Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Система (5.1), удовлетворяющая условию (5.7), называется гипдрбддичдсиой, если существуют в линейно ноаависвмых вещественных векторов !'ъ', )г .. 1, ..., в, таких, что (~и! (Амане — а;ж™) - О (5.8) для каждого Лц и соответствующие направления (ам', (Уц) вмцсствеяпы, причем а'ъ'з -)- (Рюз пъ О. Следует отыетнтгь что ударение здесь делается на существование и независимых векторов !Л' я что пе требуется, чтобы соответ ствующне направления (алд ()л') были различны. Еслн все атп паправл енин раалнчны и сущжтвуют и различных семейств характеристик, хо система нааызаггся строга диндрбелииесядд, но мы будах~ л~ало польэонаться этим термином.
Как мы унидвм пи>не, зоамотвпы случая, когда уравнение (5.6) имеет манас чем и раалпчныт решений, и тем не л~гнее существуют и независимых некторов 1. дуастний случай Аы.-бм. Во эндогих задачах система (5.1) пришшает специальный еид ди дит '— ' ° а,— ъъ; .О, дд' Од (5.9) т.е. матрица 1 является единичной матрицей. В других случаях система сводится к такому виду умноженном на А-' (после замены координат, если походная матрица А особенная). Редко имеет смысл подробно проводить соответсхвующве преобразования, но в случае необходимости можно, не теряя общности, полъаоватьса такай формой системы (5.1).
Ив (5.6) следует, что в атой форме записи Т'тп О, так что характерисхнки никогда пе будут направлены вдоль осн х. Следовательно, нх можно параметрнзовать са- 5.2. Примеры классификации систем 119 мим 1 и описывать уравнениями вида к = Х (1). 1!ивейная комбинация д > да> (» — + ! а, — -', (,Ь,=О д> ' дл принимает характеристическую форму д> дх 1; — '-; (,Ь>::О па — =-с ' д> >л прн условии, что (5.10) (>ам — !>с.
(5.И) В частности, карактлристичестт скорость с должна удовлетворять уравнению ! ໠— сб» ! =- О. (5Л2) Возможные корни с являкнся собственвыл>и числами матрицы а, а векторы 1 — соответствующими левыми собственными векторами. Следующие два утверждения вытекают иа известных теорем линейной алгебры. Собственные векторы 1, отвечающие раалвчкыи саботвепиым числам с, линейно независимы. Поэтому сиавела лелланся г>ляербалиыскоа, сали урсдкеккс (5.12) имеет и различных лещсстееккмх корней с. рели и — вещественная симметрическая матрица, то все корни уравнения (5Л2) вещественны и существуют а линейно независимых собственных векторов.
Поэтому систтш является >мперболичесьой. если а — лак(естдеккал силлетричлскал >тырила. 5.2. Примеры классификации плетем Пример !. Прюкде вое>о рассьготрим волновое уравнение ии — уи = О. Введя новые фуякцпи и =- и и и>.=- и„его ь>олина переписать в виде систнчы о,— ю„-о, и, — уи„=- О. Прежде чем приступить к испольаовавию уравнении в характеристической форме и изучению дальнейших свойств характеристик, проиллюстрируеь> наши идеи пеакалькими примерами и покажем некоторые трудности, «оторые могут возникнуть при классификации систем.
Гл. 5. Гиперболические системы Линейная комбииапия 1,(о, — ю.)+ 1е(ю, — уп„) = О принимает характерисхическую форму 1 (в,+со„)+(е(ю,+ею„)=0, если — у1г = с1г — 1г = с1в. Нетривиальное решение существует, когда с* = 1. Гели у ) О, то моягяо положить с=+~'т. (г= — )гу 1.=1; — (=+У'у, 1.=1. Два вектора 1 лияейяо певавиоимы, так по система является гиперболической. Если у .С О, то ке существует вмцествевиых характеристяческих форм; действительно, в атом случае уравпеяие является прототвпоы агливтическис уравпевий.
