Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Структура мовоглеоальноа лаводан ой залпы г, внутреннем раз. ризом. няется быстрее, чем волны низшего порядка, но ьгедлегшее, чем волны высшего порядка перед ней. Гати ог-Ф7Ь,<(7<о. ФаЪ., 93 3.2. Паводковые волгш лт т — + —,, д')г. Если разрын выбирается таням, чтобы профиль изменился от Ь = Ь, до Ь = Ь * на ворхней ветви, кая показано на рис.
3.9, то это требование принимает вид П ф Ежайьз)"' — ~ ь,= 2 Вз, т,„, йа —,+ — б'Ь"т= — + — б'Ь,', илн Ь 2 Ье 2 ") Для чаеершенен решения данной фваячесвой еадечн адесь вем требуемся математические результаты, которые будут устаеоаяенн ниже (е гл. 5 и 10). Одвако нредетаелвется более ухабным нсяолшоеать их здесь с мвипмумом поясневяй, чем откчедмеать полное решевве задача. то знаменатель в (3.51) вееняет на профиле зван и интегральная кривая поворачивает назад (рис. 3.9). Одиозна шый профиль получается введением соответствующего разрыве, как показано па этоы рисунке.
В отличие от случая потока транспорта основные ааконы сохранения в шпегральной форые (3.34) и (3.35) известны и справедливы кан для нсч1рерывных, таъ и для разрывных решений. Приыенля к ниы процедуру, описанную в 4 2.3, получаеи следующие условны па расположенном в точке х =- ч (т) раарыве '): — е (Ь] + (йг] — — О, (3.53) — е(йо! + Ушт + х(хб'Ье] =- О. (3.54) Следует специально отметить, что нравая часть равенства (3.35) не дает вклада в пределе х, -ь х„. Отн условия на разрыве следует рассматривать совместно с уравнениями (ЗМ) так же, как условие (3.39) рассьеатривается совместно с уравнением (3.38).
Следует быть осторожным прн объединении уравнений и условий яа разрыве па наждом уровне опвсания. Прв изменении уровня описания меняется число как ураеяений, так и условий на разрыве. Разрывы, описываемые условиями (3.53) и (3,54), реально проявляготся как турбулентные борн, вэвестяые з теории волн на воде как егидрлвлические прыжки» или буруны на отмели. В данном ш|учае необходима построить разрыв, удовлетворяющий условиям (3.53) и (3.54), для решения уравнеьеая (3.36) со стационарным профилем; ясно, что сиорооть разрыва так лес равна (Г. В силу (3.46), для любого разрыва между ветвями профиля (вкле1чея прямые Ь = Ь, в Ь = Ь, кан воамотиные решения чравнеяия (3.51)) выра>кепке Ь ((à — с) автоыатичсшки будет непрь" рывным и условие (3.53) будет выполненным. Второе требонание (З.уьгь) опредечяш положение этого разрыва.
Для выполнения условия (3.54] требуется, чтобы выражение Ьо (о — Щ + Ч, б'Ьт было вепрерывныи. В силу (3.46), это вквивалептно непрерывности выражения Гл. 3. Копяретвые задачи Используя соотношения (3.48), последнее равенство можно переписать в терминах Ьъ и Ь,. Можно провернггь что уиазанвьпу выбор согласуется со следующими требованиями: 1) д'Ьъз — Вз) О, тан что Ь = Ь а на верхней ветви, и 2) Ье (Ь„если Б (4Съ. Оиоътательный вывод, танъш образом, состоит в том, что перво. начальный разрыв кинематнческой теории (равенстве (3 38) и (3 39)) при более подробном описании (3.36) переходвт в гладкий профиль, если выпасззются неравенства (3.52). Для болю силънъгх ударпыт волн, нарушающих условия (3.52), остается разрыв, отвечающин раарыву в решении уравнения (3.36).
