Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Легко доказать, что функции гр„(х) попарно ортогональны и ряд о ~ аигри(х) расходится почти всюду. Изменяя значения некоторых функций вр„(х) на множестве меры нуль, можно, кроме того, преобразовать ряд (5) в расходящийся всюду ряд. Для завершения доказательства теоремы 11 остается показать, что ряд ~ а~И'(п) 18. 06 операциях над мнохееепеезми сходится. Это устанавливается следующим вычислением: е е Ич а'„11'!и)= 11 ~ а'„— 108п ~ и=«!е+1 ч=з п=гтч-т+т 0 нч <~~)~ 1оКЛ ~~) а„у!1 < ч=з пэ Нч,+т ее «еч е ~(С' ~~ 1оивч ° 11 аз =С' 11 е =С, ч=з «ечл )т ч=з где С' и С вЂ” постоянные з.
5 марта 1926 г. ЛИТЕРАТУРА 1. «7айетзеьее Н. Е!п!8е 8а1зе ПЬег Ве1Ьеп чсп з)18вшз!псп ОггЬобопз)1ппЬ!!спел.— Ма1Ь. Апп., 1922, Вй. 87, 8. 112 — 138. 2. Мепезо)1 77. 8пг 1ез збг1вз йв 1опс!!опз ог!Ьоиопз)ез.— Р|шй. ша!Ь., 1923, чс1. 4, р. 82 — 105. 3. Р!ееепег А. !)Ьег й!е Кспчегизпз чоп 1г!8опсше1«!зсЬвп Ве!Ьвп.— ' 7.
геше ппй апбстч. Мз!Ь., 1925, Вй. 155, 8. 15 — 25. 4. Ке!тсгогсц А., яеичеееее17 О.' 8пг 1а сспчегбепсз йез зспсз йе Роппвг.— Атз! Ассай. паз. 1.!псв!. Вспй., 1926, чо!. 3, р. 307 — 310. ОБ ОПЕРАЦИЯХ НАД МНОЖБСП)АМИв В 1921 г. Н. Н. Лузин определил в курсе лекций по теории функций, читанном в Московском университете, класс С-яеножестз и поставил вопрос о всестороннем его изучении.
Недавно Е. А. Селивановским ' опубликован ряд результатов, относящихся к этому классу и дающих довольно полную его характеристику. Мне кажется, что в связи с этим будет небезынтересно и предлагаемое ниже исследование, где я получаю часть из этих результатов, исходя из весьма общих рассмотрений. Оказывается, что теорема о непустоте Яз классов, на которые, так же как и класс множеств, измеримых В, распадается класс С-множеств, имеет место для произвольного класса, порождаемого итерацией операций весьма общего, определенного ниже типа и операции взятия дополнения. з Дсиааатвльство теоремы 11 аналогично рассуждениям, уже примененным Д. Е.
Меньшовым в работе 121 (см. [2, с. 991). е Мат. сб., 1928, т. 35, «4 3/4, с. 414 — 422. т 8пг ппе с1аззр й'впзешЫез йв!!п!з Раг ппв !пйппе йбпсшЬгаЫе йе сспйз- Ф!спз.— С. г. Асзй. зс!. Рапз, 1927, чо1. 184, р. 1311 — 1314. зс 18. Ой операциях над па«нее«те«пи Самое определение этого вида операций дано Хаусдорфом во втором его издании «Теории множеств». Но ни определения дополнительной операции, ни основной теоремы о дополнениях у него нет. Нижеследующее является лишь незначительной переработкой рукописи, оконченной 3 января 1922 г.
Все рассматриваемые в дальнейшем множества расположены на открытом интервале (О, 1) действительной прямой. За основной класс элементарных множеств принимаются замкнутые относительно основного интервала, включая в их число «пустое множество». Операции, подлежащие нашему изучению, определяются заданием некоторой совокупности частей натурального ряда 1,2,3,4,..., называемых числовыми цепями. Операция Х считается вполне определенной, если определена совокупность (ух) ее числовых цепей, где каждая цепь У» является просто некоторой совокупностью натуральных чисел.
Совокупность (7Л) будет нааываться определяющей системой операции Х. Пусть теперь дана последовательность множеств Е» Е» ° ° ° Каждой цепи = (к» л» яа ° ° ) соответствует определенная цепь множеств их=(Е Будем называть ядром В (Чх) цепи 11х произведение всех входящих в нее множеств. Результат операции Х над данной последовательностью множеств мы определяем как сумму ядер всех соответствующих цепей Х (Е» Е«Е» ) = ЕЕ (((х). Рассмотрим некоторые отдельные операции определенного выше типа. Прежде всего операцию сложения: Б (Е„) = Е, + Е, + .
° ° Эта операция определяется посредством счетной совокупности цепей, состоящих каждая из одного элемента: У~ = (1), У» ш (2),... Операция умножения П определяется посредством одной цепие состоящей из всего натурального ряда: Уп = (1, 2, 3, ...). 1в.
Об операциях над множествами 78 Легко определить также операцию взятия верхнего или нижнего предела последовательности множеств. Операция нахождения предела последовательности множеств, естественно, не может быть определена нашим способом, так как не для всякой последовательности множеств она приводит к определенному результату.