Пршнер 2. Уравиевие теплопроводвоств иг — и„„= 0 вквивалевтно систюге в~ — г =О, и„— п =О. Яспо, что комбинапия 1, (иг — е„) + 1, (и„— о) = О могкет иметь характеристическую форму лишь при (т =- О. Таким абравом, единственным решеиием (с очностью до числового множителя) является 1 = (О, 1). Поскольку для системы второго порядка существует только одип вектор 1, оиа не является гиперболической. Если следовать общему формалиаму, то уравяение (5.6) в данком случае сводится к Х' Г' „(=О, т. е. Г'х=О.
Таким обравом, ось х является двойной характеристикой, но для вее существует едиистви1пая характеристическая форма и — е = О. Пример 3. Простейшее гиперболическое уравкепве второго порядке вида и„, =-О 5эй Примеры классификации систем эквивалентно системе и, — о =- О, о„=- О. В етом случае обв матрицы А и и вырожденны, яо условие (5.7) выполнено и никаких неприятностей не вовникает. Уравнение (5.6) имеет вид Х' О ,(=О, т. е. Х'Т'=О. Π— Т' Обе оси с и с являются характерисхиками, и исходные уравнения уже имею* характеристическую форму.
Пример 4. Рассмотрим теперь уравнение ип — уи„„+ и = О. Если полок~ига и„= и, и, = ю, как в примере г, то налично дополнительного недиффереициального члена и помешает полно- му исключению переменной и; это наводит на мысль перейти в трем уравнениям. Если в качестве эквивалентной системы выбрать и„— о = О, — =О, ю~ — уо +в=О, то вовпивиут неприятности, поскольку обе матрицы А и а, вырождвнны вместе со всеми их линейными комбинациями. Ураипекие (5.6) иыеет вид — Т' О О Х' О О =О О ТТ' Х' и, очевидно, вьшолняшсл вля всех пар (Х, Т'). Однако вта система исключается условием (5.7). По крайней иере при у ) О можно выдвинуть уиаэанное выше предположение, что система, вероятно, содержит лиюние неиэвестнме н может быть упрощена. Воэможность такого упрощаиия ыожно угиановитгь переписав уравнение в виде ( — )гу —.) ( — +Уу — ) к+ =-О. Тогда, поповны р=ш+)' уи„, Гл.
5. Гиперболические системы получим систему аторого порядка р,— )Гу р„+и=О, и,+)г уи,— р=О. Коаффициенты атой системы яе имеют особенностей. В действительности она уже записана в характеристической форме, и существуют в точности две характеристики. Пример б.
Другая система, которую можно предложить для уравнения иг, — уи„„-~- и = О, такова: и,— ю=О, о, — ю„= О, ич — уо„+ и = О. Ока отличается от системы иа примера 4 тем, что уравнение г,— — игк — -О, полученное исялючепмем и, подставлено в иг — г = О. Теперь А — единичная матрица и ж..г оснований ожидать неприятностей. Условие (5.6) имеет вид Х' О О О Х' Т' =О, т.
е. Х'(Х'г — 77'а) =О. О ут Х' Два корня Х' .= -~- )гу7', оченидно, являютгя характеристиками исходного уравкенкп, по отъуда ввялась лищння характеристика Х =- О? Предложенная систама сама по себе не имеет недостатков,ко оиа рже не вквивалентна исходному уравнению. На гамом дело она эквивалевтиа уравнению д — (игг — уи + и) = О. аг Появление дополнительной характеристики отвечает дополнительному дифференпираванпю по д бури.иер б. Система и, -р С (и, о) гг = О, ос+С(ио)о =и представляет собой очевидный пример системы с одпои характеристикой, на которой ИЫ9 = С, но с двумя неаависимыми характеристическими формами.
Следовательно, она является гиперболической. 5.2. !!римеры нлассификации систем !23 Пример 7. В теории диспергирующих волн встречается система и,+С(и)и =О, и, + С(и) о„+ С'(и) ои„= — О. В примерах 2 — 7 классификация требовала рааъяснений '). Теперь мы добавим несколы<о примеров, в которых пег трудностей в класаификацил. Это харашо иввестные и характерные нелинейные систнеы. Мы прпведем лишь щпосящиеся к делу сведения с минимумом обьяеноний. Пример 8.
