Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Положим А„= у'т(п)1ок па„, В„= 'У т (п) 1оя п д„. 2. Из условия (2), которому удовлетворяет ряд (1), следует существование возрастающей к бесконечности последовательности т (и) такой, что ряд 72 10. О еяодииоеоеи радое Фурье Тогда ряд (4) преобразуется так: 00 ;~~ (А'„+ В'„). Введем обозначения: оп(.) = — „~ Ва(х) 1 ч" 1 ,"1 пйл= 1 Рт(2)1ои 2 + йе сходится абсолютно, и, следовательно, ео О~ пА„= и ,'Я Л„( ~ч~ йб, - О. г=п М=л Применяя к ряду (1) два раза преобразование Абеля, получим Е.
1 (апсовпх+ Ьпвтпх) = з . (Апсовпх+В„в(ппх)= р'т (и) 1од и = (1 Ь„Я„(х)=~~1 пЛ„оп(х). (5) п=е и =я Для обоснования справедливости преобразования достаточно доказать соотношения Я (я) О, п(а„о„- О. р' т (п) 1оя и Второе из них выполнено, если оп ограничены, т. е. почти всюду. Что касается первого, то выполнение его почти всюду следует ив нашей леммы. Наконец, если последовательность оп сходится (что имеет место почти всюду), то ряд (5) сходитси. Итак, сходимость ряда (1) почти всюду доказана. 7 февраля 1926 г.
г Сумма ~~1„па„= ~1 ~~~~ау+ ~1 аг = ~1 ап+ ае = -(-ае. п=е п=е Е=л е=е п=2 т(2) 1оя 2 Ю„(х) = ~ (Аасовйх+ Вавшйх), 1 1 Лп— йл = ~.~п йп+1. елтяве" е лЕ иге л-~~) Последовательность т (и) можно определить так, чтобы все Ь„' были положительными. Тогда ряд ' 11. Ряд Фурае — Лебега, расходав!яйся всюду ЛИТЕРАТУРА 1, Рагои Р. Яйг!ев !г!9опоше!г!9пев ех вепе йе Тау1ог.— Ас!а ша!Ь., 1906, чо1. 30, р.
335 †4. 2. Нагну С. Н. Оп !Ье впшшарй!!!у о1 Ропг1ег'в вег!ев.— Ргос. 1,опйоп МагЬ. Яос., 1913, чо!. 12, р. 365 — 372. 3. Ноьвоп К. И'. Оп 1Ье сопчегйепсе о1 вег!ев о1 ог!Ьо9опа1 1ппс!!опв.— Ргос. Ьопйоп Ма!Ь. Яос., 1913, чо!. 12, р. 297 — 308. 4. Ко!пвоуого11 А., Яе!!оегвго11 б. Япг 1а сопчегбепсе йев шмев йе Рош1ег.— С. г. Асей. вс!. Раг!в, 1924, чо1.
178, р. 303 — 306. 5. Р!апс еге1 ЛУ. Япг 1а сопчег3епсе йев вйг!ев йе 1опсмопв огхЬо3опа1ев.— С. г. Асей. вс!. Раг!в, 1913, чо!. 156, р. 539 — 541. 6. и'ем Н. ОЬег й!е Копчегбепх чоп Ке!Ьеп, й!е пасЬ Ог!Ьодопа11ппЬ!!опеп 1огхвсЬгемеп.— Ма!Ь. Апп., 1909, Вй. 67, Я. 225 — 245. 7. Мепсйой Р.
Япг 1вв айг!ев йе 1опс!!опв ог!Ьояопа)ев.— Рппй. ша!Ь., 1923, чо1. 4, р. 82 — 105. РЯД ФУРЬŠ— ЛЕБЕГА, РАСХОДЯЩИЙСЯ ВСЮДУ * Цель этой заметки дать пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду. 1'. Определим для каждого целого п функцию ф„(х): и (х)= — + — совйх 1 й! га — Ь, Вая и 1 ф (х) = „~! ~о,(А! — х) Очевидно, что ф„(х))~0, ~ ф„(х)йх=я. в 2'. Функция ф„(х) может быть представлена в виде ф„(х) = — + у пасов()с~+ Ьа).
1 в=! в Спе вепе йе Розг!ег — 1еЬевбпе й!чегдеп!е раг!оп!.— С. г. Асей. вс1, Раг!в, 1926, чо1. 183, р. 1327 — 1329. Иредсгавлепо Э. Ворелек. Перевод Л. А. Бааавиова. 11. Ряд Фурье — Ледеея, рясяедяееияея всюду Рассмотрим частную сумму ес„(х): в у Юв(х) = — + 7„а,соз(ух+)и)= — 7 п„е(А; — х)+ 1 ч-1 1 ,=1 +,у + — хт — ов (А; — х) + и (-1,У( еве $=,+1 2Ус -(- 1 ч"-в т Ус в(а 2 (Ае — Я) +— и+1 2.Л т,. ! е=р,е ' 2в(п 2 (Ае — я) что ту ( Ув ( иву„.
