Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ван~вость усчовия ч ) О видна на примере уравнения тегьчопроводпости; при т ~ 0 равнения веустойчивы. В рамкат этого более точного подхода будем искать решение, заменяющее решение, ивображенное на рис. 2.5. Одна из очевидныт идей — искать решение со стационарным профилем нида р = р (Х), Х = . — Г)1, где (7 — постоянная, которую еще нужно определить. Тогда из (2.20) штеем ( (р) — и) рл — рл„. Интегрируя один раз, получаем ()(р) — ()р Р А = тр», (2.21) где А — постоннпая интегрирования. Отсюда следует соотнопте- ние,неявно определяющее р (Х); х ( лц 3 О(р) — сгц-А (2.22) но качественное поведение р (Х) легче установить непосредственно кз (2.21). Иас интересует возможность существования ршнения, стреьшщегося к постовтшыа~ состоянинн р р при Х )- со и р -ь р при Х вЂ” со. Если существует подобное решение с рх-~- О при Х -~- оо, то произвольные пока постоянные (7 и А должны удовлетворять соотношениям () (р ) — (гр, -'г А = () (р,) — ()р, ф А = О.
В частности, Е(рй-О(рй сч Р! (2.23) Для такого решения свлэь между скоростью (7 и паралтжраьш состояний на ~ со оказывается в точности такой же, как и в условии вз гравице разрыва) Звачения рн р являются нулями для (7 (р) — (7р + А и в общем случае это простые нули. Когда р стреьппсв к р, или рм интеграл в соотношении (2.22) расходятся и Х ~ ю, что к требуется.
Если между этими двумя нулями () (р) — Г)р -)- А ( 0 и т ) О, то рл ( 0 и решение имеет вид, приведенный на рис. 2.7, гце р мопатошю воарастает от р, на +со до р, на — со. Если ()(р) — Ир + А > 0 и т ) О, то решение возрастает от р на — со до р нз рсо. 2.4. Структура ударной волкгэ ,В салу уравнения (2.2() ясно, что если р, и р» фиксированы (тан что (Г и А также фиксированы), то изменегше т можно компенсировать изменением масштаба по оси Х. Прк т -ь О профиль на рнс. 2.7 сжимавгся в Х-направлении и в пределе превращается н ступенчатый перевод от р, и рю перемещающийся со скоростью, Рвс.
2.7. Отутжттра уаервоа з зин. определяемой равснстном (2.23). Зто в точности совпадаот с разрывным решением, изображенным па рис. 2.5. Для малых ненулевых значений ч ударная полна представлнет собой быстрое, по непрерывное возрастание иараъытров течения, происзодлщее в узкой области. В этой узкой области опрокидывание, вызываемое келинейностью, компенсируется Шгффузией, что приводит к стационарному профилю.
Одним из важвейшиз ыоментов является знак,' скачка р. Гели с'(р) ) О, то непрерьгвная волна, пасущая увеличение р, опрокинется вперед и возникнет ударная волна с р, ) р»; если с'(р) ( О, то произойдет опрокидывание назад и нозянкпет ударная волна с р, ( рг. Структура ударной волны, определяемая уравнением (2.2(), доля<на быть такой гке. Кан было указано выше, из усчсвия устойчивости следует положнтелыюсть т„так что направление возрастания р определяется знаком выражения 4) (р) — ((р -(- А ыежду лвумя пулями р и р . Но с' (р) =- 4) (р).
Отсюда следует, что при с' (р) ) О между нулями (3 (р) — Вр -~- А ( О и решение имеет вид, представленньгй на рнс. 2.7 с р, ) рп как зто и требуетсв. Если с' (р) ( О, то ступенька менвется нв противоположную и р, ( рг. Таким образом, рассуждения об опрокидывании и структура ударной волны согласуготся друг с другом. В частном случае, когда () (р] является квадратичным третчлепам ч) (р) = ар' + )эр + у. (2.24) интеграл в (2.22) легко вычисляется. Знак а онредечвет знак с' (р) = ()" (р) н длн опредавенности рассмотриьг случай а ) О.
Можно полонгить 0 — ((р+ А = — (р — р) (рз — р) Гл. 2. Вечны и уравнения первого порядка где Г/ = р + а (р» + р»), Л = ар»р» — у. Тогда соотношение (2.22) принимает вид )н ж " . (2.25) и (Р— р») (ы — с) а (гч — сй Р— с» Если Х -»- со, то р -». р, экспоненциально, а если Х -»- — со, то р р, экспопенциально. Переходная область не имеет точной толятины, но ее можно измерить различи»па» спаса»н»»и, нзяв, например, расстояние, на котором плотность меняется на 90»(, или опювгег»ие (р — р,) к иаксииальной крутизне (р ° (. Ясно, что нее этн меры толщины пропорциональны величине » ж(р» — РО (2.20) р, + с (р) р„ = О, Ьгя которых выполняется условие яа разрыве 0 (с») — 0 (ж) р» Р» тто верно, если решения сравниваются ж»я фиксированных х н три ч -ь О.