Дальнейшее выяснение «а1кности неравенств (3.52) будет проведено (сы. гл. 10) после подроблого изложения теории ъарактернстин н разрывов для систем выси~их порядков. Упоминавшиеся выше ватящисся волны получаются объединением гладких участяов, удош~етаоряющих уравнению (3.50), с разрывнъ1ъш борами, удовлетворяющими ътловиям (3.53) в (3.54). Можно показать, что выражение д Ь" — В» долгино менять знак иа профхше, зо гладкие частя сохраялъстся монотонными требованием, чтобы числитель в (3.50) также обращался в яучь прн критическом значепим глубпяы. Это требовашие связывает два параметра В и В, один яз которых можно считать основньпз в сеыействе решений и свяаать с величинов расхода.
Дальнейшие детали моя;но найти в статье Дресслера !1!. 3.3. Ледники Най И, 2! ошетил, что зги иден о паводковых волнах равным образом прнменвыы к изучению волн в ледниках, и наследовал наиболее важные свойства таках волн. Он ссылается на Фшъстервальдера И! кан на первого исследователя волновых движений в лепнинах и на независимо полученные ревультаты Вертмана И!. Учмпзвая трудности проеедоння наблюдений за течением ледников„связанные как с их недоступностью, тан в с малой скоростью двъъжешъя, более яадеясныьпь считаются полутеоретические выводы. Для этого подробно рассмотръпг движение тяпа сдвига при двумерноы стаъръонарном течении по склону постоянной крутивлы. Пусть и (р) — скорость слоя, находящегося на расстоянии у от основания, и пусть т (у) — сдвигающее усилие.
Для льда представляется разумной следующая завискиость мел<ну зтпм усилием и скоростью дефоръ1а11ии: )ъ — =- т, дз (3.55) где и приближенно равно 3 нли 4. (В случае ньютоновой нявкой среды и = 1.) Далее, лед скользят по основанию согласно при- 3.3. Ледники 95 ближенному закону ти (О) = т (О), (3.56) где и эа И, (л -~- 1) ж 2. Для слоя, ле>ьащего мюкду у и у -'. бу, разность между сдвигающими усилиями должна уравновешиваться силой тяя!соти. Если а — угол наклопа и р — плотность льда, то бт = — рбуу з!в а. Таким образом, щ — = — рувп а.
эв (3.57) Иоскольку т обращается в нуль на поверхности ледника у =- Ь, решение длн т нмеет вид т = (й — у) рд з!в а. Интегрируя теперь уравнение (3.55) с граничшгм условием (3.56), получаем (у) = " + — " (Д""' — (5 — й)в"). (3-53) Н и -(-! расход, отнесенный к единице ширины, равен 0)гв!во! ь +!+ (гамаа! ! ! (3 а-(-Э О Для оценки порядка величин можно положить где Д' лежит в интервале между 3 и 5. Скорость распространенна возмущений где о — среднля скорость ь)*рж Таким образом, вш!ны распространяются со скоростью, в трн-пять раз больпген, чем средняя скорость течения.
Характерные скорости имеют порндок от 03 до 100 метров в год. Используя результаты и идеи, приведенные в гл. 2, мои!но реп!ать раэличгпее задачи. Иптересвым вопросом, рассмотренным Наем, является влияние периодического наиопления и испарения льца; в аависнмости от периода это может бмть свяаано с сезонными пли климатическими изменениями. Для этого в уравнение неразрывности добавляется известный член 7(л, !), т. е.полагают Ь! + йй = У (э, !), де = ()е (Ь, л), (3 60) Гл. 3.
Конкретшле задачи Последствия определяются интегрированием характеристнческнх уравнений — =)(т, С) — ()*„()ц х), да дг Основной резнльтюг эаключаетсл в том, что некоторые части лед- нппз могут быть очень чувствительными к пнешпему воздействию и добавочный член молгет сработать ггак спусковой механизм для сравнительно быстрых локальных кэменегжй. 3.4.