А-оиерацил обычно определяется для счетной совокупности множеств, занумерованных не просто натуральными числами, а всевозможными кортежами пю пю..., пе. При этом цепью кортежей У" называется любая последовательность кортежей А Уп,п, „= (иь,иьиа, итиеия,...). Множество А(Е изучаемое посредством А-операции из множеств Е,,„, „„, соответствующих всевозможным кортежам п„пю..., п„определяется как сумма ядер всевозможных цепей )1'„~ == (Епа Е„,, Е„,,„...). Легко видеть, что если раз навсегда занумеровать кортежи п„л, ..., пь натуральными числами )ь (пю иа,..., пь), это определение может быть приведено к данной выше форме, так как цепи кортежей можно будет заменить цепями их номеров )ь. Операция Х называется нормальной, если множество, получаемое двукратным ее применением: Е = Х (Е„)„Е„= Х (Е„) может быть получено Х-операцией над множествами Е„в некотором надлежащем выбранном расположении: Е = Х(Е„,), т„= ср ()е), и„=ф (к).
Вообще говоря, функции вр ()е) и ф (к) могут зависеть от рассматриваемого семейства множеств, но для известных нам нормальных операций нх удается выбрать в зависимости только от самой операции. Операции сложения и умножения, очевидно, нормальны; операции взятия верхнего или нижнего предела не нормальны. Нормальность А-операции доказывается значительно сложнее тем же методом, как доказывается то, что А-операция, примененная к А-множествам, доставляет вновь А-множества. 18. 06 операцилг над множестаами Рассмотрим систему числовых цепей (Ух) операции Х. Будем называть цепью, дополнительной к данной системе, всякую совокупность натуральных чисел, имеющую хотя бы по одному общему злементу с каждой цепью 7гх. Система всех дополнительных цепей (~Я) определяет операцию, которую мы будем называть дополнительной к операции Х и будем обозначать Х. Основное свойство операции Х, послужившее поводом к ее обозначению как операции, дополнительной к Х, заключается в следующем: обозначая Е геометрическое дополнение множества Е, имеем при условии Е = Х (Е„, Е„...) равенство Е = Х (Ею Ег ° ° ).
Операция, дополнительная к Х, то, что можно обозначить Х, очевидно, даст в применении к любой системе множеств те же результаты, что и Х; зто можно записать так: Х Х. В частности, операция, дополнительная к сложению, есть в точности умножение, но операция, дополнительная к умножению, хотя и эквивалентна со сложением, но определяется другой системой цепей. Очевидно, что операция, дополнительная к нормальной, сама нормальна.
Операция, дополнительная к А-операции, называется Г-операггией. Естественно ее также определять посредством цепей кортежей, как и А-операцию. П. С. Александровым дан следующий красивый геометрический образ Г-цепей: будем рассматривать кортежи и„ и,..., п„как группы пространства Бэра нулевого измерения; тогда, для того чтобы система кортежей была Г-цепью, необходимо и достаточно, чтобы она полностью покрывала все пространство. Г11 Будем называть Х-множествами множества, получаемыепосредством применения Х-операции к последовательности замкнутых множеств. Множества, дополнительные к Х-множествам, могут быть получены Х-операцией из открытых множеств (областей).
О с н о в н а я т е о р е м а. Существует Х-множество, дополнение которого не есть Х-множество. Рассмотрим бесконечномерный куб, точки которого определяются координатами 0 ( а„( 1, 0 ( Ь„( 1, 18. Об оиерациан над множествами где индексы и и и принимают всевозможные значения. Построим в этом кубе кривую Пеано, т.
е. функции сент (Г)~ сит (~) непрерывные и такие, что когда с пробегает интервал от нуля до единицы, то точка аит = срнт (с) Ьнт = ерит (е) принимает хотя бы по одному разу всевозможные положения в нашем кубе. Определим множество Р„(г) как замкнутое множество, получаемое из интервала (О, 1) посредством выбрасывания из него интервалов Ь„(г) с концами р„(г) и ф„(г), соответствующих всевозможным индексам и. Очевидно, что для каждой последовательности замкнутых множеств Ры Ре, Р существует такое с, что Рг =Рг(с), Р, =Р,(г), Определим, далее, множество Е,=Х(Р„'(г)).
' Из предыдущего следует, что каждому Х-множеству Е соответству- ет такое ~, что Определим, наконец,()и как множество тех точек с,которые входят в соответствующее Р„(г). Нетрудно доказать, что множество с,еи замкнуто. Множество Е = Х (,с„) обладает следующим свойством: если ~ входит в Е„то оно входит и в Е, если же г не входит в Е„то оно не входит и в Е. Очевидно, Е является Х-множеством, но если бы Е тоже было Х-множеством, то существовало бы такое с, что Е = Ес, из чего легко извлечь противоречие, что и доказывает основную теорему. 1Ч Определим И'(Х)-область как минимальную область множеств, содержащую в себе все замкнутые множества, инвариантную по отношению к Х-операции и заключающую в себе все дополнения входящих в нее множеств.
Очевидно, Ис (й) и Ис (П) совпадают с областью множеств, измеримых В, И' (А) и И' (Г) с С-облисиеью 18. Об операциях над множествами Н. Н. Лузина. Мы построим классификацию множеств Их (Х)-области, аналогичную классификации Бара, и в некоторых весьма широких допущениях докажем непустоту всех классов этой классификации. Определим, далее, классы И'„(Х) и Й'а (Х), где и — трансфинитное число второго класса, следующим индуктивным процессом.
1. И', (Х) есть совокупность замкнутых множеств, Й, (Х) — совокупность открытых множеств. 2. Боли И'„(Х) и Й'„(Х) определены для св( р, определим И'з (Х) как совокупность множеств, получаемых посредством Х-операции над множествами, каждое иа которых принадлежит к какому- либо иа классов Й„, а ( р. Соответственно Йз (Х) определяется как класс множеств, получаемых из множеств классов И'„(Х), а ( ( р,посредством Х-операции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
