Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 10
Текст из файла (страница 10)
где с, .= с (р,), с„=- с (р»). Простота этого случая состоит в тои, что все релпнио задачи можно записать только чсреа одну перемонну«о с. Непреръ«евое решение имеет вид с .=. Р (4), (2.40) х = 4 -)- Р (4) с, н разрывы следую строить такны образом, чтобы (/ =- '/» (с, + с,) =- «/» (Р (4«) + Р ($П), (2.41) где 4«и $» — злаченнн $ на сторонах разрыва. Поскольку р н с сз««вань«линейным соотношением, иэ сохранении р следует сохранение с, т.
е, на решениях ~ с г(т сохрэ««яется. О«ед««ватель««о, длн этого частного случая построение для (р, з)-кривом, приведенное па рис. 2.8. применимо равным образом и к (с, л)-кривой. Для дальнейших ссылок стоит отметить, что ато решенне, ааписанное через с, удовлетворяет уравнению с, + сс„ = О, (2. 42) а соответствующие слабые решения удовлетворяют завену сохранения с, + (с»/2) = О, (2.43) 2.8.
Построение раэрывов; квадратичная 4) (р) 49 так что условие на рварыве имеет вид П= — ' = — (с,+сэ). Пэ — ггг/2 Г (2.44) гэ — гг 2 Ураввение (2.42) справедливо длн случая проивнольной зависимости (? (р], поскольку оно получается умножением на с' (р) уравнения р, + с (р) р = 0; ревультат (2.44) всегда являетсв одним Ег Ет Е эИ) .ь а 3 !'нс.)2 О. Посгрееэээ,ойгэстса рэвяок оаощэдю — Лэя ясходвого врафявя, Ь вЂ” лэя грэасфоряэроэавкого оврокэднваюшэгося ярофяэя. нв воэножпых слабых решений, по этот выбор краек.ын лждь тогда, когда () (р) — квадратичная функция или аппроксимируется квадратичной функцией, поскольку только в этом случае антегральяый аналог раоеяства (2.43) сохраняется при переходе через разрыв.
Построение раэрыва могкно теперь. вжтн параллельно с построениеы непрерывного решения (2.40). Поскольку теперь мы работнем с с, не нувгпо лелать услоягняющега дело различия меткду слушямн с' (р) ) 0 и с' (р) ~ О. Согласно (2.40), решение в момент времени г получаегсн на исходного профиля с = Р (4) сдвигом ка|кдой точки вправо на расстовнне Р (ф) г, как понаэано на рнс. 2.9. Раарыв выреэает часть, соответствующую отреэку $в ) $ ~ $г. Если линию рвврыва па рис. 2.9„Ь также отобравить обратно на рис. 2.9, а, то она перейдет в отрезок хорды, соединяющий точки кривой Р'(4) с $ = — $г и $ = Ет.
Далее, поскольку площади при таком отображении сохраянются, свойство равных площадей остаетсн справедливыи и лля рис. 2.9, а; площади областей, ограниченных кривой Р и отреэнамн хорды, равны мюкду собой. Таким обраэоы, раврыв монгно полностью найти по эаданяой кривой Р (с), построив все хорды со свойством равных площадей. Точки 5 .= йь ф= $„лежащие ка концах такой хорды, отвечают характеристикам, пересекающимся н точке равры- Гл.
2. Волны и уравнения первого порядка 50 ва. Соответствующая (х, с)-плоскость ивображева на рис. 2.Ю. Аналитически свонство равных площадей можно выравить следующим обравсм: и — (Р(Ы+В(щ))(Б~ — йг)= ~ Е(Ф) й, (245) поскольну левал часть равна площади, ограниченной сверху хордой, а правая — площади, ограгщчегсгой сверху кривой Р.
Коли раары» в момент времени С находится в точке а .= г (С), то вмеем также а(с) = — ьг+ Р(йг) с, (2.46) а (с) — 5, 4- Г К,) Д (2.47) что следует ив второго ив равенств (2,40). Три уравнения (2.45)— (2.47) определяют три функции а (С), Ег (С) и Бс Й) СРункцив е (С) 4 Ее Рнс. й 10. (с, Г) диаграмма, соответствующая построению рааркса на рю с.
2 9. находится с помощью функций 5, (с) и $ (с), которые определяют характеристики, пересевающиесв в точке раарыва в ьюмевт времени С. Значении с на двух сторонах разрыва равны се== г' (Ег) н с =- г" ($ ); аначения р находится по вначенивм с. Поскольку равенства (2.45) — (247), определяющие поло1кение раврыва,получены геометрически, интересно провери~ь непосредственно, что они действительно удонлетворнют условщо (2.4() на раврыве. Эту проверну ыожпо провести как неаависимый вывод равенства (2.45).
Нам надо найти три функции т (М), $г (8) и $т ((), удовлетворнющие равенствам (2.46), (2.47) и условию (с) =- Н (у (% ) + у (Е,)) (2.46) 51 2.8. 1!остросиис разрывов; квадратичкая О (р) (точка означает диффереидироваяие по 1). Пв (2.46) и (2.47) имеем Ь вЂ” (т Р (В1 — Ра ) (2.49) и з(с)=(1+гГ(2 ИЕ,+ Г (ул), (т)=(1+1 (5,))$,-( Г(%,). Взяв для сахракеяия симметрии среднее арифметическое двух последяих выражекий для в, подставив для с выражеиие (2.49) и затем полстааив реаультат з (2.48), получим 2 ( (~1) ~+ ~")(и)( ч ~)+ + —.', (Г($В+Гй)) А — Вв)=-Г6)Ь вЂ” Р((т)Ь, 1!роиктогрировав зто выра1неиис, получим равенство (2.45); по стояяяую иятегрироваяия можно опустить, посиольву яачальяая точка разрыва $г = $ должна быть рещевиель Выражеяие (2.49) дли 1 майкла копаю зоаать дла исследования рааеития разрыва. Поскоаьку с ) О, все иктсресующие кас хорды яа рис.
