Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Волны и уравнения первого порядка усиливающиеся за счет резкого сужения русла), достаточно высо- кие лля того, ггобы преодолеть различные эффекты трения. Тео- рия этого явления обсуждалась и применялась Лбботтом (1); мы вернемся к ней в э 8.7. Волны от движуи(евсея источника Если з урэвзенви (2.70) свободный чаек Ь пе зависят от р, го его могкно рассматривать как внешний источник.
Особенно интересен случай, когда этот источник двнжетоя с постоялной скоростью У. Недавно рассмотрен пример з более сложной области мжяитной газовой динамики, где волны возбуждаются приложеаной к жидкости движущейся силой (Хоффлган (1)]. В кашей простой модели можно рассмотреть некоторые кзчественвые эффекты. Пусть Ь вЂ”.
В(я — У0, (2.78) р .= р (Х), Х == г — Уд Поскольку мы все равно кнтересуемся только качественными эффектзмз, ограничимсн частным случаем е, + се . = В (г — Ух). (2.79) Тогда для решения со стационарным профилем получаем (е — У) ех = В (Х), — (У вЂ” е) — — (1' — св) =- — ) В(у)ду. г г Г г х 2 х В сверхзвуковом случае У ~ с, функция с равна с= У вЂ” ((У вЂ” со)' — 2 ~ В (у) ду ( х (2.80) где У вЂ” постоянная, а В (х) — некоторая положительная функция, быстро стремящаяся к нулю при ~ т ~ ео.
Вудам считать, что при с =- 0 велкчива р постоянна, р —.- ро, к положим со . = с (ро). Возможны два существенна рааличных случая, отвечающих движеншо источника со сзерхавуяовой скоростью У ) е,и с доавуковой скоростью У ( ео. Оказывается, справедлив следующий удивительный результат: сверхзвуновой неточная не обязательно приводит к образованию ударной волны, хотя ато неизбежно для дозвунозого источника. дто легко увидеть, рассмотрев ре~пенкя со стацнопарньгм профилем вида 2ЛЗ.
Нелинейные уравнения первого порядка Р— се) (2 ) В (У) ИУ~ (2.81) то равенство (2.80) определяет гладкую однозначную функцию и разрывы не возникают. Критерий (2.81) — неравенство, связывающее скорость р — с„н полную интенсивность источника ~ в(р>гр. Этот результат можно пояснить следующими рассуяздениями. Если источник двизкется со сверхзвуковой скоростью, то ударнав волна может двигаться вместе с ннм лишь тогда, «огда она достаточно сильна.
Но если источник сравнительно маломощен, то сильная ударная волна не может возникнуть и не возникает. Если неравенство (2.81) не выполняется, то волна (2.80) опрокидывается при Х ( Х, где Х, опроделяетсн из равенства Р— со= (2 ~ В(у) уу) х, При Х = Х„мы имеем с . = Р н случайные возмущения начальных условий могут определять н действительно определяют новедение волны. Репзение не может быть полным без тщательного учета нгях возмущений. Апалогичным образом и в дозвуковом случае резаение нельзя построить без ушата ноамущений.
В обоих случаях обнаружено вознннновение ударных волн. Этот вопрос был подробно рассмотрея Хоффманом (1). 2.13. Нелинейные уравнения первого порядка Рассмотрение «вазилинейного уравнеаия подняло много вопросов, требузвцих дальнеюпего изучения.
Прекзде чем приступить к этому, заметим, однако,что аналогичныепостроения,использующие характеристики, можно провести в общем случае произвольного нелинейного уравнения первого порядка. Эти результаты иам также понадобятся в дальнейшем. Полезно иметь характеристическую форму длауравнення с н неаависиьпами перемеяныни (х,..., х„). Для этого рассмотрнм Функцию Ф (хг. °, х„), удонлетворяющую дифференциальному уравнению (2.82) В (р, и, х) = О, Гтг. 2. Велим и уравнения первого порядке 70.
тек что Итр?с(ь = серг, 'зятем с помощью исходного уревяения мы нашли х ер Но в общем случзе величины р, нельзя исключить иа уравнения для Нртоо, пялим бы ни был выбор т(л;НХ. Таким обрезам, нельзя получить обыкновенное дифференциальное уравнение только для ю: в уряввение обязательно войдут и ре. Однеко рассмотриы теперь полиые производвые вдоль кривОй Ж в от рд ~:т =-~(%) = —..'., ~'- (2.84) Дифференцируя уравнение (2.82) по яг, ислучяем (2.85) Срввнввяя (2.84) и (2.85), вядим, что особенно выгодно выбрять кривую Ъ, положив дп дя тр' др В етом скучав равенство (с.84) с учетоы (2.85) приводвтся я ющу др, аН дк — — — Ре — —. во др дст ' т) Мы пользуемся соглащеввем о суьпп~ровввми по повторяющемуся индексу е превееех 1,..., о.
