграла Но эти свойства позволяют свести проблему определения интеграла к проблеме определения производной.
В самом деле, допустим, что дано какое-либо новое определение производной, т. е. что имеется функционал, зависящий от выбора функции Р (х)и величины х и определенный для некоторых функций Р н некоторых значений х; этот функционал назовем обобщенной производной Р'(х). Кроме того, допустим, что выполнены следующие два условия: 1) если Р (х) аснмптотическн дифференцируема в точке х, то Р (х) совпадает с этой производной; 2) [[,Р, (х) + [ара (х)!' = [,Р„(х) + [ара (х).
Дополним теперь пять свойств систем Л' следующим шестым свойством: 6. Если пара [Р (х), / (х)! входит в Л', то, за исключением, быть может, множества меры нуль, г' (х) = Р (х). Опираясь на эти свойства, покажем, что если функция / (х) входит в различные системы Л', то ей в них соответствует одна и та хсе примитивная Р (х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим обратное: в системах Л', и Л', функции 1 (х) соответствуют две различные функции: Р„(х) и Р, (х). Тогда обозначая Р, (х) — Р, (х) как Ф (х), мы имеем Ф' (х) = = Р' (х) — Р,' (х) = О.
Предположим, что Ф (х,) ) О, х, ) 0 (другие случаи аналогичны). Положим ф (х) = х+ шах Ф (а) для х з О, Омахи ф(х) =х для х(О. Ясно, что ' ' ~ а; значит, для обратной функции ер (х) ха — хе (Ч> [ф (х)! = х) имеем 'р (ха) т (хг) ха — хе В силу свойства 5 функции Р, [ер (х)! и Р, [ер (х)! принадлежат соответственно классам примитивных Ка и Ка и имеют производные„ равные р' [ер (х)! ер (х), за исключением множества меры нуль.
Рассмотрим теперь функцию Ф [ер (х)!. Из вышеизложенного следует, что (Ф [ер (х)!)' существует и равна нулю всюду, кроме, быть может, множества меры нуль. С другой стороны, легко показать, что в множестве тех точек, в которых Ф (х) = шах Ф (а), существует подмножество Р меры о<и~а нуль, на котором множество значений функции Ф (х), а значит, и ф (х) имеет ненулевую меру. Пусть ч — множество значений ф (х) на Р. На Р имеем Ф (х) = ф (х) — х. гт б'. О границах обобщения интеграла Ф [ф (х)) = г[г [ф (х)1 — гр (х) = х — ф (х), (Ф [ф (х)[)' = 1 — ф' (х).
Производная в последнем равенстве асимптотическая. Производная ф' (х) на Ч равна нулю, за исключением, быть может, множества меры нуль, так как множество значений ф (х) на г,г — множество Р меры нуль. Следовательно, за исключением множества меры нуль, на ~) имеем (Ф [ф (х)[)' = 1. Противоречие получено з. П1 Теперь легко показать, что сумма всех систем Л', обладающих свойством 6, также является системой Л', обладающей свойствами 1 — 6. Свойства 1, 2, 5 и 6 очевидно выполняются. Свойство 3 также выполняется, так как каждой примитивной соответствует определенная производная и обратно, как покааано выше.
Доказательство свойства 4. Докажем сначала следующее: если две системы Л' — = ([Рг (х), уг (х))) и й~г = ([Рг (х), 1г (х))) обладают свойствами 1 — 6, то система Л' = ([1гРг (х) + 1,Р, (х), 1грг (х) + 1агг (х))) обладает ими также. Проверка для Л' свойств 1, 2, 4, 5, 6 не требует сложных рассуждений. Остается проверить свойство 3: каждой примитивной соответствует определенная производная; для этого необходимо показать, что если производная представима в двух видах: 1,А, (х) + 1гь(м (х) и 1гАг (х) + 1гг~гг (х), где угг и угг принадлежат классу Й„а ргг и /гг принадлежат Й„то для соответствующих примитивных имеем 1пРп (х) + 1мР„(х) = 1„Р„(х) + + 1„Р„(х). Имеем 1„грг, (х) — 1ггргг (х) = 1ггргг (х) — 1гг(гг (х).
Первый член этого равенства — функция из Й„второй член — функция из Й,. По ранее доказанному утверждению их примитивные удовлетворяют г Может быть доказано аналогичным обрааом и следующее утверждение: если две У)ункции (г и 1 принадлегкат классам )гг и )г систем,Жг и Лг, обладаюЩих свойством 6, и совпадают на интеРва е Ь, то их пРимитивние Рг и Рг могут отличаться на этом интервале только на константу. Доказательство в основном такое же, во проводится только на интервале Ь и в нем делаются следующие изменения. Обозначаем концы интервала Ь как к и Ь.
Предполагаем, что Ф (х,] ) Ф (а) (остальные случаи аналогичны), хо содержится в интервале Ь. Полагаем ф (х) = х+ жах [Ф (и)1 для х,р а, а <а~к гу (х) = х+ Ф (х) 6. 0 ераннзах обобщения интеерааа равенству: 1„Р„(х) — 1„Ры (х) = 1„Р„(х) — )„Рм (х). Доказываемое равенство является следствием этого.
Отсюда становится очевидным справедливость свойства 4 для суммы систем. Следовательно, сумма всех систем Л', обладающих свойством 6, образует максимальную систему Л' . Для всех функций соответствующего класса йм интеграл определен единственным образом с помощью аксиом 1 — 6. Для каждой функции, не принадлежащей )см, не существует такого интеграла.
Это показывает, что система аксиом является полной. Желая получить определение интеграла изложенным выше методом, необходимо выбрать некоторое конкретное определение производной. Естественно рассмотреть асимптотическую производную. В этом случае свойство 6 выражается так: 6'. Если пара [Р (х), )' (х)) входит в Л', то ~ (х) равна асимптотической производной, Р'(х), за исключением, быть мол'ет, множества меры нуль (Р' (х) обозначает далее асимптотическую производную).
В силу предыдущего существует максимальная система Ле . Эта система состоит из функций, тотализируемых по Данжуа, и их примитивных. Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно, что система тотализируемых функций и их примитивных (разрешимых функций) обладает свойствами 1 — 6'. Осталось показать, что эта система максимальна. Предположим обратное: существует неразрешимая функция Р (х), входящая в класс К системы Л', обладающей свойством 6'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