2.9, а полячки иметь отрицательный наклон. Так как, согласно выбору абозвачеипй, $г ) $„яиееьг Г (йэ) ) Г Ят), т. с. о, ) с„как и следует ив условия опрокидывания. Самое раипее время аозкикиовеиив раврь1ва соответствует самой крутой хорде. Этому отвечает прелслькый случай, когда хорда является иасательяой в точке перегиба, скажем 5 .=- $в.
В этом случае Г (2,): Г ($ ), так что разрыв зачияаотсн с пулевого скачка и в мамект времени т св = в — в В). Этот результат псляоотыо совпадает с аь1ведслиь1м раяее уело. вием (2.8) лля точки первого опрокидываяия. Для кривой Г лоназакиого яа рис. 2.9, а вила при г- оо хорды стремятся к гориеокталям, прп атом Г (ьв) — Г ($г) О, откуда о — с, О, тап что при С вЂ” ~- со разрыв стремитсн к кул)с. Одиночный ворб Длв подробного изучекия разрыва прелполоячим сиа жла, что Г ($) резка кокоторой постояккои о, вке интервала О ( $ ( Ь и Г ($) ) с в атом иягервало. Уравяские (2.45) можно переписать в инде и у(Г(фг)+Г(Ь вЂ” 2оо)(Ь вЂ” $г)= ~ (Г6) — сэ) л5. ы Гл. 2.
Волвы и уравнения первого порядка 52 С ростом времеви $» возрастает и в какой-то»юмевт превосходит Ь. На втой стадии Г (ф») = с» и разрыв движется в область, где с = с». Функцию ф» (Г) мо»кно исключит»о поскольку теперь —,(Г( ) —;)(( — 40=~(ра — цж, 1 Ь вЂ” »» Г йй — '»' Следовательно, т ((Г (И») С 1 (Г(ь) с») Аь На втой стадии положение раарьгва и зкачевие с сразу за разрывом даются равенствами » (с) =- $ + ГК~)й с = Г($»), (2.50) где $» (Г) у»!озлетворяет соотвошеиию —,'(Ра) —;) =1(Г(ф)-;)А4 эй если т-ь оо, то 4» — ». 0 и Г ($ ) -ь с»; при этом уравнение для 4» (т) прилив»ает предельный вид — (ГЯ») — с»)'г- А, 2 тле А= — ~ (Г(() — с»)»5 е влощадь горба иад вевоамущевкым уровиеы с». Тазик обрааом, при $ — ьО мы имеем Р ($») — с + ф"2А»т.
поэте»гу выражевия (2.60) переходят в следующие аоки»гготические формулы для а (г) и с» » — с»с+)' 2Ат. (2.5() с — с» (Г 2АЕ. Ливия разрыва асимптотичесви приближается к параболе, а величина разрыва, равная (с — с»)/сы стремится к нулю как т-п». ' Реп»ение эа раарывом даегсн развив»вами (2.40), где 0 < $ < < 5». Так как $0 при с -ь оо, все интересующие нас зиа- 2.8.
11остроение разрывов; квадратичная 0 (р) чения Ч также стреьжтся к нулю и асимптотическое выражение имеет вид с з, сое(х(ссз+)' 2А1. (2.52) Это асимптотическое ре~яение и соответствующан (х, 1)-диаграмма са с,щ ч'гар Рис. Вят. Асакаготаческгя форма греуговьаов волам. приведены ва рис. 2.11. Отметим, по все детали начального профиля утеряны, в асиьштотичсском решении фигурирует только величина А = ~ (Г ($) — се) сЦ. Аналогичным образом можно рассматривать и некоторые другие задачи.
Важным примероы пвлнется случай, когда г (з) имеет поло~низенькую и отрииатечьпую фазы относительно невозмущенного вначеяип сю кан показано нв рис. 2.12. В етом случае существуют два раврьгва, соответствующие двум областям сжатия — опереди и сзади, где г ' (а) ( О.
Семейства хорд для каждого разрыва изображены на ргисунке. 11ри 1 оо паря (ьз, ег) стремится для переднего раврыва к (О, оо)„а для заднего разрыва к ( — ос, О). Асимтпотичссни передний разрыв определнетсятак: 3 с„з+)г2АС Рае.
222. Поогроенае раврыво» нлн Л'-ванны. Рнс. 2.22. Асили*овнееслан форне Л"-волны. 2.8. Построение раврывов; «вадратичнви () (р) а его величина — так: —, — )г 2А)1, где А — пчощаль области, распологкенной ниже ариной У и вылив пряной е .= ее. Задний раарыв определяется соотпошеяиями е — е,е — ):2В1, е ее ) 2ВВ где  — площадь области, респолоягепной выше кривой Р и ниже прямой с = се. Ма>аду раарывами решение асимптотически снова представляетсн так: е — —, а1 — )РЗВ1(х(еес+)Г 2ЛР. (2.53) Лсвмлтотическая форма бе-волны и соответствующая (л, 1)-анаграмма приведены на рис.
2АЗ. Очертания атоса профиля напоминают букву Т; атнм и обусловлено наваание йе-волньг. Периодическая селла Другой шпересвмй случай — начальный профиль вида е .= р (5) = е, + аш (2я5/5). (2.54) В атом случае уравнения (2.45) — (2.47) для раарыва аначнтельно 11 Л Ряс. 2.11. Лсстроееше разрыва дл» аерясдячеекеи палны. упрощаются при всех 1. Рассмотрим одшг период 0 ( 4 ( )., как вто сделано на рис. 2А4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
