Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Найти сумму всех е(у означает определить предел интегральных сумм (3) при бесконечном продолжении разбиений отрезка (а, Ь) на частичные отрезки. Открываются следующие четыре возможности обобщения метода интегрирования Коши. 1. Вместо функции интервала ед (йг) = 1 (гг) 1 (гг) можно рассматривать произвольные функции интервала гр (й).
2. Область интегрирования может разбиваться на конечное или счетное число произвольных множеств (и не обязательно на интервалы). 3. Область интегрирования не обязательно должна представлять собой отрезок числовой прямой. Можно допускать в качестве областей, по которым производится интегрирование, множества, состоящие на элементов произвольной природы. 4. Наконец, можно также выбрать значения функции ~р (й) из элементов произвольного векторного пространства, не обязательно из вещественных чисел. В первом из этих четырех направлений большой прогресс достигнут в виде интеграла Стилтьеса и его непосредственных обобщений. И. Исследование нонятия интеграла Вместо длины 1(сь) вводилась произвольная аддитивная функция интервала.
Однако общая постановка вопроса впервые появилась у Беркнлля (3), который в 1924 г. для произвольной функции интервала ~р (б) определил интеграл ь 1 гЬр (Л) а как предел сумм 2л А). при бесконечном продолжении разбиений (а, Ь)на частичные отрезки сьь Беркилль при этом ограничился рассмотрением однозначных фуннций ср (сь), что ему не позволило получить классическое определение интеграла по Коши в качестве частного случая своего собственного. В данной работе мы систематически допускаем многозначные функции, кроме того, функции точки ~ (х) последовательно ааменяются на функции интервала и — даже более общо — на функции множества 1 (Е), принимающие в качестве своих значений на Е совокупность значений) (х) на атом же множестве. Только этот путь приведет нас к общей теории интеграла, в которой под знаком интеграла рассматривается лишь одна функция множества.
Господствовавшее до сих пор во всех теориях интегрирования расщепление функции, подлежащей интегрированию, является, таким образом, искусственным и немотивированным ограничением, одновременно суживающим общность проблемы и простоту метода. Существенный прогресс во втором направлении, как известно, был достигнут благодаря Лебегу, который интеграл (1) определял как предел сумм Х~ (Е;) ль (Е;), (4) где Е; представляют собой измеримые множества, на которые разбивается отрезок (а, Ь), а ль (Е) есть мера множества Е. Лебег в своем определении требует, чтобы выражения (4) стремились к пределу для разбиений более специального вида.
Общее определение предела для выражения, зависящего от разбиений отрезка (а, Ь) при «неограниченном продолжении» разбиений (ср. гл. 11, п. 8), принадлежит Муру (4). Сам Мур указывает на то, что введенное им понятие предела сделает возможным особенно простую форму определения интеграла Лебега и приведет к его обобщению.
Некоторые обобщения классического интеграла Стилтьеса получил этим путем Смит (5). Что касается общности допустимых областей интегрирования, то — после ряда исследований различных авторов — Фреше в уже цитированной работе окончательно установил, что вся общая теория интегрирования может быть развита без всякого ограничения атой общности. лд. Исследование понятия ннтеерала 1от То, что до сих пор делалось в этих первых трех направлениях теории интегрирования, было учтено при создании построенного в данной работе определения.
Зато оставшийся еще четвертый путь— интегрирование функций, значения которых принадлежат произвольному векторному пространству — сознательно не рассматривается. Большинство результатов обобщается и на этот случай, однако осуществление этого обобщения излишне перегружало бы изложение. 1 3. В предыдущем параграфе мы проследили тот путь развития понятия интеграла, который начинается с Зпшша Ошпшш Лейбница. При этом мы убедились, что все это развитие являлось последовательным и неизбежным раскрытием идеи Лейбница, хотя некоторые более недавние определения кажутся очень отдаленными от первоначальной идеи.
По-другому обстоит дело с понятием неопределенного интеграла. Классическое понимание, рассматривающее неопределенный интеграл как функцию точки, существенно связано с интегрированием на линейном интервале прямой и даже не обобщается на случай кратных интегралов. Лишь в последнее время развивалась более общая и одновременно более простая точка зрения, рассматривающая неопределенный интеграл как функцию множества, ло которому проиаводится интегрирование. Мы в дальнейшем имеем дело только с последним подходом.