Хссьссгческсге процессы обьтена! хроматография; отдохкевие осадков в реках Урапнения, описывающие процесс обмена между тнердой фазой и протекающей черев пее жидкостью, были выведены в т 2,2. Обмен ггигю может быть спяэан с частицами изи ионами какого- нибудь вещества, либо ре*п мокнет идти о тепловом обмене лпзкду твердой фанов н жидкосппо, Другим примером является отложе- ние осадков в реках (см. Киич И!), Уравнения, связывающие плотность рг в жидкости и плотность р, адсорбпрованкого вещества, имеют вкд д д — „, (Рг ' Р.)гй — „, (Удс)=6, — ' = йг (А — Р,) Рà — йзР, ( — РС) .
дгч дл (3.62) При сравнительно медленных изменениях плотностей и сравнитель- но высопих скоростях реакции йп й, эо втором уравнении монгно пренебречь членом др,lдг и ваять его в квазиравновесной форме, что даст Ьгддг Сг,я+(Лг — а,) р, Подставив это выражение в (3.01), получим (3 63) (3.64) Таким обрааоы, ивлгенения плотности распространяются вверх по потоку со скоростью у лд Я'(И) (3.63) 3.4. Химические процессы обмена где ща,лк 7) (Р) (ьв ~ь э щи) Если рассматриваемые плотности малы„то приближенно ь,в щл-(-аэл (3.66) (3.67) г=с — —,',, о= —. Г и уравпенин принимают вид — -(- — *=О, до де (3 Яй) дт цч Первое уравнение превращается в тождество выбором (3.69) Рт т) Р фа а иа второго уравнения получается уравнение для ф: %', +ай,+()ф +уч 1Ч=-О.
Произведем теперь нелинейное преобразование (3.70) (3.71) и получим уж+ пд. + ()д. =- О. (3.72) Скорость распространения возмущений зависит от скоростей реакции рассматриваемого процесса; ока мевыпе Ллл вмцества с болыпей адсорбциоппой способностью. Если па колонку поступает смесь веществ, различные компоненты которой обладают различными адсорбционнычи способностлми, то эти компоненты будут двигаться вниз по колоняе с раэличпыьпг скоростямв. Таним образом, на колонке коьшонепты смеси образуют отдельные полосы; если ови к тому же окрюпеньц то обраауется спектр. В этолт и ааключаэгся процесс хроматографического разделения. Нелинейные зффенты приводят к более высовим ко~щентрациям в начале или в нопце полосы в ааеисимости от анака с' (рт). Конечно, нелинейные уравнения для одного компонепж справедливм только после рааделеиия.
Структуру удар~ей волны н другие запросы можно изучать при помощи полных уравнений (3.61) и (3.62). Достопримечательно, что з атом случае, яав показал Томас И), полные уравнения можно преобразовать (точно) в лине(пюе уравнение. Сначала вводптся движущаясл система координат Гл. 3. Конкретные задачи так что нелинейное преобразование исключила нелниейный член.
В исходных переменных мы получаем Рг= Р= (3.73) т х тх Хк+рдж+(и+Р) ух+РУД =О. (3.74) Общее решение етого линейного уравнения моя,но получить лри помощи преобразования Фурье, так жо в данном счучае решения приближенного уравнения (3.64), включающие, если необходимо„ раарызы, можно подробно сравнить с точным решением. Этот вопрос широко изучался Гольдппейном и Мерреем (Гольдштегж (1), Гольдштейн и Меррей И]). Точное рыпение падтверягдает идеи и методы введения разрывов в решения уравнения (3.64).
Детали здесь не приводятся, поскольку такое же подтвергкденве данг уравнение Бюргерса, с которым проще работать. Несколько сходньнг анализ проводится в гл. 10 в ином контексте. Для процессов обмена обе постоянные а = Адд и (1 = )г,В положительны. Нри такты знаках равновесное состояние всегда устойчиво. Это монгно проверить, рассмо~рев воамущения уравнения (3.74). Заметим, что волны низшего нарядна распространяются со скоростью бг сэ а+3 ' в то врелгя, как скорости волн высшего порядка равны с = 0 и сь =- Р. Поэтому лри а >О, )) > О критерий устойчивости с ~ сэ ( ст всегда выполвнется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