Два пеРвых члена Поэтому 2(с+ 1 в(а — (Ае — х) 2 1 2 в1п — (А. — я) 2 где у предполагается таким, (1) будут неотрицательны. те — ус Яв(х) ) )—, я+1 2.~ тв е=,+1 (2) 3'. Можно доказать, что для достаточно больших и н для х, 1 1 лежащих в сегменте ~Ау — —,, Ау -(- -; ~, имеет место неравенство 8„е (х) ) С,и, (3) 2Ус+ 1 1 — в(п — х)~ —. 2 2 В этом случае из (2) можно вывести, что 2а(1 Ч-В т,— Ь Ь'в(х) ) — — в(п —, х в и+1 2 21 те е=,+1 ь 2 в(а — (А.
— х) 2 ~> Св1оа(и — у). (4) 5'. Для каждого х, удовлетворяющего неравенству О ( х ( 2я — 1/)I и, на основании (3) и (4) можно определить индекс Ус такой, что Яе (х) )~ Св!ок и. где Сь — абсолютная постоянная. 1 1 1 4'. Для каждого х, лежащего в сегменте ~Ау+ — „, Аусы — — „, (, предполагая и достаточно большим, можно определить Ув такое, что 2)с + 1 будет делиться на 2и + 1 и будут выполняться следующие неравенства: 13. О еходимоети ортоогокавьких радов Положим, наконец, Ф(х)= ,'~~ М гр„(х). Если ряд из М„сходится абсолютно, то Ф (х) суммируема. Если индексы п„растут достаточно быстро, то ряд Фурье Ф расходится всюду.
Для доказательства двух последних фактов можно использовать мою заметку (11. 27 декабря 1926 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Ко1юоаогоЦ А. 11ве вбпе дв Роаг1ег — ЬеЬеваае д1гегаевге ргегаав раггоаи— Равд. гааГЬ., 1923, чо1. 4, р. 324 — 328. 12 О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ а Совместно с Д. Ь'. Меньшовым Основной реаультат атой статьи заключается в следующей теореме. Т е о р е м щ' 1.
Существуют такая система функций ер„(х), ортогональная на интервале(0, 1) и принимающая только значения ~1, и такая последовательность чисел а„, для которых ряд гю ~ а„' (1) к=г сходится, тогда как ряд о ~ а„ер„(х) (2) всюду расходится. Известно (см. (1, 21), что в случае произвольных ортогональных функций достаточным условием для сходимости почти всюду ряда (2) является сходимость следующего ряда: ;~~ а'„1ояв и. Кроме того, известно (см. 121), что множитель (1оя и)' не может быть заменен на другой, растущий менее быстро. " Ваг 1а соачегаевсв дев ввпев де 1овсгтав оггЬоаовв1ев.— МагЬ.
21всЬг., 1927, Вд. 26, 8. 432 — 441. Перевод С. В. Вочкарева. 1г. О сходимооми ортоеохольных радов В случае, когда функции ор„(х) ограничены в совокупности, мы не можем дать столь же окончательный ответ. Мы можем только доказать следующую теорему. Т е о р е м а 11. Какова бы ни была положительная у1ункция И' (и), удовлетворяющая условию И' (и) = о (1оя п), всегда существуют система функций <р„(х), п = 1, 2, 3, ..., ортогональная на (О, 1) и принимающая только значения ~1, и последовательность действительных чисел а„, для которых ряд (2) всюду расходится, тогда как ряд оо ~ч, а'„И'(и) пьа (4) х ~ а'„1обп о=1 является достаточным условием для сходимости ряда (2). Для тригонометрических рядов дело обстоит действительно так (см.
(3, 4]). .. Можно также построить ряд (2), расходящийся почти всюду, используя в качестве функций ц„(х) тригонометрические функции. Но в этом случае нельзя приблизиться к пределу И'(и) = 1оя и. .Вот почему мы только формулируем здесь без доказательства следующую теорему. Т е о р е м а Ш. Существует расходящийся почти всюду ряд вида ~ а„соз(т„х+),), о=1 зде целые числа т„(п = 1, 2, 3,...) все различны и ряд (1) сходится г. Теорема 1 есть непосредственное следствие теоремы 11. Для доказательства этой последней теоремы нам нужна следующая лемма. О с н о в н а я л е м м а. Каково бы ни было целое положительное и, существует сумма о ~ азора(х), (6) г=г обладающая следующими свойствами: 1.
Функции ~рг (х) попарно ортогональны на интервале (О, 1), принимают только значения ~1 и постпоянны на каждом из интервалов Ь, образующих подходящее конечное разбиение интервала (О, 1). " Теорема была доказана А. Н. Колмогоровым. сходится. Таким обрааом, может случиться, что в случае функций ~р„(х), ограниченных в совокупности, сходимость ряда 12. О сходимосяги орпогонавгних рядов П.