В случае интеграла Стилтьеса — Радона речь идет о двух аддитивных функциях множества ер(Е) и »р(Е) и о функции точки г'(х), связанных друг с другом посредством следующих соотношений: ф(Е) = ~~(х) ейр(Е), (1) л с)ф (Е),/с(ер (Е) = 1 (х). (2) Второе соотношение при этом имеет место лишь «почти всюду». Следует еще отметить, что понятие производной одной функции множества по отношению к другой зависит существенно от геометрических свойств пространства, в котором лежат соответствующие множества. Правда, в приложении к этой работе мы покажем, что и в случае определенного на абстрактном множестве интеграла типа Стилтьеса (без всякого привлечения геометрических понятий) производную (2) можно ввести так, чтобы из (2) следовало (1). Общая концепция интегрирования, связанная с формулами (1), (2), неоднократно пропагандировалась Лебегом, который подчеркивал ее основополагающее значение для физики.
Однако мы увидим, что чисто логически это понятие интеграла включено в общий метод интегрирования »у(Е)= ~ерФЕ) (3) Е с необязательно аддитивной функцией множества ер (Е). Я надеюсь в одной из последующих работ показать, что это еще более общее 1Ог 16. Исследование понятия интеврала понятие также математически оправдано и что оно принесет большую пользу именно в теории меры и в общей теории квадратур поверхностей. В случае (3), где встречаются две функции множества, только одна из которых аддитивна, интегрирование, конечно, не может быть свявано с каким-то методом дифференцирования. Тем не менее и в этом случае функции ~Р и гр связаны отношением, носящим определенный дифференциальный характер, которое мы в дальнейшем введем под названием дифференциальной эквивалентности. Глава П ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (СЧЕТНЫЕ РАЗБИЕНИЯ) ~ $ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 1.
Система множеств со свойством, что пересечение двух множеств системы снова принадлежит системе, называется %-систетой (-мультипликативной системой) и обозначается Я через %. 2. Каждое разбиение множества Е из данной %-системы на конечное или счетное число попарно не пересекающихся слагаемых из той же системы Е = ~Р,Е„ обозначается череа ВЕ=ЯЕт множества Е„при этом называются элементами разбиения В.
3. Каждое разбиение РЕ с элементами Еп порождает в подмножестве Е' нз Е однозначно определенное раабиенне ВЕ'— = ХЕ„=Х ЬоЕ, и и которое обоаначим той же буквой 9. 4. Разбиение Р'Е называется продолжением разбиения ВЕ, если каждый элемент Е„' разбиения 1)' содержится в некотором элементе Е из В, что обозначим так: В' ) Р. Очевидно, что из В' ) О', Р' > .0 следует соотношение 11" ) .О. 5.
Под произведением двух разбиений П Е и Э'Е понимается раабиение (ВЭ")Е=Х Е„'Е . пт Я Если з системе множеств И содержатся два иепересекающихои множества, то согласно предположению и пустое мяояееетво принадлежит %. 103 16. Исследование нонатин интеерала 3десь Е„' и Е" обоаначают соответственно элементы из Р' и .Р". Благодаря основному свойству %-системы элементы проиаеедения разбиений принадлежат нашей %-системе. Проиаведенив двух разбиений, очевидно, является одновременно продолжением каждого из разбиений. 6. Определим еще сумму разбиений.
Если РЕ ж ',~~зЕн, РеоЕн ='„РзЕн и т и РЕ еи ,'~~ Ент еи ~~ ~~ Е„, нт то положим по определению Р'Е=~~~Рс ~Е Таким образом, каждое продолжение Р'Е разбиения РЕ может быть представлено в таком виде и притом единственным образом, в этом случае разбиения Р00Е„назовем компонентами продолжения Р'Е. Верно также обратное к этому утверждению: каждое разбиение ХР<н)Е„является, очевидно, продолжением разбиения РЕ. 7.
Совокупность элементов всех разбиений РЕ множества Е обоз- начается через %Е. Система множеств %Е сама является %-систе- мой. В самом деле, если Е' и Е" — элементы из %Е, то они встре- чаются в качестве элементов некоторых разбиений Р'Е и Р"Е, а пе- ресечение Е'Ев является элементом из (Р'Р")Е. Если 6 принадлежит %Е, то %6 содержится в %Е.
8. Допустим сейчас, что на некотором множестве разбиений РЕ множества Е задана одно- или многозначная функция 1 (Р). Следуя Муру, назовем число 1 пределом для ( (РЕ) при неограниченном про- должении разбиений РЕ и обозначим 1 = ((1(РЕ)), если для каждого е ) О существует такое РЕ, что для всех Р' ) Р определена функция ((Р') и выполняется неравенство (см. [4)) зпр )1(Р') — 1 ) (е. Легко видеть, что более одного предела существовать не может. Если Г и à — два предела, то найдутся также два разбиения Р'Е н .Р "Е, для произведения которых (являющегося совместным их про- должением) справедливы неравенства зпр ) ~ ((Р'Р")) — 1'! < е!2, зпр )1((Р'Р")) — 1" ) < е!2, откуда ! à — Г ( ~ е и в силу произвольности положительного е мы должны иметь Г = Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