Газовая динамика. Длн с<кимаеиага невнвкого течения гааа го скоростью и, давлением р, плотностью р н энтропией 3 уравнении нивки вид (см. гл. 6) р, + ире [- ри„:.= О, 1 «,-! ии, <. — р„=О, * 8« ийл=О, <де р = р (р, 5). Уравнения в характеристической форме запи- сывв<отса тан: —.Ь ро — — -О ер о я т Ее на —.—.и й-о, И< ' Н.< оа †.-. и, о< ' ' где ае —.
(др/др)а л„и. Длн гана г постаянныл<и жплоеикостями р . хргееил н ое — ур/р. Прилер Р. Речнме волли и теория люллой еодм. Соотвежтвующие уравнения были получены вьцпе (см. (3.37)); нх харантери- <) Общеирвжма также <жлгжчео оаределенле гннербаэнчеекоа е<итеиы: глс<еиа вада [5.9) лвлоетев г аерболвчеекоа, если соотвеаявующво ведала Кон< оквеиваекм корревгно ноетевлтноа.— Поит Г д. Едипсгвеннои вовможной хвракхеристичеснай формой является первое уравнение в исходном виде.
Следователыю, сиатема не является гиперрюлической. Однако в данном исключительноь< случае первое уравнение можно решить невавиаимо от второго, проинтегрировав его вдоль характеристик длИ1 = С. Эахем, виан и ео всей области, можно вычиалить и„ и, проинтегрировав второе уравнеяие вдоль тех же самых характеристик, наити о. В втом отяошении длинен система подобна гиперболической системе с двойной характеристикой, однако фориальдо ее следует классифицировать как параболическую. Гл.
5. Гиперболические свстемы стическая форма следующая: — (о ~ 2 )У ей) = Е — Су — „на — = а т )'ь" Ь. Притр Ро Для упрощепной нинематвческой аппроксимации уравнений (3.%) характериотическая форма сводится к одноыу уравнению Пример 10. Магииткав ааасеаа динамика. Для проводящего газа в магаитном поле уравнения (в стандартных обочначеяиях) иногда ааписывавл в виде р~ + ир -(- ри„= О, р(и,+ии„)рр„=-ув, — (р~ + ир„) — — — (р, + ир„) = —, 7 Р уз в,+в„=о, з В + — Вл.Р)=О, г р где у = а ( — иВ).
Характеристические своуюстн равны ~ (сер) гУа, и+а, и. Пример 1Р'. Гела проводиыость а очень велика, то предыдущая сжтема приводится к упрощенному виду, часто вполне достаточ- ному для прялогвеннй, а именно к виду р,+ир +ри„=о, В, + ив„р Ви„= О, 1 Р (и, + ии„) + Рж Р— ВВ„= О, т :,(Р +иР.) — —,— (р, Р Р„)=-О; т Р характеристические скорости теперь равны и ~ (а' -(- Ваурр)'Уз, и, и. Прилмр 11.
Нелинейные аффеятм длл алаатромагнитных еалн. При простом, но, вовьюжно, идеализированном опнсенни явлений нелинейной онгпни можно положить — + — =О, ав ае и ае ав г Рв — + — —.= О, ас р а*' 5.3. Инварианты Рамена причем Р = В (Е). Характеристическая форма зтях уравнении такона еа ! еу ес ю с(у) св — — =О на — =~с(Е), ес где с (Ь):= (РВ' (Е))-гЩ Диснерсионные аффекты, как правило, противоречат гаотношенща В = В (Р). При.мер Вй Нссииеаяые улругие солим е стержне.
Взяв в качестве зависимых переменных перемещение $ (л, С) сечения, первоначально располопсевного в точке г, и напрюкение о (х, С), одномерное уравнение распространенна волн в стержне можно записать в следующем виде: где р — первоначальная плотность в ведеформированнаы состоянии, Внедя ды)юрмацню е =- $„ и скорость и =- 5с, получим эквивалентную систему р и, — о„= О, ес — и„=- О. В линейной теории полагают о с с, на можно учесть и нелинейные вффенты, считая а более общей фуяккией а = о (е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