~а~я =1. 1=1 1П. Для каждой точки множества Е, пгез Е = 1/г, сущестпаует число р ( и такое, что Р ,'~~ аггрь (х) ~ )С )/ 1оя и, 1=1 еде С вЂ” абсолютная постоянная. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ЛЕММЫ 1'. Мы) рассмотрим только случай, когда и = 12 (4 — 1), где т — целое положительное число. Отсюда без труда следует общий случай. В неравенстве П1 мы заменим С 1/1ойп на '/ 1/т, что также законно. Впоследствии мы построим члены суммы (6) для номера 12(4 — 1) и затем в п. 11' определим их нумерацию. Сначала введем некоторые вспомогательные функции. 2'.
Пусть Я1 (1, г) — некоторая функция целочисленных аргументов, обладающая следующими свойствами: а) она определена для 1 ( 1 -( 3. 2', 1 ( г ( 3 21 — 1; Ь) при фиксированном 1 она принимает каждое значение 1, 2, '3, ..., 3 2', кроме 1, один и только один раз; с) при фиксированном г она принимает все целые значения от'1 до 3.2; а) 8,(Е,(1, ), г) =; е) каждой паре чисел 11, 1ю (Й чь 11, 1 ( 11 ( 3 2', 1 ( 11 ( ( 3 2') соответствует единственное число г, удовлетворяющее двум соотношениям: Б 1 (11 7 ) = 11 Я 1 (1ю г) = $1.
Свойство е) является следствием свойств Ь) и й). Определим функцию 81 (1, т) рекуррвнтным способом. А. Если 1= 1, то значения Яг (1, г) задаются следующей таблицей: 5 4 2 3 1 6 2 3 1 4 3 6 1 2 6 4 1 5 6 2 1 5 6 4 3 2 3 4 5 6 ! 1 2 3 4 5 г 12. О оходилооти ортегов ханах рядов В. Значения Я„д (1, г) получаются из значений Я, (1, г) следующим образом: а) если г ( 3.2', 1 ~( 3.2', то Яюд (Е, г) = Я ~ (1, г); б) если г(3 21, 1) 3 2', то 8нт(1 „) Яг (1 3 2с г)+3 2ц в) если г >321, 1~(321, то 8ыт (1, г) = 1+ г, когда 1+ г ( 3 2'+т, Ямт (1, г) = 1+ г — 3 2', когда 1+ г) 3 2'+т, г) если г и 3 21, 1) 3 2', то значения Я„т (1, г) определяются единственным образом с помощью свойства б), исходя из значений, определенных в предыдущих случаях э.
3'. Пусть Яв ч (1, г) — функция, обладающая свойствами Ь)о с), й), е) функций Я, (1, г) и свойством а'): а') она определена для 1 ~( 1 ( 3 2', 4 ( г < 3 21 (г ~ д). Определим 8ь е (1, г) следующим обрааом: Я, о (1, г) = Я, (1, г — д), если г — о ) 0; Я, е (1, г) = Я1 (1, г — о + 3 2'), если г — д ( О, э Для 1 = 2 аначепия 8г (ц г) задаются следующей таблицей. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И г Конструкция этой таблицы может быть также объяснена с точки зрения соответствия между 1д и 1о (свойство е): соответствие между 1т и 1 в пределах от 1 до 6 обеспечивается левон нижней четвертью; соответствие между ~ и 1, изменяющимися между 7 и 12, устанавливается аналогичным обрааом посредством левой верхней четверти; наконец, соответствие между гм меняющимся от 1 до 6, и км меняющимся от 7 до 12, устанавливается правои половиной.
12 И 10 9 8 7 В 5 4 3 2 И 10 8 9 7 12 8 9 7 10 9 12 7 8 И 10 7 И 12 8 7 И 12 10 9 8 9 10 И 12 5 4 2 3 6 2 3 1 4 3 В 1 2 5 4 1 5 б 2 5 В 4 3 2 3 4 5 6 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 б 1 В 5 12 7 8 И 12 7 10 И 12 9 10 И 8 9 10 7 8 9 3 2 2 1 6 1 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 9 10 И 8 9 10 7 8 9 12 7 8 И 12 7 10 И 12 13. 0 оходимооти ортогоняяьния рядоо 79 Следовательно, змеем Я,(1, г)= Я, ~(1, г). 4'. Пусть бГ, о (1, г) = ппп [1; 8, о (1, г)). Из свойства б) функции Я, (1, г) можно вывести, что Пьч (1, г) = Пь, [8,, (1, г), г[; (7) из свойства е) следует, что для г, соответствующего паре 1м 1, будем иметь У, о (1м г) = У, т ([„г) = ппп (1„1з). (8) 5'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