Однако поскольку переходная область ударной волны :тановится очень п»ирокой, иогда (р» — р,)/р, 0 при ф»жсггр»»- »анно»» т, то в любой задаче, в которой при г со»штенсивности /парных волн стремятся к нулю, яюжет наступи~э конечная стагия с чрезвычайно слабыми ударвымн волнами, когда раэрынная »сория станет неприменимой. Обычно эта стадии совершенно Если она мала по сравнению с другими характерными длинами задачи, то резкий ударный переход удонлетзорнтельно аппроксимируется разрывом. 51»г видим, что эта толщина стреыится к нулю, когда ч — »- 0 при фиксированных рп р, но следует также от»»етит»,. что достаточно слабая ударвап полна с (р» — р,)/р, 0 леизбсн»но становится достатош»о толстой длл любого сколь угодна малого фиксированного т. Для слабых ударных волн (? (р) всегда мояею анпроксимировать подходящей квадратичной фупкнией в изтсрвале от р, до рм так что применима формула (2.25).
Ова н цело»» неплохо описывает форму даже ударных волн умеренной интенсивности. Ре»лепке, описыааюгдее структуру ударной волны, предстазэяет собой лив»ь одно частное ре»пение уравнения (2.20), но этот аример позволлот надеяться, что з обшеп случае, когда т и з падле»кажем безразмерном виде, решения уравненил (2.20) »тремятся к разрывным решениям уравнении 2.5. Слабые ударные волны ве представляет интереса, там кэк ударные волны должны быть уж очень слабыми. Другими словами, иожко сказвтв, что дна различныт подхода к устранению вевриемлемых многозпачныт решений согласуюлсл. Разрывные уда р лыс волны аналитически проще, них можно испол ьвовать в более сложных задачах.
Для более подробного обоснования этих рассуждений нукио найти в явиолл виде некоторые решеннв уравнения (2.20) г ударнымв волнами различной интенсивности. Хотя в случае произвольной ааввсимости ()(р) такие решения неизвестны, окааывается, па уравнение (2.20] можне решить в авнллм ниде. если () (р) опять янляется квадратичной функцией. Умножив уравнение (2.20) на с' (р), его можно переписать в виде с, -)- ссч = т'(р)рч„= гс — тс"(р)р.'. (2.27) Если () (р) — нввдратичная функцил, то с (р) — линойвая фуняция от р и с "(р) = О, откуда малеев сл + сс„= тг„ (2.28) Это уравнение Ввлргерса,в его монны решить в явном виде; основные результаты приведены н гл.
4. Пена мы примем это во внимание при изучении раарыввых решений уравнения (2.2). учитывал, что для очень слабых ударных волн подход, связаекый с разрывными реяпениями, неприемлем. В этом случае »ошно аппроксимировать Ь)(р) квадратичной функпиои и попользовать уравнение Вгоргерсв. Рассуждения этого параграфа сущестаешю опираются на условие т ) О. 1(ак отмечалось ранее, оно необтодиыо для устойчивости задачи. Одваао для пшова транспорта и приливных волн имеют место интересные глучаяг неустойчивости, которые будут обсуягдены в гл. 3.
2.5. Счабыс ударные во)гны В ряде случаев ударные волны лвллготся слабыми, так что ('р» — РВ/ря ялало, на все лве они не васточьно слабы, чтобы их нельзя было описывать нак разрывы. Полезно привести для таких случаев неноторые приблилневкые выражения. Когда интенсивность ударной волны (рл — ря)/рл стремится к О, скорость ударной «олвы () 0 (ля) 0 (лл) Рл — И Гл. 2. Волны в ураннения первого порядка стремится к характеристической скорости с(р)= —. до лв ' Для слабых волн выражение лля скорости ударной волны О можно разложить в ряд Те(жора по степеням (р» — р»)гр„что дает О = О' (р,) + Ч» (р, — р,) О' (р,) б О (р, — р,)д Скорость распространения с (р,) =- фо (р,) такяге можно раалона»ть в ряд Тейлора (р,) =.— с (р ) ф (р, — р») О (р,) -) О (р» -- р,)».
Следоватюгьно, О .=- '(, (с, б с,) б О (р, — р,]», (2.29) где с, = с (р,) и г, = с ((»). В этом приблил»е»п»и скорость ударной волны представляет собой среднее арвфметвчесное характер»ютичесних скоростей ва сторопах разрыва. В (л, »)-пчоскости кр»шая, по которой распространнется раврыв, делит пополам угол, образованный характерно»юга»гн, пересекагощимися ва этой к рквОй. Вто свойство не тольнополевно приграфическом изображении раарывов, но и уврощает аналктнческое определение положеш»я разр»»ва.
Еслп О (р) — квадратичная функдия, то это соотношение, очевидно, является точным. 2.6. Условие опрея»тдынни»»и Непрорывнан волна опрокидывается и приводит к разрыву тогда и тольао тогда, когда скорость распространении с убывает с увели*гением х.
Следовательно,при налички разрыва (2лдо) с»> О)с»; здесь все с ко рост почитаются положительными, если они направленм в сторону возрастания я, ивдексои 1 отмечено значение с непосредственно перед разрывом (т. е. со стороны больших значений х), а вндексом2 — влечение ссразу эа разрывом. Описываемая этим разрывом ударная волна вызывает увеличение скорости с, которая является сверхавуковой для наблюда»вля, находнщегося перед волной, в дозвуконой для наблюлателя, находящего»и эа волной. Рассматривая только условия па разрыве, ыоя»па допустить случай с (сгОднано ударная волна с с,(с, не может сфор»п»ра- 2.6. Условие опрокидывания 43 еаться из непрерывной волны и в ней нет необходньюстн. Поэтому такие волны нснлгочаготся иэ рассьютрения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