(2.87) где Р и х — вектоРы с компонентами Рт и лт, д 1,..., Я, и дс (2.83) Длн введения характеристической формы зададимся вапросомт существуют ли в я-простреястве кривые, родственные хвряктеристикам квязиливейных уравнений? Любую кривую Ж в я-пространстве можно записать в первметрнческом виде х =- х (Л). Полнея производная фуякции ф вдоль кривой р( ранив ) дч Вр д*т дту дь а дь РГ дь Существует ли канительный вектор Игу?т(Д, игреющнй особую роль при решении уравнения (2.82)? В кзазилинекном случае, где Л = сг (тр, х) ру — Ь (тр, х), мы полоятили — =от(ю, х), 2ЛЗ. Нелинейные уравнения первого порядка 71 Добавим еще уравнение сы =Рг ) в ер, тогда уравнении (2.86) — (2.88) образуют полную систему иа 2п -)- 1 обыкновенных дифференциальных уравнений, определвющих тха- рактеристикш л (Х) и значение ф и Р, вдоль них.
В принципе реше- ние во всей области можно получить, интегрируя ати уравнения вдоль характеристик, вскрывающих данную область. В частном случае квазилинейншо уравнении Н = — с, (ф, х)р,— — Ь (~р, х) и уранненин (2.86) и (2.88) сводится к ураннепинм вн (р, х), — =Ргсг=Ь(ы, х), которые можно решать незааисиыо от (2.87). В наших предыдущих рассул;цепках одной из переменных с; была время ц соответствующий коаффициевт с, был равен единице, а параметром Х служило само время Глава 3 КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ В атой главе основные идеи, иэложеняъю выше, применнютсл дхя подробного научения фиввческих эадач, обсуждавшихся в у 2.2.
В то же время эти общие идеи пгечучают дальнейшее рааввтие на основе конкретных уравнений. 3Л. Ноток трапспорта Приложение наложенных выше идей к потоку транспорта было дано независимо Лайтхиллом и упаемом а! и Ричардсом [ц. ясно, что в этом случае скорость потока у(р) = — „ Ооэ должна быть убывающей функцией р, начвнающейся с конечного максимального эвачения при р .=- О и стремящейся к нулю при Ру Р Рт Рас. Эд. Навес месть расхода от ваотвоста даа лотова травсаорп р -г рв аоачепнн, при котором машины утгираются бамперами одна в другую. Таким обрааом, Д (р) обращается в нуль при р = О и р =- рг и достигает максимального эначения о при яекотороы промежуточном аначении плотности р .
В общем служа ЗлС Поток транспорта 73 это выпуклан фуняция, изображенная нв рис. 3.1. Реальные наблюдении за потоком транспорта показывают, что для однорядного движения характерны счедующие значения: рг 225 машин на милю '), р — 80 л~апшв на милю, 2 1500 машин в час. Для автострад зги величины в первом приближении можно умножить ва число полос движыня. Интересна, что, согласно зтям цифрам, максимальная величина расхода р достигается при ыалойг скорости порядка 20 миль в час. Скорость распространенна возмущений равна с (р) -= (/' (р) = У [р) + рУ' (р).
Поскольку У'(р) (О, зта скорость мекал~с скорости движения машин; волны распространяются назад по потоку транспорта, предупреждая всдитедей о помехах впереди. Скорость с равна наклону (2, р)-кривой, так что волны распространяются вперед. относительно дороги при р ( р и назад при р ) р . При максимальном расходе р .= р я волны неподвижны относительно дороги, так что скорость распространения относительно ыашиа также равна с /р — 20 миль в час.
Поведение потока вблизи точки 𠆆. р/ можно врныерно онисатть учтя время реакции. Гели предноложитть что водителто (и его машине) требуется время Ь для того, чтобы отреагировать на изменение ушговий движения впереди, то ддя безопасности движения машины должны держаться одна от другой на расстоянии УЬ. Если 5 — иятервал, определнвмый кзк расстонние ьгея<ду переднями бамперами двух соседних машан, а й — характерная длина машины, то приходим м равенству / — / У == — '.
6 Поскольку Ь =- 1/р, Ь =. 1/ря имеем У (р) — — ( — — 1), С) (р) — 6 (рг р). Эти равенства следует рассматривать лишь как оценку наклона кривой 4) (р] в точне рг, а ие как действительное предсказание линейной вависилюсти от р. Ва всяком случае, из последнего равенства следует, что в атой точке скорость распространения возмущений с =- — Е/Ь.
Для реального потока транспорта Ь обычно лежит в ивтернале 0,5 — 1,5 секунды, хотя при других обстоятельствах время реакции человека ыс ъет быть намного меныпе. Считая 5 равной 20 футам з), а Ь равным одной секунде, нолучаем с/ — — 14 мида в час. «) Вакомнз», что сухопутная мззя раина примерно 1,6 яв.— //р ь. ар з) Баловник, что фут равен примерно 30,5 см.— НЛ ° з Гм. Гя. 3. Конкретвые задачи !"ривберг (1) поквзвл, что дэивые, полученные для туннеля Ливколька в Пыо-Порке, хорошо описывв>отея формулой Е (р) = зр ). (р,)р), где а = 17,2 миль в чвс, р> == 228 мешки ив милю. При такой зэвисилюгти относительная скорость распрострвиеяия возмущения р — с равна постоянному значению а при всех вкэчевиях г=гя >э Рж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
